人教A版高中数学必修一1.1集合中的数学思想

1、1.1 集合中的数学方法 【基础知识梳理】一、数形结合思想把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的。二、等价转化思想在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用。三、分类讨论思想整体问题化为部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.四、函数与方程思想将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解。五、正难则反 【教学重难点】1、元素与集合、集合与集合间的关系：元素相当于个人，集合相当于组织。组织由若干个人构成，空集则是没有人参加的组织，但仍然是组织。组织有大有小，内部也

2、有分支机构。2交集与并集容易混淆【经典例题讲解】例1.已知为全集,集合、为的子集,且=,那么集合等于_例2已知集合，且,则实数组成的集合是_.例3设集合,集合，若是的子集,求实数的取值范围. 例4.设,是否存在,使得,证明此结论.例5已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.【课堂练习】1设集合，若，求实数的取值范围2. 已知集合A、B、C为非空集合，M=AC ，N=BC, P=MN，则（）一定有，一定有，一定有，一定有， 3设集合，若，求实数的取值范围4已知（，），（，），（，），求5关于的不等式与的解集分别为A和B,求使的的取值范围.【当堂检测】集合M=，N=，且M，N都是集

3、合的子集，如果把叫作集合的“长度”。求集合M的“长度”的最小值。2，已知非空集合S，A是S的一个非空子集，若当时，有且则称为A的一个“孤立元素”，若S=求S的无“孤立元素”的三元子集的个数，并写出这些子集 3，设S为实数集R的非空子集，若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：集合S=为整数 为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集。其中真命题是-（写出所有真命题的序号）4，已知集合M=，A，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”且规定：当集合A只有一个元素时，其“累积值”即为该元素的数值，空集的“累积值为0，设集合A的“累积值”为

4、。若这样的集合A共有-个，若为偶数则这样的集合A共有-5，对于集合N=及它的每一个非空子集，定义它的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减，加后继的数。例如集合的“交替和是9-6+4-2+1=6，集合的“交替和”为5，当时，集合N=的所有非空子集为，则它的“交替和”的总和，当时它的“交替和”的总和-，并根据其结果猜测集合N=的每一个非空子集的“交替和”的总和-6，若规定E=的子集为E的第个子集，其中，则是E的第-个子集；E的第211个子集是-7，设D是正及其内部的点构成的集合，点是正的中心。若集合，则集合S表示的平面区域是（ ）区域A，三角形 B，四边形 C，五

5、边形 D，六边形 参考答案【经典例题讲解】例1.已知为全集,集合、为的子集,且=,那么集合等于_解:由于集合、将全集划分为四个子集: 、.所以借助于文氏图, 可迅速做出判断,如图, 易知=()()()I().将已知元素填入相应的集合,易知.即,且.因此，例2已知集合，且,则实数组成的集合是_.解: 是的子集又是的真子集或或当时,当时,解得当时, 解得的值组成的集合是例3设集合,集合，若是的子集,求实数的取值范围. 解: 是的子集可能为、或方程中, 若或,则,为的子集若,原方程为，为的子集若,原方程为，为的子集若,则,原方程有两个相异实根由是的子集得,解得综上得,当时, 是的子集例4.设,是否存

6、在,使得,证明此结论.解: 且此不等式有解,其充要条件是,即 从而即 由及,得代入由和组成的不等式组,得 故存在自然数,使得例5已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.解:运用补集概念求解设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上 【课堂练习】1设集合，若，求实数的取值范围解：由得，故当，时，成立；-2-52-t2t+1当时，由图中数轴所示，可得，解之得综上所述可知所求实数的取值范围为2. 已知集合A、B、C为非空集合，M=AC ，N=BC, P=MN，则（）一定有，一定有，图一定有，一定有， 解：如图，则必有，即，选 3设集合，若，求实数的取值范围解：由，得在集合中，（1）

7、当时，则，满足；（2）当时，若，则，这与矛盾若，则，为使，只要即可，解得综上所述，实数的取值范围是4已知（，），（，），（，），求解：集合（，）是平面上所有点的集合；集合是直线上的点的集合；集合是直线上的点的集合，但要除去点（，）；而表示点（，）以及平面上除了直线上的所有点以外的所有点，所以对应的元素为（，），即（，）5关于的不等式与的解集分别为A和B,求使的的取值范围.解:运用子集概念求解由已知得, 当时,对任意实数,不等式恒成立 当时, 此时 综上所述,所求的取值范围是或【当堂检测】1，集合M=，N=，且M，N都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”。那么集合M的“长度”的最小值是 A，

8、B， C， D，解析；由“长度”定义知，当分处两端，即时集合M的“长度”最小，此时M=，N= ，M=所以最小值是。2，已知非空集合S，A是S的一个非空子集，若当时，有且则称为A的一个“孤立元素”，若S=求S的无“孤立元素”的三元子集的个数，并写出这些子集解析；由“孤立元素”定义知，S的无“孤立元素”的三元子集三个数为连续自然数所以这些子集是，共三个子集 3，设S为实数集R的非空子集，若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：集合S=为整数 为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集。其中真命题是-（写出所有真命题的序号）解析；对于整数有，故

9、正确，当时故正确，当S=时S为封闭集故错误，取S=，T=时，显然故错误。答案：4，已知集合M=，A，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”且规定：当集合A只有一个元素时，其“累积值”即为该元素的数值，空集的“累积值为0，设集合A的“累积值”为。若这样的集合A共有-个，若为偶数则这样的集合A共有-个解析；若则A=或共有2个为偶数若直接求解则运算繁琐不仿从反面考查，M的子集共有个，其中累积值为奇数的子集为，共有3个所以为偶数时这样的集合A共有29个。5，对于集合N=及它的每一个非空子集，定义它的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减，加后继的数。例如集合的“交

10、替和是9-6+4-2+1=6，集合的“交替和”为5，当时，集合N=的所有非空子集为，则它的“交替和”的总和，当时它的“交替和”的总和-，并根据其结果猜测集合N=的每一个非空子集的“交替和”的总和-解析；当时集合N=的所有非空子集共有7个即，因此它的“交替和”的总和1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，因为，由此猜测。点评：另解将空集的交替和理解为0，注意到任意子集P（不含最大元素）与Q=的“交替和”恒为定值，而这样的配对共有对（即不含的其他个元素构成集合的子集的个数），所以6，若规定E=的子集为E的第个子集，其中，则是E的第-个子集；E的第211个子集是-解析；由所给的新定义知由，知要使=211须不妨设， E的第211个子集是答案：5 点评：本题是一个新定义型试题，构思新颖，亮点明显，主要考查学生在新情境下灵活运用新定义分析，解决问题的能力，解决好本题的关键是对新定义的把握。 7，设D是正及其内部的点构成的集合，点是正的中心。若集合，则集合S表示的平面区域是（ ）区域A，三角形 B，四边形 C，五边形 D，六边形 解析；