2022年人教版初三数学上册期末知识点归纳总结

1、人教版九年级数学上册学问点总结 （1） a（ a0）既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它确定是非负 数,即 a（ a 0）,我们把这个性质叫做二次根式的非负性； 其次十一章 二次根式 21.1 二次根式 学问点一 二次根式的概念 （2）（ a2） = a （ a0）,这个性质可以正用,也可以逆用,正用常常用于二次根 式的化简和运算,可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式, 常用于多项式的因式分解； 1 一般地 ,我们把形如 a a0 的式子叫做二次根式；二次根式 a的实质是一个 （3） a2= a a 0 ,这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式的化 非负数

2、 a 的算术平方根；其中“ ”叫做二次根号； 简,即当被开方数能化为完全平方数（式）时,就可以利用该性质去掉根号；逆用时 可以把一个非负数化为一个二次根式； 2 正确懂得二次根式的概念,要把握以下几点： 二次根式是在形式上定义的,必需含有二次根号“ ”；如 4是二次根式,虽 学问点三 代数式 定义：用基本运算符号（基本运算包括加,减,乘,除,乘方和开方）把数和表示数 的字母连接起来的式子,叫做代数式； 21.2 二次根式的乘除 学问点一 二次根式的乘法法就 然 4 =2,但 2 不是二次根式； 被开方数 a 必需是非负数,即 a 0. 如 3就不是二次根式,但式子 3 2是二次根式； 一般地,

3、对二次根式的乘法规定： a b= ab a 0,b 0 ,即二次根式相乘, “ ”的根指数为 2,即“ 2”,一般省略根指数 2,写作“ ”,留意,不 把被开方数相乘,根指数不变； 学问点二 积的算术平方根的性质 可误认为根指数是“ 1”或“ 0”； 提示：判定是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方 数要是非负数； 学问点二 二次根式的性质 ab = a b（ a 0, b0）,积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根 的积； 学问点三 二次根式的除法法就 第 1 页,共 10 页一般地,对二次根式的除法规定： a= a（a 0, b0）,即两个二次根式相除, 等号

4、两边都是整式,只含有一个未知数（一元） ,并且未知数的最高次数是 2（二次） 的方程,叫做一元二次方程； 留意一下几点： bb 只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程； 把被开方数相除,根指数不变； 学问点四 商的算术平方根的性质 学问点二 一元二次方程的一般形式 a= a（a 0,b 0）,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算 一般形式： 2 ax + bx + c = 0a 2 0 . 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项； 学问点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次

5、方程的解,也叫做一元二次 方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据； bb术平方根； 学问点五 最简二次根式 必需中意以下两个条件： （ 1） 被开方数不含分母； 降次解一元二次方程 （ 2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 22.2.1 配方法 21.3 二次根式的加减 学问点一 二次根式的加减 二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根 式合并,二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并,合并时只把系数 相加减,根指数和被开方数不变； 学问点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是

6、非负数,可以 直接开平方；一般地,对于形如 2 x =aa 0 的方程,依据平方根的定义可解 得 x1= a,x 2= a . 学问点二 二次根式的混合运算 （2） 直接开平方法适用于解形如 x =p 或 mx+a =pm 0 形式的方程,假如 p 0, （1） 二次根式的混合运算次序与整式的混合运算次序相同：先乘方开方,再乘除, 就可以利用直接开平方法； 最终加减,有括号的先算括号里面的； （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的 （2） 在二次根式的运算中乘法法就和乘法公式仍然适用； 平方根有两个,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； 直（4）

7、 接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未 一元二次方程 知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方, 使原方程变为两个一元 学问点一 一元二次方程的定义 二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根； 第 2 页,共 10 页学问点二 配方法解一元二次方程 =b -4ac. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次, 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方 法的一般步骤可以总结为：一移,二除,三配,四开； 0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个不相等的实数根 （1） 把常数项移到等号的右边； 一元二次方程 =0,方程 a

