2021重庆中考数学阅读创新25题专题训练

1、（2）F(3)90909,ab(ab)ba2021重庆中考数学第25题专题训练二25已知，我们把任意形如：tabcba的五位自然数（其中cab，1a9，0b8）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数32523中，325，所以32523就是一个喜马拉雅数并规定：能被自然数n整除的最大的喜马拉雅数记为Fn，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为In（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F3+I(8)的值解析：（1）各数位数字之和abcba2a2bc2a2b(ab)3(ab)a、b是整数ab是整数任意一个喜马拉雅数都能被3整除10101a1110b3a2b1263a139b888喜马拉雅数能

2、被8整除3a2b能被8整除1a9,0b8,1ab9，33a2b27，3a2b8,16或24可得：I(8)21312F(3)I(8)909092131211222125一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F(k)如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，7619=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F(722)4(1)计算：F(304)F(2052)；(2)若m、n都是“魅力数”，其中m3030101a，n40010bc(0a9,0b9,

3、0c9，a、b、c是整数)，规定：G(m,n)acb当F(m)F(n)24时，求G(m,n)的值.解：（1）F(8062)806262809918（1分）设nabcdF(n)1000a100b10cd(1000c10d10ab)9910ab10cda、b、c、d是整数,10ab10cd也为整数,即：结论成立.（4分）（2）设“平衡数”Nmnpq由题可得：mnpq,p2n1N1000m100n10pq1001m101n9p1001m119n9（5分）N能被11整除1001m119n99n991m10n11119n9为整数11又0n9且n为整数n1p2n11（7分）N1001m110N能被3整除1

4、001m1102a2333m36332a2为整数3又1a9a2或5或8N=2112或5115或8118（9分）F(2112)9,F(5115)36,F(8118)63F(N)的最小值为9（10分）阅读下列材料，解决问题：一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止例如：判断1675282是不是“灵动数”，判断过程：16752825167518，16751851

5、6711，1671151666，16665136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续65=30，现在个位5=30剩下的13，就用大数减去小数，301317，17是17的1倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“灵动数”（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为27mn，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，且m、n为整数，若这个数能被51整除，请求出这个数解：（1）724-25714,71-455151是17的3倍，7242是“灵动数”；209875-45209855,20985-55209602096-052

6、096,209-6527995-271818不能被17整除，2098754不是“灵动数”.（2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除10m+n-3能被51整除0m9,0n9310mn39610m+n-3=0或51，即10m+n=3或54m0或m5n3n4这个数为2703或275425、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除（1）判断266357（能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t可以表示为tp2q2的形式，（其中pq且为正整数），这样的

7、数叫做“佛系数”，在t的所有表示结果中，当pq最小时，称p2q2是t的“佛系分解”，并规定F(t)p2qpq例如：3262-2292-72，9-762，则F(32)92723972100（y4）8210(x1)y（已知一个五位自然数，末三位数m80010y42，末三位以前的数为n10 x1）y（其中1x8，1y9且为整数），n为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求F(n)的最大值解析：（1）能；（1分）设末三位数为B，末三位以前的数为A，则这个数为1000A+B.BA13k,k是整数BA13k1000AB1000A（A13k)1001A13k13(77

8、A13)A,k是整数77A13是整数所以：任意一个多位自然数都满足上述规律（4分）（2）当1y5时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（x1）、y、8、（y4）、2；10 x99y4721313x8y363x5y4133x5y413是整数1x8,1y5183x5y4233x5y413,0,13（6分）x1,2,7,8y4,2,5,3n24,32,85,93当6y9时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（x1）、y、9、（y6）、2；100（y-6）9210(x1)y10 x99y-5181313x8y-403x4y2133x4y213是整数F(24)17,F(32)，F(85)127，

9、F(93)1391x8,6y9403x4y243x4y239,26,13x4,5y8,6n58,66（7分）（,由np2q2(pq)(pq)（pq）pq）奇偶性相同2322172312713922F(n)最大值是139.（10分）25一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除例如：6549，549+6=555，55537=15，所以6549能被37整除；12360146，146+360+12=518，51837=14，所以12360146能被37整除（1）判断：333444（能、不

10、能）被37整除；证明：若四位数abcd（其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d为整数）能被37整除，求证：将abcd的个位截去，再用余下的数减去个位数的11倍也能被37整除（2）一个四位数abcd（其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数25（1）能1分证明：由题可知，100b10cda37k1分其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d、k为整数d37k100b10ca100a10bc11d（100a10bc113

