高中数学选修2-1配北师版-课后习题Word版-第三章　圆锥曲线与方程§2　2.2　抛物线的简单性质

1、2.2抛物线的简单性质课后篇巩固提升A组1.已知抛物线y2=ax(a0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)答案A2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.6B.4C.3D.2答案A3.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.7B.5C.8D.10答案D4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|等于()A.43

2、B.8C.83D.16答案B5.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则A1FB1为()A.45B.60C.90D.120答案C6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y2=10 x的条件是(要求填写适合条件的序号).答案7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=23x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是.答案128.已知点M(1,-1)和抛物线C:y=14x2

3、,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMBM=0,则k=.答案129.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解将l和C的方程联立,得y=kx+1,y2=4x.消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=14,y=1.直线l与C只有一个公共点14,1,此时直线l平行于x轴.(2)当k0时,方程(*)是一个一元二次方程.当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;当1时

4、,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k1时,直线l与C没有公共点.10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)求证:点F在直线BD上;(2)设FAFB=89,求直线l的方程.解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).由题意,得l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,并整理,得y2-4my+4=0.从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1

5、(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得x=y1y24=1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m=43.所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.B组1.抛物线x2=2py(p0)与椭圆x212+y22=1交于A,B两点,若AOB的面积为6(其中O为坐标原点),则p=()A.2

6、B.3C.4D.6答案B2.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.答案y2=3x3.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)若直线l的倾斜角为45,求线段AB的长.解由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p2,从而x1=4-1=3,代入y2=4x,解得y1=23.点A的坐标为(3,23)或(3,-23).(2)直线l的方程为y-0=tan

7、 45(x-1),即y=x-1.与抛物线方程联立,得y=x-1,y2=4x,整理得x2-6x+1=0,x1+x2=6.由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,线段AB的长是8.4.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值;(2)1|FA|+1|FB|为定值.证明(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2(k0).由y=kx-p2,y2=2px,消去y,整理,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.由根与系数的关系,得x1x2=p24为定值.当直线的斜率不存在,即ABx轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24也成立.x1x2为定值p24.(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+p