专题27 圆锥曲线点差法必刷100题(解析版)2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

1、专题27圆锥曲线点差法必刷100题任务一:善良模式（基础）1-30题一、单选题 TOC o 1-5 h z 1.己知双曲线土-匕=1被直线截得的弦48,弦的中点为M（4,2）,则直线的斜率42为（）A.1B.C.D.222【答案】A【分析】设/（占,乂），B（x2,y2）,利用点差法计算可得.【详解】解：设交点坐标分别为区，M），B（x,%），贝+七=8,必+必=4,-万-=1,-=1 TOC o 1-5 h z 4242两式相减可得X；_城=0,即（*+x?）（xX?）=（乂+必）（%-）,所以4242k*B=21二五=翌+X?=衿=1,即直线48的斜率为1；士-*24（+%）4x4故选：A

2、.若点尸（1,1）为圆/+/-6y=0的弦48的中点，则弦48所在直线的方程为（）A.2x-y-l=0B.x-2y+=Oc.x+2y-3=OD.2x+y-3=0【答案】B【分析】利用点差法求出If线48的斜率，进而得到方程，注意检险是否符合题意即可.【详解】设血片,乂）,8（2,乃），则x；+y：-6y产0,*+*-68=0,两式做差可得xx；+y,y6必+6y2=0,即（X+工2）（占一）+（必+%）（必一外）一6（%一%）=。乂因为P（l,l）是Z8的中点，则占+x2=2,y,+y2=2,因此2（占一工2）+2（%-%）-6（乂-力）=0,即2&-X2）-4（乂一%）=0,所以阳8=%1-

3、X2因此直线48的方程为y-l=；（x-l）,即x-2y+l=0,经检验，符合题意，故弦48所在直线的方程为x-2夕+1=0.故选：B.已知椭圆C:+，=1（。60）的离心率为也，直线/与椭圆C交于A,8两点，直线y=-gx与直线/的交点恰好为线段的中点，则直线/的斜率为（）A.-J-B.-C.1D.424【答案】C【分析】根据离心率可得a=6b，利用点差法即可求解.【详解】由题意可得e=Jl_与=，整理可得=扬.aa22设贻,乂）,8（,%），则1+4=1，4+4=1a方6rbl TOC o 1-5 h z 两式相减可得Gf）+%）+）”为）=o.a2h2因为直线y=-0,故斜率为2符合题意

4、,因此直线48的方程为2x-y-3=0,故选：D.以椭圆1+：=1内一点P（U）为中点的弦所在的直线方程是（）A.4x+3y-7=0B.3x+4y-7=0C.瓜+2y-（2+扬=0D.2x+岛-（2+G）=0【答案】B【分析】泞先设在线与椭网的两个交点Z，M）,B（x2,y2）,再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程.【详解】设过点尸（草）的直线交椭圆于,8亿,名）两点，2内一 4 2M- 4+u=13,两式相减得a+X2）（*-X2）+（+%）（必一为）=+K=143因为X|+z=2,y,+y2=2,xx2,两边同时除以西一、2得;+；x=0,43X-X23所以直线方程为y-l=-t(x

5、-l),即3x+4y-7=0.故选：B.已知椭圆g+=l(a60)的右焦点为八离心率为近，过点尸的直线/交椭圆于A,a2b228两点，若48的中点为(1,1),则直线/的斜率为()【答案】A【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设/(再,必)，B(x2,y2),则48的中点坐标为(土芦，旦声由题意可得玉+工2=2，%+y2=2,B的坐标的代入椭圆的方程:作差可得亡迂+以=近=0,a2b2所以及二出=_60）的右焦点为尸（3,0）,过点尸的直线交椭圆于48两点,ab若48的中点坐标为（1,7）,则椭圆的方程为（）.X2y2.D42y2广/y2cfy2453

6、636272718189【答案】D【分析】设4芭,必）,3（%,%），可得石+=2,yt+y2=-2,将48两点的坐标分别代入椭圆方程,两式相诚可求illk4B=4-进而可求出的值.占一2a2（y,+y2）a2【详解】设4（M,必）,3（%丹），则X+s=2,乂+%=-2,两式相减得：g寇）!-2）+史上黑打二1=0,ab,必一必（X|+X,）_b22b2均产=一西7宙=一/5二靛,b1i./=5c=3联立。c2=a2-b2椭圆方程为工18y2+ -9=1.故选：D.已知椭圆W+=l（ab0）,点尸为右焦点，8为上顶点，平行于冏的直线/交椭b圆于M,N两点且线段MN的中点为01g,-：）,则椭

7、圆的离心率为（）【答案】A【分析】求得直线/的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.【详解】设“a，M）,N（X2，%）,宜线/的斜率为上江+日=1则Ia2b2na-X27X|+x2）（%一%）仇+%）=0 TOC o 1-5 h z 立+近_=1/护la2b2所以=-与，山线段MN的中点为Xjx2x+x2av24J所以演+x2=-l,y+y2=所以=-与，又k,所以2=%又/=从+,22a2c2ca2所以b=c,a=ylc=e=2故选：A.在抛物线./=8x中，以（1,-1）为中点的弦所在直线的方程是（）A.x-4y-3=0B.x+4-3=0C.4x+y-3=0D.4x

8、+y+3=0【答案】C【分析】先设弦的两端点的坐标分别为/（X”必），8（X2，%），代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程.【详解】设以（1,-1）为中点的弦的两端点的坐标分别为B（x2,y2）,由题意可得,y2=.两式作差可得,必2-%2=8再-8，y2=8二乂一%X-x2因此所求直线的方程为y-（-l）=-4（xl）,整理得4x+y-3=0.故选：C.已知斜率为左=1的直线与双曲线母=l（aO,bO）交于A,B两点,若A,B的中点为M（L3）,则双曲线的渐近线方程为（）A.xy/3y=0D. 2xy = 0C.x2y=0【答案】B【分析】利用点差法，设4（占,

