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文档简介

1、第六节 最大流问题最大流最小割定理 基本概念 主要定理最大流算法 算法步骤 算法复杂性基本概念给定有向网络G=(N,A,C)，cij表示弧(i,j)A的容量，G有一个发点s和一个收点t (s,t N)。令xij=通过弧(i,j)的流量 (6.6.1)显然有0 xijcij (6.6.2)另外，流x=(xij)要遵守点守恒规则，即可行流：满足(6.6.1)和守恒方程(6.6.2)的流，简称为(s,t)-流基本概念设P是G中从s到t的无向路，则P的前向弧(i,j)是指其方向从s到t的弧；否则称为P的后向弧流x=(xij)的增广路P：P的每个前向弧(i,j)有xij0(s,t)-割：弧割(S,T)，

2、其中sS，tT割(S,T)的容量：续主要定理定理6.6.1(增广路定理) 一个可行流是最大流当且仅当不存在关于它的从s到t的增广路。 定理6.6.2(整流定理) 如果网络中所有弧容量是整数，则存在值为整数的最大流。 定理6.6.3(最大流最小割定理) 一个(s,t)-流的最大值等于(s,t)-割的最小容量。 证明证明提示最大流算法的步骤第1步(开始) 令x=(xij)是任意整数可行流，可能是零流，给s一个永久标号(-,)。 第2步(找增广路)(2.1) 如果所有标号都已经被检查，转到第4步。(2.2) 找一个标号但未检查的点i，并做如下检查，对每一个弧(i,j)，如果xijcij且j未标号，则

3、给j一个标号(+i,(j)，其中(j)=mincij-xij,(i)；对每一个弧(j,i)，如果xij0且j未标号，则给j一个标号(-i,(j)，其中(j)=minxji,(i)。(2.3) 如果t已被标号，转到第3步；否则，转到(2.1)。最大流算法的步骤第3步(增广) 由点t开始，试用指示标号构造一个增广路，指示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量来增大流值。抹去S点以外的所有标号，转到第2步。第4步(构造最小割) 这时现行流是最大的，若把所有标号点的集合记为S，所有未标号点的集合记为T，便得到最小容量割(S,T)，计算完成。 续例最大流算法的复杂性设弧数为m，每找一条增广路最多需要进行2m次弧检查。如果所有弧容量都是整数，则最多需要v次增广，其中v是最大流值。所以，总的计算量为O(mv)。注：此算法的时间复杂性与最大流值v有关，

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