高中数学教师备课必备系列（不等式）：专题七 基本不等式典题精讲 word版含解析

1、典题精讲例1（1）已知0 x，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0与x0讨论.（1）解法一：0 x,1-3x0.y=x(1-3x)= 3x(1-3x)2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.x=时，函数取得最大值.解法二：0 x,-x0.y=x(1-3x)=3x(-x)32=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.x=时，函数取得最大值.（2）解：当x0时，由基本不等式，得y=x+2=2，当且仅当x=1时，等号

2、成立.当x0时，y=x+=-(-x)+.-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.y=x+-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-,-22,+).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x-1x+10,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结

3、构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.例2已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,+=1,x+y=(x+y)(+)=10+.x0,y0,2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x

4、=xy,(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+2,即1,6.x+y226=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=，不等式等号成立的条件是x=

5、y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.x,y0,a,b0，x+y10+2=18，即=4.又a+b=10，或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0 x1）.思路分析：0 x1,lgx0,0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：0 x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx

6、+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0 x1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0 x1这一个条件.变式训练1已知x，求函数y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x，则4x-50.变式训练2当x时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）+=-（）+,再求最值.解：y=（2x-3）+=-（）+，当x时，3-2x0，=4，当且仅当，即x=-时取等号.于是y-4+=，故函数有最大值.例4如图3-4-1，

7、动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y2=2,218,得

8、xy，即S.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.x0,0y6.S=xy=(9-y)y= (6-y)y.0y6,6-y0.S2=.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:2x+3y2=2=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=.l=4x+6

9、y=+6y=6(+y)62=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处

10、理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324()=8000,Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数.Q(x)Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不

11、满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+.n+2,当且仅当n=,即n=时取等号.但考虑到nN*,n21.414=2.8283,即此人应选3楼,不满意度最低.例5解关于x的不等式1(a1)HYPERLINK / 解：原不等式可化为HYPERLINK / 0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解HYPERLINK / 由于原不等式的解为(，)(2，+)HYPERLINK /

12、 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解HYPERLINK / 由于,若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)综上所述HYPERLINK / 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2）HYPERLINK / 典型例题一例1画出不等式组表示的平面区域分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法典型例题二例2 画出表示的区域，并求所有的正整数解分析：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即求解

13、：依照二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下图：对于的正整数解，先画出不等式组所表示的平面区域，如图所示容易求得，在其区域内的整数解为、说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来典型例题三例3 求不等式组所表示的平面区域的面积分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论解：不等式可化为或；不等式可化为或在平面直角坐标系内作出四条射线， ，则不等式组所表示的平面区域如图 由于与、与互相垂直

14、，所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和所以其面积为典型例题四例1若、满足条件求的最大值和最小值分析：画出可行域，平移直线找最优解说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值典型例题五例5 用不等式表示以，为顶点的三角形内部的平面区域分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线的斜率为：，其方程为可求得直线的方程为直线的方程为的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内（如图）所以已知三角形内部的平面区域可由不等式

15、组表示说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线典型例题六例6 已知，求的最大、最小值分析：令，目标函数是非线性的而可看做区域内的点到原点距离的平方问题转化为点到直线的距离问题解：由得可行域(如图所示)为，而到，的距离分别为和所以的最大、最小值分别是50和说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规划问题可做出图，利用图进行直观的分析典型例题七例7 设式中的变量、满足下列条件求的最大值分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线平等的直线再进行观察解：作出直线和直线，得可行域如图所示解方程组得交点又作直线

16、，平等移动过点时，取最大值，然而点不是整数点，故对应的值不是最优解，此时过点的直线为，应考虑可行域中距离直线最近的整点，即，有，应注意不是找距点最近的整点，如点为可行域中距最近的整点，但，它小于，故的最大值为34说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？典型例题八例8 设，式中的变量、满足试求的最大值、最小值分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方说明：若将该题中的目标函数改为，如何来求的最大值、最小值呢？请自己探求（将目标函数理解为点与点边线的斜率）典型例题九例9 设，；，用图表示出点的范围分析：