9、必）,8小,），代入双曲线方程后作差，得仁土一得/，且二丛=0,u0Aj-利用宜线的斜率和线段AB的中点坐标求得2的值.a【详解】设4（演,必）,8（马,土），2212222:,两式相减得玉-萨=0,7h2即（*+）!*-、2）一（互+,?）!巧二=0,两边同时除以演-2得ab笔”一21萨.21二M=。，由条件可知再+%=2,乂+必=6,互二五=1,abX2,xix2马一盘=0,解得：4=3=2=石，aba-a所以双曲线的渐近线方程是y=怎，即J&y=O.故选：B TOC o 1-5 h z 2213.直线/:x-2y+百=0经过椭圆+方=1（。60）的左焦点尸，且与椭圆交于48两点，若M为线

10、段中点，尸|=|OM|,则椭圆的标准方程为（）2222A.土+上=1B.土+幺=163852,22C.+y2=D.+=：14-129【答案】C【分析】由已知求得c=3,得到”的横坐标为-丑,进而求得”的纵坐标，然后得出。”的斜率，2tilkOMk,=，得到4=L即可判定结论.aa4【详解】易得直线/的与*轴的交点横坐标为-石,.椭圆的半焦距c=3,又；IMF|=|OM|，:.”的横坐标为一旦，代入直线方程得到”的线坐标为近24的斜率如由于直线/的斜率勺=；必一必X -x2k一必十为乂必一为一必2一乃2 TOC o 1-5 h z KOMKI_._22，Xx+X2X)-x2x-x2i+2L-lK

11、+区-1.,b2.h2koMki=一一？=-：，r=7a4a4逐项检验，即可判定只有C符合，故选：C.14.已知曲线/-4必=4,过点N（3,l）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为（）A.3x-4y-5=0B.3x+4y-5=0C.4x-3-5=0D.4x+3y-5=O【答案】A【分析】设M（xqJ,N（X2，%），根据点基法求MV=4,=:）=；,进而求出方程并检验即可.【详解】解：设（片,乂）”仇,为），故卜，?2一：x2-4y2=4两式做差得：a-%2）&+%）=4（必一%）（必+必）,所以加二止Z一,、，士-马4（凶+必）又因为XI+82=6,凶+%=2,所以Kwv =xXz 4（+

12、必）43故弦MN所在的直线方程为y-l=Z（x-3）,即：3x-4y-5=0.f3x4y_5=0.联立方程24得：20y2-40y+ll=0,x-4y=4A=1600-880=7200,故满足条件.故选：A.15.过点作斜率为的直线与椭圆C:1+m=1（。60）相交于A、8两点，若2cTbM是线段,48的中点，则椭圆C的离心率等于（）【答案】A【分析】设4（4必）,8（X2,%），由点差法运算可得=再由离心率公式即可得解.a22【详解】设4（士,%）,5（2，%），则再+Z=2,凹+必=2,脑=4A|一工2乙所以x； +炉-1ab作差得22I r /11 I J-r iz- - 1a2 h2区

13、一三）（网 + x?） （乂 一 %）（M + %）h2所以竺守+丝守=0,即耳=_互工,abaXj-x22所以该椭圆的离心率e=,1X=、=.aVa1V22故选：A.16.过椭圆C：，+，=l5b0）的右焦点/:（2,0）的直线与C交于A,B两点,若线段48的中点M的坐标为,则C的方程为（A. 395T=1c X V,D. + - = 110 6【答案】A【分析】设48以及48中点M坐标，利用点差法得到A,8，AO之间的关系，从而得到之间的关系，结合尸（2,0）即可求解出椭圆的方程.设 4（演,乂）,8（%,%）,则 X产 X?b2x； + a2yf = a2b2【详解】所以b2（x；-Xj

14、）=-a2（y；_父），即正区.但_=_4，x-x2xx+x2a2x（-八 TOC o 1-5 h z X,+X22x-9b255所以勺=1x2=2,乂c=2,a299、5c4、所以c=/一万2=/一=4所以/=9,力=5 TOC o 1-5 h z 椭圆方程为：+-=1.95故选：A.17.已知斜率为占（%产0）的直线/与椭圆/+片=1交于a,8两点，线段的中点为C,4直线0C（0为坐标原点）的斜率为网,贝UK右=（）A.B.4C.D.242【答案】B【分析】首先设7（演,必），B（x2,y2）,的中点C（x。,）,将A,8代入椭圆方程再相减得到2+产”耳=0,从而得到2+1&=（）,即可得

15、到答案.2x0（Xj-x2）2【详解】设46,乂）,8（*2，%）,48的中点C（Xo，%）,则为+X?=2x0,必+%=2乂）.因为A,8两点在椭圆上，所以x：+2=l,x22+-=1.两式相减得：x：-xj+；（必2-必2）=0，（七+、2）（占72）+；（必+%）（必一%）=，-xj+；%（%-%）=，2+=0，即2+；尢=0，解得人他=-4.故选：B1，18.过点作斜率为的直线与椭圆C：+方=1.60）相交于4B,若是 TOC o 1-5 h z 线段X8的中点，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.-D.-2323【答案】A【分析】22设/（国,乂）,8（,%）,由条件可得不+x?=2,