11、7k100b10ca）407k111a1110b111c（3711k3a30b3c）3分abcd的个位截去，再用余下的数减去个位的11倍也能被37整除（2）由题可知，adbc，100b10cda37kbdcm21分其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d、k、m为整数100b10cbc37k101b11c37k111b10b11c37k10b11c37k1（k为整数）1分1b7或27910b11c890377410b11c74、37、1分b41c13c27c3b7当11时，满足条件bdcm2的d5，此时a5b4当时，满足条件bdcm2的d4，此时对应的a72d7a4d3a8112c7

12、2233综上所述，此四位数为5735、8473、7474、44772分，25.一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n。把n放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F(n)，例如：n23时，n32，F(23)2332322381.11（1）计算F(42)_;若m为“启航数”，F(m)是一个完全平方数，求F(m)的值；（2）s、t为“启航数”，其中s10ab,t10 xy（1ba9,1x、y5，且a,b,x,y为整数）规定：K(s,t

13、)stt，若F(s)能被7整除，且F(s)F(t)81y162，求K(s,t)的最大值.解析：（1）F(42)1621设mpq(1pq9，且p、q为整数)，则F(m)=pqqpqppq1181(pq)，F(m)完全平方数，pq为完全平方数，1pq9，且p、q为整数0pq8，pq1或4，F(m)=81或3245（2）由题意知：sab,txy（1ba9,1x、y5，且a、b、x、y为整数），F(s)81(ab)，F(t)81(xy)，F(s)能被7整除，81(ab)7为整，又1ba9，所以0ab8，ab7，a9,b2或a8,b1，s=92或816又F(s)F(t)81y162，81(ab)81(x

14、y)81y162，2yx5，1x、y5且xy，所以x1,y3或x3,y4，t13或348，K(92,34)，K(81,13)，K(81,34)K(92,13)7929684713171334K79min131025.阅读下列材料，并解决问题：则材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，我们称这样的数为“倍差数”.如122，222-1；材料2：若一个数M能够写成M=p2q2pq(p、q均为正整数，且pq)，则我们称这样的数为“不完全平方差数”，当2pqp2qp最大时，我们称此时的p、q为M的一组“最优分解数”，并规定F(M).例q29-82217-17121如3492-8

15、298172-1721717，因为，所以F(M)92851721735398；（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；（2）若一个小于300的三位数N140a20bc（其中1b4，0c9，且a、b、c均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有F(N)的最大值.解析：（1）设任意的”倍差数”为abcb2caabca100a10bca81a21c327a7ca,c均为整数27a7c为整数abca能被3整除.4分（2）N140a20bc100a104a2bc4N300a1,2当a2时，a2b10(舍)a1.5分当1b2时N1(42b)c42b2(c1)cb

16、3b1b2，N164,185.6分c4c5当3b4时N2(42b-10)c2b-62(c2)bc1b3b4，N202,223.7分c2c3N是“不完全平方差数”N(pq)(pq1)N为偶数N164,202.8分F(164)225119502251,F(202)1950F(N)的最大值为2219.10分在任意n（n1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”。若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”。比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324

17、132643060，306017180，所以1324是“最佳拍档数”。（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；（2）若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值。解：（1）9652，9652是公能数F(9652)(9652)(9562)7（1分）113232，3232是公能数F(3232)(3232)(3322)111（2分）（2）P1000 x10y616x10006100(y1)106Q100mn304231000m100410(n2)P，Q是“公能数”且1x9，0y8，1m9，0n7x

18、6y16，3m4(2n)yx1，nm1（3分）Px6x6，Q3m4(m1)F(P)(x6x6)(xx66)11x6，（4分）F(Q)(3m4(m1)34m(m1)112m（5分）2F(P)F(Q)32(x6)(2m)3即2xm17（6分）1x9，1m9，x6x8x7x5,，m1m3m7（8分）当x=8，m=1时，P=8686，Q=3142，则F(P)2，F(Q)1k221当x=7，m=3时，P=7676，Q=3344，则F(P)1，F(Q)1k111当x=5，m=7时，P=5656，Q=3748，则F(P)1，F(Q)5k1155112k的最小值为1（10分）525.任意一个三位数n形式上可以