8、x +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根 （2） 方程两边都除以二次项系数； 方程两边都加上一次项系数一半的根的判别式 2 0,方程 ax +bx+c=0a 0 无实数根 （3） 平方,把左边配成完全平方式； 如等号右边为非负数,直接开平（4） 方求出方程的解； 公式法 学问点一 公式法解一元二次方程 3 因式分解法 （1） 一般地,对于一元二次方程 2 ax +bx+c=0a 0 , 假如2 b -4ac 0,那么 学问点一 因式分解法解一元二次方程 方程的两个根为 x= bb24ac ,这个公式叫做一元二次方程的求 （1） 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,

9、 进而转化 为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法； 2a （2） 因式分解法的详细步骤： 根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得 移项,将全部的项都移到左边,右边化为 0； 方程的解,这种解方程的方法叫做公式法； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式,平方差公式和完全 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方 平方公式； 令每一个因式分别为零,得到一程 ax +bx+c=0a 0 的过程； 公 元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方 程的解； （3） 式法解一元二次方程的详细步骤： 方

10、程化为一般形式： ax +bx+c=0a 0 ,一般 a 化为正值 学问点二 用合适的方法解一元一次方程 确定公式中 a,b,c 的值,留意符号； 方法名称 理论依据 适用范畴 求出 b -4ac 的值； 直接开平方法 平方根的意义 2 2形如 x =p 或（ mx+n） =pp 0 如 b -4ac 0,就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解,如 b -4ac 0,就方 配方法 完全平方公式 全部一元二次方程 程无实数根； 学问点二 一元二次方程根的判别式 2 2式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0a 0 根的判别式,通常用希腊字母表示它,即 公式法 配方法 全

11、部一元二次方程 第 3 页,共 10 页因式分解法 当 ab=0,就 a=0 或 b=0 一边为 0,另一边易于分解成两个一次因 后的等量关系为 a（ 1x ）2=b； 式的积的一元二次方程； 一元二次方程的根与系数的关系 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润 =总销售价 - 总成本；总利润 =单位利润总 销售量；利润 =成本利润率 （4）图形的面积问题 依据图形的面积与图形的边,高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代 数式表示出来,建立一元二次方程； 其次十三章 旋转 23.1 图形的旋转 学问点一 旋转的定义 2 如一元二次方程 x +px+q=0的两个根为 x 1

12、,x 2, 就有 x1+x2=-p,x 1x 2=q. 如一元二次方程 a x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x 1,x 2, 就有 x1+x2=, b,x 1x 2= c aa实际问题与一元二次方程 学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们 之间的等量关系； （2） 设：是指设元,也就是设出未知数； （3） 列：就是列方程,这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个 在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点 O 转动一个角度,就叫做图形的旋点 O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角； 转, 相等含

13、义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数 的等式,即方程； 解：就是解方我们把旋转中心,旋转角度,旋转方向称为旋转的三要素； 学问点二 旋转的性质 （4） 程,求出未知数的值； （5） 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义,符合题意； 旋转的特点：（ 1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的 （6） 答：写出答案； 夹角等于旋转角； （ 3）旋转前后的图形全等； 懂得以下几点： 学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度； （ 2）对应点到旋转 三个连续整数：如

14、设中间的一个数为 x,就另两个数分别为 x-1 ,x+1 ； 中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等； （3）图形的大小和形状都没 三个连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为 x,就另两个数分别为 x-2,x+2 ； 有发生转变,只转变了图形的位置； 三位数的表示方法：设百位,十位,个位上的数字分别为 a,b,c ,就这个三位数是 学问点三 利用旋转性质作图 100a+10b+c. 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （ 2） （2） 增长率问题 对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键；步骤可分为： 连：即连接图形中每一个关键点与旋