16、必+%=2,-_-=,由斗+3=1,X2ah立+近.=1得到（马+乂一工2）（M+%）（%一1）= 0a2 b2 a2b2然后得出/= 23即可.【详解】设4（X,%）,8（2，%），由条件可得X +x2=2,yt +y2=2,凶一力=1X| -x22所以1,耳+4=1a2 b2（X|+X2）（X|-X2） （乂+%）（乂-%）b2=0将玉 + x? = 2,必 + % = 2 , * =一；代入可得/=2廿，故选：A第H卷（非选择题）填空题19.已知椭圆Ej+4=l（ab0）的右焦点为厂（4,0）,过点尸的直线交椭圆E于48两ah点,若初的中点坐标为M（L-l）,则椭圆E的方程为+货一1,两

17、式相减可b2=0，变形可得心B =乂一%-（%1 +x2）b2XL？ （乂+必）。【答案】小【分析】l2设/（xqJ,B（x2,y2）,采用“点差法”，得的8=勺，再根据宜线过点尸（4,0）,和8的a中点坐标（1,-1）,得?=L结合椭圆中a,b,c的关系，可求得=8,/=24,即可得Q-3【详解】b1由题意,设4（不必）,8优,必），代入椭圆方程+矿(1,-1),所以为+与=2,必+%=-2,代入上式可得，3，=芸=与，又24ak/B=右下1(4,0),kmf=g所以勺=!，3/=a23a3又/=b?+c2,c2=16,解得.浜6,所以椭圆的方程为总+1故答案为：-4-=1248.椭圆+/=

18、1（460）离心率为半，直线工-2产6=0与椭圆交于P,。两点，且尸。中点为E,。为原点，则直线OE的斜率是.【答案】、【分析】设尸,必），Q（x2,y2）,利用点差法即可求出直线OE的斜率；【详解】解：因为椭圆1+=1（。60）离心率为也，所以e，=Jl-1=3,所以与二ab3aYa3a3设P&，M）,Q（x2,y2）,所以*2=江5=；,旦，吗匹），因为尸，?在椭圆上,XjX2Z22.）所以a2 b2江+ .a2二1,两式作差得2X1 x22i-ib2h1=0,即台l2/即(必一%)(必+%) (&-X2 )(*+3)2一 ,即 kpq kOF4故答案为：.已知为抛物线Y=4）的一条长度为

19、8的弦，当弦的中点离x轴最近时，直线48的斜率为.【答案】1【分析】利用抛物线的定义，找到直线48中点M的纵坐标，以及最短距离时点下也在直线48上，再次利用直线的两点衣示出斜率，即可解出”的坐标，求出48的斜率.【详解】由题位得抛物线的准线方程为/：尸-1，过A作44，/于4,过B作8与，/于可,设弦48的中点为拉,过M作/于M，则21MMi=H蜀+|四设抛物线的焦点为尸，则小尸|+|网2/理,即|小|+|四|=尸|+|5尸|28（当且仅当A,B,F三点共线时等号成立），所以|44j+|四|=2|脑%怛8,解得|MWjN4,即弦48的中点到x轴的最短距离为:4-1=3,所以点M的纵坐标为（x0

20、,3）,/（再,乂），B（x2,y2）,尸（0,1）,x；=4凹，xj=4y2,.,.所以直线AB的斜率k=三匹=f=y=1，x0=2,此时=1,当弦48的中点离x轴最近时，直线48的斜率为1,故答案为：1.直线用与椭圆三+/=交于,上，线段与5的中点为人设直线m的斜率为勺伏户0）,4直线OP的斜率为右，贝附七=.【答案】4【分析】设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段的中点户的坐标，即可得到答案.【详解】设4（X1,必）,屏2，%）,中点尸（飞,汽），则占=21二区4=比=为土区，xt-x2Xqxx+x2把点片区，必）出（士,8）代入椭圆的方程片+v=l,4整理得乎+疗=1耳+%2=1,

21、两式相减得正名+父）=0,整理得打二之船M即&鱼=-1.22.已知椭圆E:二+与=l（ab0）,过点（4,0）的直线交椭圆于48两点.若48中ab点坐标为（2,-1）,则椭圆E的离心率为【答案】32【分析】设4（士,凶）,8仁,必），代入椭圆方程,两式作差,利用离心率公式即可求解.【详解】设力（国,乂）,8（七,为），则+当=1，a2b2a：-可得（%+、2）（&一、2）+（凹+%）（乂-%）_0乙2Z,-因为中点坐标为（2,-1）,则为+工2=4,必+%=-2,所以/二4从,因为从=/一，所以3a2=4c2，所以e=2=.a2故答案为：也2.设4（和%）、8（,外）是抛物线C：f=2期（p0

22、）上不同的两点，线段的垂直平分线为y=x+b,若X|+x2=-g,则0=.【答案】；【分析】根据线段48的垂直平分线方程可得出直线的斜率，由此利用点差法可得出关于P的等式，进而可求得实数P的值.【详解】由题知,x；=2py、,X：=2py?,两式相减得（芭-）（苍+X2）=2p（%-小），所以由题知心,=-1,所以占+当=一20=-，所以p=；.*x?2P24故答案为：!.425.已知直线y=x-3机与椭圆C:+=l（a60）相交于P,。两点，若尸。中点的横坐标恰好为2?，则椭圆C的离心率为.【答案】显2【分析】2222设尸（国,乂），。仁,外）,代入椭圆方程得与+普=1,4+4=1-两式作差

