2021年中考数学 培优专题四边形压轴专练

1、中考数学培优专题：四边形压轴专练1如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若ABC120，连结BG、CG、DG，求证：DGCBGE；求BDG的度数；（3）若ABC90，AB8，AD14，M是EF的中点，求DM的长2如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGBD交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF（2）若G90求证：四边形DEBF是菱形；当AG4，BG3时，求四边形DEBF的面积3如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接

2、AP交对角线BD于点E，BPBE作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N（1）求证：BAPBGN；（2）若AB6，BC8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tanCFM的值4如图所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图所示线段DG与BE之间的数量关系是；直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD2AB，AG2AE时，上述结论是否成立，并说明理由（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE1，AB2，求BG2+DE2的值

3、（直接写出结果）5在四边形ABCD中，E为BC边中点（）已知：如图1，若AE平分BAD，AED90，点F为AD上一点，AFAB求证：（1）ABEAFE；（2）ADAB+CD；（）已知：如图2，若AE平分BAD，DE平分ADC，AED120，点F，G均为AD上的点，AFAB，GDCD求证：（1）GEF为等边三角形；（2）ADAB+BC+CD6如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度（090）得到正方形ABCD（1）如图1，BC与AC交于点M，CD与AD所在直线交于点N，若MNBD，求；（2）如图2，CB与CD交于点Q，延长CB与BC交于点P，当30时求DAQ的度数；若AB6，求PQ的长度7如图，

4、在梯形ABCD中，ADBC，C90，AD2，BC5，DC3，点E在边BC上，tanAEC3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DMx，ANy（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45，请直接写出这时线段DM的长8在正方形ABCD中，AB6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MNCM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN感知：如图，当M为BD的中点时，易证CMMN（不用证明）探究：如图，点M为对角线BD上任一点（不与B

5、、D重合）请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论应用：（1）直接写出MNC的面积S的取值范围；（2）若DM：DB3：5，则AN与BN的数量关系是9矩形ABCD中，AB2，AD4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为OGE的面积，求S的取值范围10如图，已知在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且APCQ，过点P作PMAB，垂足为点M，联

6、结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设APx，平行四边形PQNM的面积为y（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求PQM的正切值；（2）当点N在ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值11（1）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABCD，E是BC的中点，AE是BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；（

7、3）联想拓展：如图，ABCF，E是BC的中点，点D在线段AE上，EDFBAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论12如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC5，点E在射线BC上，tanDCE，点P从点B出发，以每秒2个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQBD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造PBQF，设点P的运动时间为t（t0）（1）tanDBE；（2）求点F落在CD上时t的值；（3）求PBQF与BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；（4）连接PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与ABC的边平行（不重合）或垂直

8、时，直接写出t的值13如图，在RtABC中，A90，AC3，AB4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PMAB，且PM3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM设点P的运动时间为t秒（1）线段MP的长为（用含t的代数式表示）（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围（3）当点N在ABC内部时，设矩形PQNM与ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式（4）当点M到ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值14如图，在ABC中，BAC90，B45，BC8过点A作ADBC且点D在点A的右侧点P从点A出发沿射

9、线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE2，连结PE，设点P的运动时间为t秒（1）直接写出线段AP，CQ的长（用含t的代数式表示）（2）当PEBC时，求t的值当t值取问结果时，判断四边形APEQ的形状，并说明理由（3）是否存在t的值，使以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）若将点Q沿射线CB方向运动的速度改为每秒a个单位，当四边形APCE为菱形时，直接写出a的值15如图，已知ABC中，ACB90，AC4，BC3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接eqoac

10、(,MN)，将AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A（1）如图1，若点A恰好落在边AB上，且ANAC，求AM的长；（2）如图2，若点A恰好落在边BC上，且ANAC试判断四边形AMAN的形状并说明理由；求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长参考答案1解：（1）证明：AF平分BAD，BAFDAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAFCEF，BAFCFE，CEFCFE，CECF，又四边形ECFG是平行四边形，四边形ECFG为菱形；（2）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABDC，ADBC，ABC120，BCD60，BCF1

11、20由（1）知，四边形CEGF是菱形，CEGE，BCGBCF60，CGGECE，DCG120，EGDF，BEG120DCG，AE是BAD的平分线，DAEBAE，ADBC，DAEAEB，BAEAEB，ABBE，BECD，DGCBGE（SAS）；DGCBGE，BGDG，BGEDGC，BGDCGE，CGGECE，CEG是等边三角形，CGE60，BGD60，BGDG，BDG是等边三角形，BDG60；（3）如图2中，连接BM，MC，ABC90，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，ECF90，四边形ECFG为正方形BAFDAF，BEABDC，M为EF中点，