17、题目中的，与，是线性关系可借助于，的范围确定的范围解：由得由，得做出不等式所示平面区域如图所示说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的，的取值范围借助于三元一次方程组分别求出，从而求出，所满足的不等式组找出的范围典型例题十例10某糖果厂生产、两种糖果，种糖果每箱获利润40元，种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合烹调包装153241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润分析：找约束条件，建立目标

18、函数解：设生产种糖果箱，种糖果箱，可获得利润元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数的最大值，作出可行域，其边界 由得，它表示斜率为，截距为的平行直线系，越大，越大，从而可知过点时截距最大，取得了最大值解方程组 即生产种糖果120箱，生产种糖果300箱，可得最大利润19800元说明：由于生产种糖果120箱，生产种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为1202300720（分），烹调时间512043001800（分），包装时间3120300660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题

19、的“松驰”部分，有待于改进研究典型例题十一例11甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：甲乙丙维生素（单位/千克）600700400维生素（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用千克甲种食物，千克乙种食物，千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素（1）用、表示混合物成本（2）确定、的值，使成本最低分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解作出不等式组所对应的可行域，如图所示联立作直线则易知该直线截距越小，越小，所以该直线过时，直线在轴截距最小，从而最小，此时750520400850

20、元 千克，千克时成本最低典型例题十二例12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15，已知生产甲产品1需煤9，电力4，劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1需煤4，电力5，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200，劳力只有300个问每天各生产甲、乙两种产品多少，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为和，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题解：设每天生产甲产品，乙产品，总产值，依题意约束条件为：目标函数为约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边

21、线上的点(如图阴影部分)现在就要在可行域上找出使取最大值的点作直线，随着取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为，可以看出，当直线的纵截距越大，值也越大从图中可以看出，当直线经过点时，直线的纵截距最大，所以也取最大值解方程组得故当，时，(万元)答：第天生产甲产品20，乙产品24，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用的几何意义，求出最优解如本例中，是目标函数的纵截距典型例题十三例13 有一批钢管，长度都是4000，要截成500和600两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于配套，怎样

22、截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求解：设截500的根，600的根，根据题意，得且作出可行域，如下图中阴影部分目标函数为，作一组平行直线，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过的直线，这时由，为正整数，知不是最优解在可行域内找整点，使可知点，均为最优解答：每根钢管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理说明：本题易出现如下错解：设截500的根，600的根，则即其中、均为整数作出可行域，如下图所示中阴影部分目标函数为，作一组平行

23、直线，经过可行域内的点且和原点相距最远的直线为过点的直线先求点的坐标，解得，故，即，调整为，经检验满足条件，所以每根截500的2根，600的5根最合理本题解法错误主要是在作一组平行直线时没能准确作出，而得到经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过点的直线此错误可检验如下：如果直线通过点，它是经过可行域内的点且到原点距离最远的直线，那么，即由于，为整数，所以点不是最优解但在可行域内除点外，不可能再有其他点满足，只能在可行域内找满足的点如果还没有整数点，则只能在可行域内找满足的整数点但我们知道，满足题意，这样，就出现了矛盾，从而判断解法错误，即通过点的直线并不是通过可行域内的点且和原点距离最远的

24、直线典型例题十四例14 某工厂生产、两种产品，已知生产产品1要用煤9，电力4，3个工作日；生产产品1要用煤4，电力5，10个工作日又知生产出产品1可获利7万元，生产出产品1可获利12万元，现在工厂只有煤360，电力200，300个工作日，在这种情况下生产，产品各多少千克能获得最大经济效益分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表得点坐标为把点坐标代入的方程，得(万元)答：应生产产品20，产品24，能获最大利润428万元说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的所有线性约束条件同时本题的可行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最优解解应用题时还应注意设出未知量和做答这两个必要步骤典型例题十五例15 某公司每天至少要运送180货物公司有8辆载重为6的型卡车和4辆载重为10的型卡车，型卡车每天可往返4次，型卡车可往返3次，型卡车每天花费320元，型卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少分析：设型卡车辆，型卡车辆问题转化为线性规划问题同时应注意到题中的，只能取整数解：设型卡车辆，型