23、，利用中点坐a-力q-h2k2i标和斜率公式可得勺,再根据离心率公式可得结果.【详解】 TOC o 1-5 h z 设尸&,凹）,。（天,必），代入椭圆方程得+4=1,4+4=1a-bb乂+82两式作差得上片+无/=0,整理得乂二左一2=-1,a2匕x,-x2X+%2a2因为土也=2加，所以乂包=五二网士上网=-加，222乂因为即0=二1X1-x2226.在直角坐标系xQy中，”是圆O的弦，是”中点，若48,都存在非零斜率心，kOM,则”（的=T.类比于圆，在直角坐标系X0V中，43是椭圆二+鼻=1（。60）的ab弦，M是48中点，若AB,OM都存在非零斜率38，kOM，则3屋勺加=.【分析】

24、【详解】率为=1,（2）得:因此故答案为解答题已知椭圆C求椭圆。的标准方程【分析】椭圆基本量计算利用椭圆中的点差法进行求解即可，也就是设出椭圆弦的两个端点的坐标，代入椭圆标准方(460)过点(2,-0),长轴长为40两个方程相减，根据斜率公式和中点坐标公式进行求解即可.4%,必),8(X2,%)是椭圆上的点，因此有由A/是中点，所以点也的横坐标为(2)过点P(L1)作直线/与椭圆C交于A, B两点,当P为线段Z8中点时，求直线/的方程纵坐标为：町迫，因此直线的斜设”(西，凹), % ),所以有 3、一叫乂+为X1 +x2（% 一必）（必+必）.（一%）（%+必）b2（Xj-XjXxj+Xj）（

25、2）点差法求斜率即可.因为椭圆C的长轴氐为4夜，所以2a=4Q，得a=2&，又椭圆C过点（2,-JJ）,2所以;+怖=1，得/=4.bl22所以椭圆C的标准方程为:+-=1.84直线/的斜率不存在时，过点?（11），直线/的方程为：x=l此时线段Z8中点为（1,0）,不合题意.所以直线/的斜率必存在，设其为左,/（占,必），B（x2,y2）,因为尸为的中点，则，X, +x2 _ 2 一凹+为=12将A、B坐标代入椭圆C的标准方程为工+金=1得，84J 8互+ 811= =2M- 4 2214两式相减得： 上或+止匹=o,整理得：（不一）a+七）+（.% - %）（“+%）=o, 8484Gl-

26、N （% -*2）（占 +x?）（必一%）（必 +y2）（x,-x2）x2 _ （% -%）x2加以 8 二 二 8 =一二一所以直线Z8的方程为yl=即x+2y-3=0.因为点P在椭圆内部，所以直线/必与椭圆相交于两点,此直线即为所求.已知椭圆C的焦点为耳（TO）,6（1,0），过月的直线与椭圆C交于48两点.若记”的周长为4石.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C中以M（-等,1）为中点的弦所在直线方程.【答案】（1）+-=1:60）过点（0,4）,离心率为（1）求C的方程；（2）求过点M（3,l）且以M点为中点的弦的方程.，田一、x?丫？48169【答案】（1）U=l：（2）y=x+.25

27、16.2525【分析】（1）利用待定系数法求出6=4,再根据e=3,代入即可求解.a5（2）利用点差法可求得宜线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）将（0,4）代入C的方程得$=1, TOC o 1-5 h z .,_c_3_a2-b29b4,乂e二1m=，a5a25169r2v2即5,的方程为石+益=1（2）设直线与C的交点为A（xqJ,B（x2,y2）,代入椭圆方程得2上162% 一16+ +2V252V25=1，222,作空化简可得式二式+支二2=。2516=1即（3一%2）（3+入） （必一%）（乂+%）二 乂 2516X.4825（必一%）（乂士为）16（x,-x2）（

28、x,+x,），以M点为中点的弦的方程：=（x-3）,KP：y=-x+.乙J4J4J30.已知椭圆C:1+Y=l（a2）的离心率为等，点48是椭圆C上的两个点，点P（2,1）是线段48的中点.（1）求椭圆C的标准方程；求阿【答案】（1）+-=1；（2）生叵.843【分析】（1）山题意得=也.根据“，从c的关系，可求得。的值，即可得答案；a2（2）解法一：由题意得48的斜率存在，设为4,可得直线48的方程，与椭圆联立，可得关Tx的一元二次方程，根据韦达定理，可得占+x2,x,x2的表达式，根据AB的中点为尸（2,1）,可得&的值，代入弦长公式，即可得答案：解法二：利用点差法，可求得直线的斜率左,进

29、而可得直线48的方程，与椭圆联立，可得关于x的元二次方程，根据韦达定理，可得占+/户用的值，代入弦长公式，即可得答案【详解】（1）由条件知，=，c2=a2-b2=a2-4,a2所以近三=走，解得。=20,a222所以椭圆的标准方程为土+幺=1:84（2）解法一：当直线48斜率不存在时，线段Z8的中点在x轴匕不符合题意，故可设直线48的方程为y=Ar（x-2）+l,并设4（不必）,8仁,必），联立方程消去儿得（2左2+1卜2+必0-24户+2（4小-缄-3）=0,4M2左-1）2（4二一妹-3）二节=丙2二+1，由点以2,1）是线段Z8的中点知，与土.=2,所以4（7一I）、人解得人=一1,2k

30、2+代入得再+X2=4,xtx2=,所以用=Jl+k2-J（7+J-4为,解法二：当直线AB斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，不符合题盍,设4（%,必）,8（*2，%），其中x产X2,代入椭圆方程，748 2Z一 8+=14,两式相减得&T2）a+引+伪二+%）=o,+及=1844由点尸（2,1）是线段48的中点知，五产=2,巧其=1,直线AB斜率为“=-警=2=T，士一8（必+必）直线方程为y=-x+3,联立方程卜+2y;:消去y,得3x2-12x+IO=O，y=-x+3所以X1+X?4,X9所以=J1+FJ（X+工2）2-4再“2=任务二:中立模式（中档）1-40题一、单选题 TOC