12、CEMECM45，BEMDCM135，在BME和DMC中，BMEDMC（SAS），MBMD，DMCBMEBMDBME+EMDDMC+EMD90，BMD是等腰直角三角形AB8，AD14，BD2DM，BDeqoac(,S)ABG346，2证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，DFDC，BEAB，DFBE，DFBE，四边形DEBF为平行四边形，DEBF；（2）AGBD，GDBC90，DBC为直角三角形，又F为边CD的中点BFDCDF，又四边形DEBF为平行四边形，四边形DEBF是菱形；ADBG，AGBD，G90，四边形AGBD是矩形，eqoac(,

13、S)ABDeqoac(,S)ABD3，eqoac(,S)BDE6E为边AB的中点，eqoac(,S)BDE四边形DEBF的面积23（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABC90，BAPAPB90BPBE，APBBEPGEF，MN垂直平分线段AP，GFE90，BGN+GEF90，BAPBGN（2）解：四边形ABCD是矩形，BADABP90，ADBC，ADBC8，BDADBC，DAEAPB，10，APBBEPDEA，DAEDEA，DADE8，BEBPBDDE1082，PA2，MN垂直平分线段AP，AFPF，PBAD，PEPAEFPFPE，（3）解：如图3中，连接AM，MP设CMx四边形AB

14、CD是矩形，ADMMCP90，ABCD6，ADBC8，MN垂直平分线段AP，MAMP，AD2+DM2PC2+CM2，82+（6x）262+x2，x，PFMPCM90，P，F，M，C四点共圆，CFMCPM，tanCFMtanCFM4解：（1）如图中，四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；如图2，延长BE交AD于T，交DG于H由知，ABEDAG，ABEADG，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG，故答案为：BEDG，BEDG；（2）数

15、量关系不成立，DG2BE，位置关系成立如图中，延长BE交AD于T，交DG于H四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，BADEAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG；（3）如图中，作ETAD于T，GHBA交BA的延长线于H设ETx，ATyAHGATE，2，GH2x，AH2y，4x2+4y24，x2+y21，BG2+DE2（2x）2+（2y+2）2+x2+（4y）25x2+5y2+20255（）证明：（1）如图1中，AE平分BAD，BAEFAE，在ABE和AF

16、E中，ABEAFE（SAS），（2）ABEAFE，AEBAEF，BEBF，AE平分BC，BECE，FECE，AEDAEF+DEF90，AEB+DEC90，DEFDEC，在DEF和DEC中，DEFDEC（SAS），DFDC，ADAF+DF，ADAB+CD；（）证明：（1）如图2中，E是BC的中点，BECEBC，同（1）得：ABEAFE（SAS），DEGDEC（SAS），BEFE，AEBAEF，CEEG，CEDGED，BECE，EFEG，AED120，AEB+CED18012060，AEF+GED60，FEG60，FEG是等边三角形（2）由（1）可知FGGEEFBC，ADAG+GH+HD，ADAB

17、+CD+BC6解：（1）如图1中，MNBD，CMNCBD45，CNMCDB45，CMNCNM，CMCN，CBCD，MBND，ABAD，ABMADN90，eqoac(,AB)eqoac(,M)ADN（SAS），BAMDAN，BAD90，MAN45，BAMDAN22.5，BAC45，BAB22.5，22.5（2）如图2中，ABQADQ90，AQAQ，ABAD，RtAQBRtAQD（HL），QABQAD，BAB30，BAD90，BAD30，QADBAD30如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AEEP，连接EP设PBaABPABP90，APAP，ABAB，RtAPBRtAPB（HL），BAPPA

18、B15，EAEP，EAPEPA15，BEPEAP+EPA30，PEAE2a，BEAB6，a，2a+a6，a6（2PB6（2），PCBCPB66（2）66，CPQ+BPB180，BAB+BPB180，CPQBAB30，PQ1247解：（1）如图1中，作AHBC于H，ADBC，C90，AHCCD90，四边形AHCD是矩形，ADCH2，AHCD3，tanAEC3，3，EH1，CE1+23，BEBCCE532（2）延长AD交BM的延长线于GAGBC，DG，AG2+，y（0 x3）（3）如图31中，当点M在线段DC上时，BNEABC45，EBNEAB，EB2ENAE，解得x如图32中，当点M在线段DC的

19、延长线上时，ANBABE45，BNAEBA，AB2AEAN，（3）2+解得x13，综上所述DM的长为或138解：探究：如图中，过M分别作MEAB交BC于E，MFBC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，四边形ABCD是正方形，ABC90，ABDCBDBME45，MEBE，平行四边形BEMF是正方形，MEMF，CMMN，CMN90，FME90，CMEFMN，MFNMEC（ASA），MNMC；应用：（1）当点M与D重合时，CNM的面积最大，最大值为18，当DMBM时，CNM的面积最小，最小值为9，综上所述，9S18（2）如图中，由（1）得FMAD，EMCD，ANBC6，AF3.6，CE3.6，