19、表示成abc（其中百位、十位、个位数字分别为a、b、c），如果abc满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称n为“奇异数”将一个“奇异数”n各个数位上的数字两两组合可以形成六个新的两位数，我们把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以11，所得的结果叫做这个“奇异数”n的“奇异和商”，记作Fn例如235是一个“奇异数”，六个新的两位数分别是23,25,35,32,53,52，则F2352325353253521120（1）求F189的值；（2）试说明任意一个三位“奇异数”的“奇异和商”能被这个三位数各个数位上的数字之和整除；（3）如果一个三位数满足十位数字等于百位数字与个位数字乘积的一半

20、，那么这个三位数叫做“奇妙数”已知一个三位数正整数m20(5x1)2y（其中x、y都是整数，且1x9，0y9），既是“奇异数”，又是“奇妙数”求Fm的最小值解：（1）F18918198981919811362分（2）由题意设这个数为abc的“奇异和商”：Fabc10ab10ba10bc10cb10ac10ca1122abc112abc4分则能被abc整除（3）当1y4m100 x202y5分m的百位、十位、个位数分别为x、2、2y2x2y则xy22m124或2226分当5y9m100 x30(2y10)7分m的百位、十位、个位数分别为x、3、2y-103x（2y-10）则6x（2y-10）2m

21、136或3328分各个数位上的数字互不相同m124或1369分F(m)F(124)212414F(m)F(136)213620F(m)min1410分重庆一中初2018级1718学年度上期半期考试25.材料1：一个多位正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数(数字1314的谐音).例如：正整数364，3641328，3641426，则364是“一生一世”数.材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素（即a与b的公约数只有1），则m一定能被ab整除.例如：正整数364，3641328，3641426，因为13和14互素，则364(1

22、314)3641822，即364一定能被182整除.“（1）6734（填空：是或者不是）一生一世”数.并证明：任意一个位数大于三位的“一生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被91整除；（2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.25.一个两位正整数n,如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0,那么称n为“启航数”,将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n,把n放在n的后面组成第一个四位数,把n放在n的后面组成第二个四位数,我们把第一个四位数减去第二个四位数后

23、再除以11所得的商记为F(n),例如:n=23时，n=32,F(23)=2332-3223-81.11(1)计算F(42)=_，若m为“启航数”,F(m)是一个完全平方数,求F(m)的值；(2)s、t为“启航数”,其中s=10a+b,=10 x+y(1ba9，1x、y5,且a、b、x、y为整数).规定:Ks，ts-tt，若F(s)能被7整除,且F(s)+F(t)-81y=162,求K(s,t)的最大值。对于一个正整数，如果从左到右偶数数位上的数字之和与奇数数位上的数字之和的差是11的倍数，则称这个正整数为“新奇数”。把一个多位正整数分解为末三位和末三位之前的数，如果末三位数减去末三位以前的数所

24、得差能被13整除，则这个多位正整数“新异数”。已知任意四位数P均可唯一分解为P1000 xy2z的形式（其中x,y,z均为非负整数，且z2y1），规定G(M)xyxz例如：12341000116222，G(1234)1161512223（1）求证：任意四位“新奇数”都能被11整除；（2）已知一个四位自然数n1000a100b10cd(1a6,2b6,1c7)，个位数字比百位数字小2；mn2301，且m既是“新奇数”，又是“新异数”，求符合条件的正整数m以及G(M)最小值任意一个正整数n，都可以表示为：n=abc（abc，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b-（a+c）|最小

25、，我们就称abc是n的“阶梯三分法”，并规定：F(n)acb，例如：6=116=123，因为|21-（1+6）|=5，|22-（1+3）|=0，50，所以123是6的阶梯三分法，即F(6)1322（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2（2）t是一个两位正整数，t=10 x+y（1x9，0y9，且xy，x+y10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值25.材料一：有一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位

26、数字相同，且千位数字小于百位数字，则称这个四位数为“美好数”。例如3443为“美好数”；材料二：一个个正整数x能写成xa2b2(a、b均为正整数,且ab),则称x为“美满数”，a、b为x的一个b平方差分解,在x的所有平方差分解中,若a2b2最大,则称a、为x的最佳平方差分解,此时F(x)a.例如：b2152-22，21为“美满数”,5和2为21的一个平方差分解，48132-11282-4272-12，因为13211282427212，所以13和11是48的最佳平方差分解,所以F4813.根据材科回答:11(1)求证:任一个美好数的各数位上的数字之和为6的倍数,则这个美好数一定能被33整除；(2)若一个数m既是“美好数”又是“美满数”,并且另一个“美好数”的前两数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个平方差分解,请求由所有满足条件的数m中F(m)的最大值。25.对于一个四位自然数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0,它的千位数字