31、o 1-5 h z 22.已知椭圆C：工+=1（0,b0）两条渐近线分别交于点A,B,若点尸（牝0）满足|力|=|尸耳，则该双曲线的渐近线方程是（）3X+-X1 - 3二y上 = =B.D.【答案】A【分析】设4（4,必）,8（占,%）乂8的中点为“（x0,外）,用点差法可得b2= 2%,由|山=|尸8|可得57=一）结合点产（天,盟）在直线y=2x+r（fx0）匕可得出x。,盟的关系，从而可得答X。一2案.【详解】由双曲线-=1（a0,60）得到渐近线的方程为:土誉=0即双曲线的两条渐近线合并为-t=0a2b2 TOC o 1-5 h z 2222设/（石，必）,8（积必）,45的中点为（%

32、（）,4）,则耳一四=0，鸟一号70abab两式相减可得xj-x；=yj-%2,即（x+）=（M-乃）01+8）a2b2a2b2=2%b2x0(yi-y2)y0a2(x,-x2)乂点P(Xo，x)在直线y=2x+f(f#0)匕则,=2xo+f由网=网，则=：,则丁匕=一；2X。一4，Z59联立，可得f=/Xo，0=-x0将比=gxo代入可得5=3所以渐近线的方程为y=3x故选：A.已知椭圆E：工+金=1上有三点a,B,C,线段Z8,BC,4c的中点分别为。，E, TOC o 1-5 h z 43【答案】B1 1一十 一二（F,O为坐标原点，直线O。，OE,O尸的斜率都存在，分别记为占，k2,k

33、,且勺+与+勺=2道，直线48,BC,4c的斜率都存在，分别记为阳8，kK.,kAC,贝！J）B.-随C.-2/JD.-13【分析】331采用点差法，设力（4凹），/和必），代入椭圆方程化简可得的54二-二，即勺=一1二，【详解】设8（x2,%）,代入椭圆方程可得60）的左焦点为尸，过尸作一条倾斜角为60。的直线与椭ab圆C交于A,B两点,M为线段,48的中点，若3MTF|（。为坐标原点），则椭圆c的 TOC o 1-5 h z 离心率为（）A6RVior/3nV25532【答案】B【分析】利用点差法，设题演,必），8（x2，%），M（x0,j0）,则5+2=1,与+与=1,两式相减，abab

34、化简可得存+还=0,设厂（-。,0）,过M作轴，垂足为M,从而结合己知条件CTb可得理c,将其代入椭圆方程化简可求得结果I66J22与+与=1,两式相减，得a2 b2【详解】设8（与,乃），A/（x0,y0）,由题意得今+?=1 TOC o 1-5 h z （%+X?-X2）*匹）=0,因为M为线段48的中点，且直线48的倾斜角为a2b260。，所以乌+绛=。.设F（-c,0）,则|用图=。尸|=卜，过M作轴，垂足为ab33山题易知M位于第二象限，所以M贝尸”|=；阿尸|=c,二等也耳二第c,所以一萨J。,得3/=5氏所以2a2=5/,所以e=叵.I66J7-谟=a5故选：B.直线/与抛物线=

35、2px（p0）相交于48两点，线段AB的中点为M,点P是y轴左侧一点，若线段PA,PB的中点都在抛物线上，则（）A.PM与y轴垂直B.PM的中点在抛物线上C.PM必过原点D.PA与PB垂直【答案】A【分析】设尸（%，%），/在，必，8径-，力,得出线段明，P8的中点坐标，代入抛物线方程，得到乂+为=2%，从而得到答案.【详解】设 P（x（）,%）,/j*,必则线段PA,线段PA,PB的中点都在抛物线y2=2px（p0）上.即-2%必 + 4。一笫2 = 0即, 22（%+4px（）-%一 = 0所以必,必是方程V2-2y（）y+4px0-乂：=o的两个实数根所以必+为=2”,所以加=%,即PM

36、与y轴垂直故选：A7.已知椭圆C：E+=l的左、右焦点分别为不，E，过点用的直线/与椭圆C交于A,164 TOC o 1-5 h z B两点,且而=砺，ZOF2M=2AMOF2,则直线/的斜率为（）133A.-B.-C.-D.3344【答案】C【分析】先设出点48,的坐标，利用点差法可得3晨自“再根据/。舄=2/也0用可得%相=一卷羽3,即可由此求出斜率.1foM【详解】设”（X|，凹）津（*2,幻，拉（入0，%），J 1= =2M- 4 2%- 4x；+,48在椭圆上，则?工；上4116两式相减可得一由乂内+义+也一匹1（M+匹）=0,164；五彳=而，二”是43中点,则石+七=2*0，%+

37、%=2%,代入上式,1,1（二菽一即的一又NOF2M=24MOF,则tanZOF2M=tan2ZMOF2,即 k$B = tan 2NMO 片=2 tan2kgM1-tan2 Z.MOF1 1 -kOM所以 k AB，kM2knu .1,11.2 kOM =T.可得4。=，1 - kom-333所以上一士“所以直线/的斜率为了故选：C.8.已知椭圆：5+ / = 1 （。60）的右焦点为尸（2石,0）,过点尸的直线交椭圆于4B两点,若线段,48的中点坐标为（百），则椭圆E的方程为（18 6= l16 4J25 13d. r+=120 8【答案】A【分析】利用中点坐标公式和点生法“J求得4的值，