15、转中心； 设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,就经过两次的增长或降低 第 4 页,共 10 页 转：即把直线按要求绕旋转中心转过确定角度（作旋转角） 其次十四章 圆 圆 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点； 中心对称 学问点一 中心对称的定义 24.1.1 圆 中心对称：把一个图形围着某一个点旋转 180 ,假如它能够与另一个图形重合,那么 就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心； 学问点一 圆的定义 留意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系； 只有一个对称中心； 绕对称中心旋转 18

16、0两个 图形能够完全重合； 学问点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对 圆的定义：第一种：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端 O 旋转一周,另一点 个 端点 A 所形成的图形叫作圆；固定的端点 O 叫作圆心,线 OA 叫作半径；其次种：段 圆 心为 O,半径为 r 的圆可以看成是全部到定点 O 的距离等于定 r 的点的集合； 长 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的,其次种是运用集合 的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆； 称中心的对称点；最终将对称点依据原图形的形状连接起来,即

17、可得出成中心对称图 形； 学问点三 中心对称的性质 有以下几点： 学问点二 圆的相关概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上（2） 任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；圆的任意一条直径的两个端 点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆； 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆； （1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称 （3） 等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧； 中心平分； 关于中心对称的两个图形能够相互重合,是全等（4） 弦是线段,弧是曲线,判定等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中 完全重合的弧才是等弧,

18、而不是长度相等的弧； （2） 形； 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且（3） 相等； 学问点四 中心对称图形的定义 24.1.2 垂直于弦的直径 把一个图形围着某一个点旋转 180 ,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合, 那么 这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心； 学问点五 关于原点对称的点的坐标 学问点一 圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴； 学问点二 垂径定理 在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点 p（ x,y ） 关于原点对称点为（ -x,-y ）； （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦

19、所对的两条弧；如以下图,直径 C第 5 页,共 10 页为 CD, AB 是弦,CDAB, 角相等,所对的弧,弦也不愿定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角 相同,但此时弧,弦不愿定相等； 且 A MB 24.1.4 圆周角 AM=BM D学问点一 圆周角定理 （1） 圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条 弧所对的圆心角的一半； （2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 90的圆周角所 垂足为 M AC =BC 对弦是直径； 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心AD=BD 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的

20、两条弧 （3） 角的大小关系； “同弧或等 弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一条弦所对的圆 周角有两类； 学问点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆； 圆内 接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 如上图所示,直径 CD 与非直径AB 相交于M, 弦 点 CD AB AM=BM AC=BC AD=BD 留意：由于圆的两条直径必需相互平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必需 不是直径,否就结论不成立； 点,直线,圆和圆的位置关系 24.1.3 弧,弦,圆心角 24.2.1

21、 点和圆的位置关系 学问点 弦,弧,圆心角的关系 学问点一 点与圆的位置关系 （ 1） 弦,弧,圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 （ 1） 点与圆的位置关系有：点在圆外,点在圆上,点在圆内三种； 的弧相等,所对的弦也相等； 在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两（ 2） 用数量关系表示：如设 O 的半径是 r ,点 P 到圆的距离 OP=d,就有： （ 2） 条弧,两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余的各组量也相 点 P 在圆外 d r ；点 p 在圆上 d=r ；点 p 在圆内 dr ； 等； 学问点二 过已知点作圆 （ 3） 留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件,假

22、如丢掉这个条件,即使圆心 （1） 经过一个点的圆（如点 A） 第 6 页,共 10 页以点 A 外的任意一点（如 点 O）为圆心,以 OA 为半径作圆即可,如图,这样的圆可 以 作许多个； A O1A O2O O3O）为圆心,以 OA（或 OB）为半径作圆即 B C（2） 经过两点的圆（如点 A,B） 学问点三 三角形的外接圆与外心 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 （1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的可,如图,这样的圆可以作许多个； （2） 圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心； 反证法 A 学问点四 反证法：假设命题