20、MFNMEC，FNEC3.6，AN7.2，BN7.261.2，AN6BN，故答案为AN6BN9解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，BCADCG4，B90，ABCD2，DG2，AGABBG42，故答案为42（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到CGE90，点G在线段AE上，AGC90，CACA，CBCG，RtACGRtACB（HL）ACBACG，ABCDACGDAC，ACHHAC，AHCH，设AHCHm，则DHADAH5m，在RtDHC中，CH2DC2+DH2，m222+（4m）2，m，AH，GH（3）如图，当点G在对角线AC上时，OGE的面积最小，最小值OGEG2（4）4当点G在A

21、C的延长线上时，eqoac(,OE)G的面积最大最大值EGOG2（4+）4+综上所述，4S4+10解：（1）在RtACB中，C90，AC8，BC6，AB10，当四边形PQMN是矩形时，PQABtanPQM（2）如图1中，延长QN交AB于K由题意BQ6x，QNPMx，AMx，KQBQ，BKBQ，MKABAMBKQNQK，xx，yPMMK（0 x）（3）如图31中，当平分MN时，D为MN的中点，作NEBC交PQ于E，作NHCB交CB的延长线于H，EGBC于GPDBC，ENBC，PDNE，PEDN，四边形PDNE是平行四边形，PEDN，DNDM，PQMN，PEEQ，EGPC，CGGQ，EGPC，四边

22、形EGHN是矩形，NHEGNQPMx，PC8x，x（8x），解得x如图32中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DHCB交CB的延长线于HDHPC，8xx，解得x，综上所述，满足条件x的值为或11解：（1）探究问题：结论：ADAB+DC理由：如图中，延长AE，DC交于点F，ABCD，BAFF，在ABE和FCE中，CEBE，BAFF，AEBFEC，ABEFEC（AAS），CFAB，AE是BAD的平分线，BAFFAD，FADF，ADDF，DC+CFDF，DC+ABAD故答案为ADAB+DC（2）方法迁移：结论：ABAF+CF证明：如图，延长AE交DF的延长线于点G，E是BC的中点，CEBE，ABDC

23、，BAEG且BECE，AEBGECAEBGEC（AAS）ABGCAE是BAF的平分线BAGFAG，BAGG，FAGG，FAFG，CGCF+FG，ABAF+CF（3）联想拓展：结论；ABDF+CF证明：如图，延长AE交CF的延长线于点G，E是BC的中点，CEBE，ABCF，BAEG，在AEB和GEC中，AEBGEC，ABGC，EDFBAE，FDGG，FDFG，ABDF+CF12解：（1）如图1中，作DHBE于H在RtBCD中，DHC90，CD5，tanDCH，DH4，CH3，BHBC+CH5+38，tanDBE故答案为（2）如图2中，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC5，tanCBMCM，BM

24、DM2PFCB，解得t（3）如图31中，当0t时，重叠部分是平行四边形PBQF，SPBPQ210t2tt如图32中，当t1时，重叠部分是五边形PBQRT，SS平行四边形PBQFeqoac(,S)TRF10t25t（5t）5t（5t）t2+30t10eqoac(,S)PDT54（5S如图33中，当1t2时，重叠部分是四边形PBCT，eqoac(,S)BCDt）（42t）t2+10t（4）如图41中，当MNAB时，设CM交BF于TPNMT，MT，MNAB，2，PBBM，2t2，t如图42中，当MNBC时，易知点F落在DH时，PFBH，解得t如图43中，当MNAB时，易知PNMABD，可得tanPN

25、M，解得t，当点P与点D重合时，MNBC，此时t2，综上所述，满足条件的t的值为或或或213解：（1）由题意AP2t，AQPQt，PM3PQ，PM3t故答案为3t（2）如图21中，当点M落在BC上时，PMAC，解得t如图22中，当点N落在BC上时，NQAC，解得t，综上所述，满足条件的t的值为t（3）如图31中，当0t时，重叠部分是矩形PQNM，S3t2如图32中，当t时，重叠部分是五边形PQNEFSS矩形PQNMeqoac(,S)EFM3t23t（42t）3t（42t）t2+18t6，综上所述，S（4）如图41中，当点M落在ABC的角平分线BF上时，满足条件作FEBC于EFABFEB90，FBAFBE，BFBF，BFABFE（AAS），AFEF，ABBE4，设AFEFx，A90，AC3，AB4，BC5，ECBCBE541，在RtEFC中，则有x2+12（3x）2，解得x，PMAF，t如图42中，当点M落在ACB的角平分线上时，满足条件作EFBC于F同法可证：ECAECF（AA