38、结合c = 2jj可得出/、从的值，即得椭圆E的方程【详解】设点4（演,乂）、B（x2,y2）,则的中点为M%+天乂+%2 ，2则，2，可得2x +x2 =26Ji + % = 2若宜线48J.X轴，则线段X8的中点在x轴上，不合题意:故”.线AB的斜率存在，且kAB=%二Xj-%2ZlA_0直线的斜率为自“=工=髯=击=白由于48两点都在椭圆E上，则7 F-1且+及=1222222两式作差得宁+宁=,所以Q =b17,1-01故耳二1后=一方因为EM在直线48上,又 AB - k13MX-必M+义X, x2 X + x27所以 = J_/ 二 ,解得c2 =a2-b2 = 2a2 =18r2

39、 v22 , 因此，椭圆E的标准方程为一H3=618 6故选:A.9.抛物线y = 2x,上有一动弦48,中点为M,且弦48的长为3,则点A7的纵坐标的最小值为（11A.85 B.-4.3 C.- 4【答案】A【分析】设直线的方程为，=卜+/,与抛物线方程联立得到（）,利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得到答案【详解】解：设直线的方程为y=b+b,由，y=kx+b_,.2x2-kx-h=0,J=2x由题意可得A。,即/+勖0,kb设“（X|,必）,8（/,%）则再+工2=5,再“2=-5，因为|力6|=aA+M.Ja+式）2=3,AB中点M的纵坐标为y.+y222k2Lk2

40、9k2+l9ll91lkpn/T7yM=二W+%-+b-H-r-Hr-2Jn三1Fl仅2r、482(1+Jt2)82(1+Jt2)8V1688Ic14-19当一二WF，即蚱士括时取等号，所以点M的纵坐标的最小值为?，8故选：A10.过点41,1)作直线/与双曲线X2-亡=1交于P,。两点，且使得/是P。的中点，直线/方程为()A.2x-y-l=0B.2xtr3=0C.x=D.不存在【答案】D【分析】设出点P，。的坐标，利用“点差法”求出直线/的斜率并求出其方程，再将直线/与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点尸(西,乂),。小,为)，因点力(1,1)是尸。的中点，则必+为=2(2x2-V2

41、=2从而有；2/两式相减得：2(x(+x2)(Xj-X2)-(,y,+y2)(y1-y2)=0t2x.-y.=2即2(%-七)一(M-%)=0，于是得直线/的斜率为无资=2,直线的方程为:/-l=2(x-l),即y=2x-l,y = 2,x 12/3 = 2消去y井整理得；2-=。此时A = (-4)2-4x2x3 = -80,即方程y=2x-l21=2无解，所以直线/不存在.故选：D11.以原点为对称中心的椭圆C”G焦点分别在x轴，)轴，离心率分别为e“e?,直线/交G，G所得的弦中点分别为(为，%)，N(Xz，%)，若X|X?=#，2e：-e；=l,则直线/的斜率为()A.1B.2C.2D

42、.2yf2【答案】A【分析】分类讨论直线/的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程,再根据中2=2y/“0,2ee；=l求解.【详解】2222设椭圆G，G的方程分别为二y+与=i，工r+yui，由=2必必力。可知,i4b?a?直线/的斜率一定存在，故设内线/的方程为V=去+，x2产，31+，=联立，b；得（a；”?4-2）x2+2kmax2x+a12（m2-b2=0fy=kx+m.一kma：mb,故x-7n7T，必=-2757T:ajK+4ak+6/联立X2 /,k -=1b22 a22y = kx-m得（由2 +b；k?）x2 + 2kmb；x + 622（m2-a22） = 0 ,-

43、kmb_ma，2=炉炉因为X|Xz =2%必wO，rt.1U-kma-kmb；.mb,2ma22Xa；k2+bt2a22+b2k2=a；k2+h,2a22+b22k2,所以如2月=2始出2.2221222t2又2e：-e；=l,所以24一3=2上也一上二=1当心=】，axa2axa2aa2所以aj后=26&,所以2=1,=1.故选：A.12.过椭圆+片=1的右焦点鸟并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为5,椭圆上不同259的两点a，X）,C（X2,必）,满足条件：喝川，生团,|玛CI成等差数列，则弦4C的中垂线在y轴上的截距的范围是（）儿（4）B.崎C笔）D.建圜【答案】C【分析】利用焦半径公式

44、得西+迎=8,设4C中点加（4,盟），利用点差法可求得人数，进而求得弦“C的中垂线方程，求得其在y轴上的截距，利用（4,打）在椭圆“内”，可求得结果.【详解】1o因为|巴小,|巴81，解C|成等差数列，向+|gC|=2|居81=二,利用焦半径公式得：|%4|=5-：X，|取7|=5-：，代入可得再+x?=8设ZC中点M(4，k),椭圆上不同的两点设X”必),eg,%)，22X :乂 -1 i- 1259,，两式作奉可得工+五=11259%一方 _9 X| +X225必+%9 4 -AC . u ，25 ya所以弦AC的中垂线的方程为：y-%=g?(x-4),36当x=0时，=-陪，此即4c的中

45、垂线在V轴上的截距,.”(4,%)在椭圆“内”，二导,1,得-沁V，16V16y(t16一-Tb0)的右焦点和上顶点分别为点尸(c,0)(bc)和点A,直线/:6x-5y-28=0交椭圆于P,。两点，若尸恰好为aH尸。的重心，则椭圆的离心率为() TOC o 1-5 h z A遮B323亚c2#LM55【答案】C【分析】山题设厂(c,O),/f(O,b),利用尸为“尸。的重心，求出线段尸。的中点为8ng),将8代入直线方程得加+m-28=0,再利用点差法可得2/=56c，结合/=+。2,可求出o,b,c,进而求出离心率.【详解】由题设厂（gO）,彳（0/）,P（,必）,。（，力），则线段产。的