23、的结论不成立,经过推理得出冲突,由冲突确定所作假设 （1） 不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法； 反证法的一般步骤： （2） B 假设命题的结论不成立； 从假设动身,经过规律推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等 （3） 经过三点的圆 相冲突的结论； 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 由冲突判定假设不正确,从而得出原命题正确； 不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以 24.2.2 直线和圆的位置关系 作圆,且只能作一个圆；如经过不在同一条直线上的三个点 A,B, C 作圆,作法： 连接 AB,BC（或 AB,AC 或 BC,A

24、C）并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相 交于点 O,以点 O 为圆心,以 OA（或 OB,OC）的长为半径作圆即可,如图,这样 的圆只能作一个； 学问点一 直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交,相切,相离三种； （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 第 7 页,共 10 页如设 O 的半径r ,直线 l 与圆心 0 的距离为 d,就有： 学问点一 圆与圆的位置关系 是 直线 l和 O 相交 d r ； （1） 圆与圆的位置关系有五种： 直线 l 和 O 相切 d = r ； 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 直线 l和 O 相离 d r

25、 ； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 学问点二 切线的判定和性质 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交； （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示： （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线的其他性质：切线如设两圆圆心之间的距离为 d,两圆的半径分别是 r 1r 2, 且 r 1 r 2,就有 （3） 与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径； 经过圆心且垂直于切 两圆外离 d r 1+r 2线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经 过圆心； 切线

26、长定理 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线,这点和切点之间的 学问点三 线段的长,叫 做这点到圆的切线长； 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两 两圆外切 d=r1+r 2 两圆相交 r2 -r 1 dr 1 +r 2 两圆内切 d=r 2-r1（1） 条切线,它们的切线长相等,这一点 和圆心的连线平分两条切线的夹角； 留 两圆内含 d r 2-r 1意：切线和切线长是两个完全不同的概念,必需弄清楚切线是直线,是不 能24.3 正多边形和圆 学问点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 （2） 度量的；切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点, 另一个是切点； （3） 三角形的

27、内切圆和内心 正多边形与圆的关系特殊亲热,把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份,顺次连接各 分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆； 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； 学问点四 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； 正多边形的中心角：1 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角 形叫做圆的外切三角形； 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距； 2 心； 留意：

28、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已学问点二 正多边形的性质 3 知时, （1） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形； 过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角； （2） 全部的正多边形都是轴对称图形,每个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称 24.2.3 圆和圆的位置关系 轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时,这个正 n 边形也是 中心对称图形,正 n 边形的中心就是对称中心； 第 8 页,共 10 页（3） 正 n 边形的每一个内角等于 n 2 180 ,中心角和外角相等,等于 积为 s 圆锥全 s 圆锥

29、侧 s 底 rl r2 ； n360 n； 25.1 随机大事与概率 弧长和扇形面积 25.1.1 随机大事 学问点一 弧长公式 l= n R 180 学问点一 必定大事,不行能大事,随机大事 在确定条件下,有些大事必定会发生,这样的大事称为必定大事；相反地,有些大事 必定不会发生,这样的大事称为不行能大事；在确定条件下,可能发生也可能不会发 生的大事称为随机大事； 必定大事和不行能大事是否会发生,是可以事先确定的,所以它们统称为确定性 大事； 学问点二 大事发生的可能性的大小 必定大事的可能性最大,不行能大事的可能性最小,随机大事发生的可能性有大有小； 不同的随机大事发生的可能性的大小有可能不同； 在半径为 R 的圆中, 360 的圆心角所对的弧长就是圆的周C=2 R,所以 n的圆心 长 l= n 2R= n R 360 180 ； 角所对的弧长的运算公式 学问点二 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中, 360 的圆心角所对的扇形面积就是圆的面S= R,所以圆心角 积 为 n的扇形的面积为 S 扇形 = 2 n R ； 360 25.1.2 概率 比较扇形的弧长公式和面积公式发觉： 学问点 概率 S 扇形 = n R 2 360 n R 1R1lR, 所以 s扇1lR 一般地,