46、中点为5（%，%），由一角形重心的性质知酢=2而，B|1（c,-fe）=2（x0-c,y0）,解得：x0=,y0=-即b音,一g）代入直线/:6x-5y-28=O,得9c+?-28=0.乂B为线段产。的中点，则占+x?=3c，m+y2=-b,又尸，。为椭圆上两点，；.二+也=1,二+左=1，abab TOC o 1-5 h z 以上两式相减得a+3-%）+（乂+%/-%）=,a2b2LLr_V1-y7b2X,+X.b23c6c阴以左/0=-=2=FXT=79化刈得2a=5bcx-x2ayx-y2a-b5a=25/5由及/=+c2,解得：=4,即离心率”c5c=2故选：c.14.已知圆M:（x+

47、m+V=/（机0）在椭圆C：:+=l（ab0）的内部，点A为C上矿b TOC o 1-5 h z 一动点.过A作圆M的一条切线，交C于另一点8,切点为。，当。为N8的中点时，直线用。的斜率为一2五，则。的离心率为（）A.；B.立C.BD.逅2224【答案】C【分析】序当点0为45中点时，由点差法可得院自。=-再由J圆M相切可得心=-1，a可解出心力;也；设E为C的左顶点，连接O。，则ZDA/E=2NOO用，根据正切的二倍角AB4公式可解得tanZOOM=也，即得出=-冬将口#和如二-9代入kAB-kOD=得7=；然后解出离心率e=J1%【详解】设4（8,凹）,B（x2,y2）,D（x0,j0）

48、,HIJ2x0=xi+x2,2y0=y+y2.将A, 8的坐标分别代入C的方程，得两式相减，得 -Xj ） = -p-（x -y2 ），所以（乂-%）（%+%）=方加（x1-x2）（x1+x2）,，（%一 名）稣=从（玉x2 ）x0 a2当为48的中点时，kMD=-2yi ,则如n-，一=坐X -x2如图，设E为C的左顶点，连接O。，则NOME = 2NCOM,所以，tan /DO厂tan NDME = tan 2/.DOM =；= 2I2 ,整理得1-tanZOOM72 tan2ZDOA/ +tan ZDOM -VI =0 .解得 tan ZOOM =或tan NCOM =-& （舍去）贝

49、ij kOD = -tan Z.DOM =-,所以不V2今所吟t故c的离心率_V3一 2故选：C.15.已知双曲线：捺一(=1(40,/0),若存在斜率为1的直线与G的左、右两支分别、o4交于点P,Q,且线段尸。的中点在圆C2：x?+(y-2)2=上，则G的离心率的最小值为()A.72B.VJC.2D.4s【答案】B【分析】根据点差法化简后可得血=.，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不X。a等关系，化简即可求出离心率的取值范围.【详解】设尸（演,必）,0（孙），则二一五=1，五一互.=a2b2a2b2-得仁=oa2b2化简得皿纪久g，X-x2xx+x2cr因为直线斜率为1,所以

50、山=与，X）+x2a设“（X。，M）为P,。中点，则生=匕，其中与%=匕/， TOC o 1-5 h z Xoa-22因为A/在圆上，则年+（%-2=:（4）代入可得（/+/）尤-4%+/=0,方程有解可得4=16加-4（44+64）.3/20,即5b1*24/+4/，222解得二-22,即23,aa所以e2G，故选：B.过抛物线=2px（p0）的焦点F的直线/（不平行于y轴）交抛物线于A,B两点，线段A8的中垂线交x轴于点M,若|AB|=4,则线段F/W的长度为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】先设点”（再,必），点83,必），则|明=X1+x?+p,再把zb的中点坐标（丐区,五

51、1殳）和斜率心&表示出来,进一步可以求出线段A8的中垂线的方程，只需令y=0,则M的横坐标X“，故可计算出线段FM的长度为回|=%/【详解】设4区,必)，BQ2,%),由抛物线性质可知|/8|=X1+X2+p=4.2=2内=2%y：-y：=2px1-2px2,由题可知*x2.设线段AB的中垂线的斜率为k0,则/=-1一=一然及.kAB2P所以A8的中垂线方程为：N-丛声=-b(x-詈)令y=0,则M的横坐标X“=P+衿玉则怛河卜“一夕所以线段FM的长度为2.故选：B.已知抛物线G:/=石和圆G：(x-6)，(y-l产=1,过圆G上一点P作圆的切线交抛物线G于M,N两点，若点P为/WN的中点，则

52、切线MN的斜率kl时的直线方程为()A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-ll+5=0D.4x-3y-26=0【答案】D【分析】设点P(Xo，y()和直线MN的方程为：x=my+n(m*0),其中左=，1,则0加1,联立m、=皎+216并结合韦达定理可得%=77/+，%=77加，利用直线M/V与圆Cz相切，则y=一x1515U158/w仃/,l=LII根据“纹C2P与有线MN垂忆则#=-1，消去化简可得J/+1细-+一6m1564m4-240m3+64m2-240m+225=0，降次整理可得(4m-3)(16_48m?一20m-75)=0,令g(/)=16/48m2一2

53、0m-75,利用导数求出单调性可证明gW)=0在(0,1)无解,故可得3m=，代入可求“，从而可求直线MN的方程.4【详解】画出曲线图像如下图：由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0,设点尸（x。/。），设直线MN的方程为：x=my+n（m*0）,其中左=工1,则0加1,mx=my+n联立， TOC o 1-5 h z -T尔21616A216，可得y-zny-w=0,y=x151515则有，凹+为=卷7，苟十七=加（必+必）+2=怖+2，OQ根据中点坐标公式可得，Xo=m Q Q整理得 =一上一加2 + 6，+n,y0=m16一加一/7乂宜线MN与圆C2相切，则有/丁,=1,即(6-2-)2

54、=/+1,y/m+18m TOC o 1-5 h z 11依题意，直线CzP与直线MN垂直，则产=-1,8广，m+一615 TOC o 1-5 h z A1彳从而式的解只有一个，加=；，代入式可得，313所以，直线MN的方程为：x=：y+9,整理得，4x-3y-26=0.故选：D.18.已知圆C:(x+2)2+(”l)2=g与椭圆42+4/=4相交于48两点，若48是圆。的直径，则椭圆的方程为()2222222.XVfnXy,XyyX2iA.+=1B.+=1C.+=1D.+y2=112343824.【答案】A【分析】由即意可得点48天也心(-2,1)对称，先用点差法将直线AB的斜率求出来，即可

55、得AB的方程，然后再由回=M即可求H；椭圆的方程.【详解】依题意，点48关于圆心”(-2,1)对称，且卜所.设4(Xj,yJ,3(,丹)，则x；+4y；=4/,x；+4货=46。两式相减并结合X|+丫2=-4,必+/=2得-4(占-X2)+8(%-%)=0.易知，N8不与x轴垂直，则x户x,所以48的斜率心3=之一卫=:，因此48直线方程为y=g(x+2)+l,代入椭圆方程得：/+4+8-2/=0，所以七+七=-4,X1x2=8-2Z2.于是I/M=j+(g)k-苞|=(可+范f-41=J6.由|力耳=V10,得小10(匕-2)=V10，解得=3.22所以椭圆的方程为三+2=1,123故选：A

56、.19.已知抛物线E:/=x,直线y=h-2交抛物线E于48两点，M是N8的中点，过M TOC o 1-5 h z 作J轴的垂线交抛物线E于点N,且记.而=0,若&1,则A为()C. V3D. 23A.y/2B.-【答案】B【分析】设/（，%）,8（五,）,历（丫0，4），2=优,0）,根据向量运算可得必必+3*+1=。，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求解之【详解】设/（才,必）,8（*,%），M（%,盟），则N=（*,%）,丽=（必2-，*-%）丽=（负-，%-%）由福丽=0，（疗-/）（门-火）+（必-典）（%-%）=。.二（凶+%）（%+盟）+1=。，,凶+%（必+%）+乂+

57、1=，即外力+3、：+1=0，由0,即上-：时 TOC o 1-5 h z 2%+%=7，=一尸kk代入得：31A4-+1=0k4公艮|J4A-8k+3=0，解得人=或=：（舍去），20.已知椭圆C:故选：8=1（从0/0）相交于8,。两点，且8。的中点为M（L3）,则C的离心率是【答案】2【分析】设8（玉,凹）,）区,必），代入双曲线方程，利用点差法，可求得b17=3,代入离心率公式，即可得答案.【详解】）工-巫=/b222殳一”=1jb2两式作差可得：亡式（玉二 x?）（占 + x?） _ （乂 - ” 乂乂 + %）b2所以* +x2 =2,y, +y2 =6 ,乂直线8斜率为1,所以处

58、.代入可得a2所以C的离心率e = J1 +勺=2 .故答案为：222.已知椭圆+ ( = 1的弦被点(1,1)平分，则这条弦所在的直线方程为【答案】5x + 9y-14 = 0【分析】设这条弦的两个端点分别为”(演,乂)、B(x2,y2),由中点坐标公式得工 + X = 21- C，利用点差%+%=2法可求得直线48的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.【详解】解：己知椭圆卷+匚1的弦被点(1,1)平分,设这条弦的两个端点分别为“(国,凹)、8(x2，%),X +x2 _ X + 工2 = 2y,+y2=2I 222 +由于点、A、B均在椭UI -（匕=1上，则，*9 5M19则=

59、=,左 5 2%- 5两式相减得上区+上*=0,可得号理二一1，95x：-x；9即（，%）（%+%）= 5-9）（*+%）9 所以直线Z8的斜率为砥&=江山=-4，因此，这条弦所在直线的方程为=即5x+9y-14=0.故答案为：5x+9y-14=0.23.已知椭圆+4=1离心率e=；,过椭圆中心的直线交椭圆于4、B两点（4在第一a2b22象限），过工作x轴垂线交椭圆于点C,过/作直线/P垂直48交椭圆于点P,连接8P交.AC于点Q,则笔=【答案】|/1：3【分析】苜先求得“怎B=-，然后由的8=跖求得0点的纵坐标，从而求得笔.【详解】aV2）4设/（/，为），则8（-/,一为），设尸（须，乂）

60、，。（/，加）军+算=i,M+4=i,两式相减并化简得-与=为。一人二为,a2b2a2b2X|-（一x（Jx,-x0即原=一与=一,如=资a4%A由48：尸，可得=-区，则=誓，即如=3=用=件，解得巾=春，拶=*=No4x（），x04X。2-No3 TOC o 1-5 h z 2224.已知椭圆C:土+2=1上存在A,3两点关于直线y=X+，对称，且线段的中点34在抛物线y?=x上，则实数用的值为.33【答案】白或0/0或弓1616【分析】由题意，设/B：y=-x+f.48的中点联立直线月3方程和椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得代入抛物线方程可求人从而即可得，的值.【详解】解：因为