北大随机过程课件：第3章第3讲生灭过程

1、几种重要的马尔科夫过程几种重要的马尔科夫过程泊松过程纯增值过程，尤尔过程生灭过程分析方法：马尔可夫过程：定义、性质数学描述：跳跃率矩阵、Q,状态转换图，状态列欠最、转移概率矩阵、转移概率行欠鼠、转移概率列欠竜,基本规律：前进方程、后退方程、福克-布朗克方程过程分析：暂态（拉氏变换、母函数）、稳态（条件）典型过程的分析，1泊松过程定义2纯增值过程，尤尔过程定义跳跃率微分方程拉氏变换求解3生灭过程定义跳跃率前进微分方程利用母函数求解福克普朗克方程，以及均值的福克普朗克方程稳态解4马尔可夫过程举例：利用微分方程求同解，利用稳态方程求稳态解纯增值过程：尤尔过程举例电话的话音模型简单排队问题可靠性问题电

2、话交换问题1泊松过程2纯增值过程2.1定义2.2分析2.2例：尤尔过程3生灭过程3.1定义：生灭过程3.2跳跃强度矩阵3.3前进微分方程3.4福克普朗克方程3.4研究稳态/TS的解4举例1泊松过程泊松过程的状态为。丄乂,。在任意状态F,在+时间间隔内出现一次事件的概率是久+O(AZ),出现两次事件的概率是0()。2(/)=兄是常数，则为齐次泊松过程，2(/)是时间的函数，则为非齐次泊松过程。2纯增值过程2.1定义纯增值过程是泊松过程的推广。纯增值过程的状态为0丄,2,/，。在状态n卜,在(+/时间间隔内出现一次事件的概率是血(/)/+o(AZ),出现两次事件的概率是o(/)。2.2分析纯增值过

3、程转移概率的方程：2”(f)A/+0(d),k=n+1+/)=/处)=/?)=1-An(/)AZ+0(d),k=n0(d),otherwise设初始状态是m状态,当人（。=人时:T”04Ar-H0An+1000Q=0000-A00纯増値过程状态概率的微分方程:讐叫.0即:小dt=-4%,（0他dt=_K）+A-i求解微分方程、用拉氏变换方法求解微分方程。S叫G）=一人叫G）+1,则可以转移到状态(n+1)或状态(n-1)；如果处0状态，则只能转移到状态1。在t时刻处J：n状态，在(/,/+/)时间间隔内，由状态n转移到状态(n+1)的概率为兄”(/)/+0(),由状态n转移到状态(n-1)的概

4、率为“(/)/+0()：在(/,/+/)时间间隔内，由状态n转移到其他状态的概率为O(AZ)a2”()=%3.2跳甌强度矩阵SooQoiq(n、5Ao0、Q=9iocln912=1-(A1+2J2k丿0由此可得，“M=久owo”*叫+1=兄”叫，”1上述方程称为生灭过程的稳态平衡流方程。久。A“1“222“2“12”()=%考虑到归一化条件,曲=1,H=0可以确定存在极限分布的条件、以及相应条件卜各个状态的稳态概率。4举例例1纯增值过程：尤尔过程举例例2电话的话音模型，设话音的正常发音时间是一负指数分布的随机变最，平均发音时间为1/A,它停止发音的间歇时间也是一个负指数分布的随机变量，它的平均

5、间歇时间为1/卩。求话音发音时间和间歇时间的分布函数。解1:绘出状态图、标出状态转移强度,分析t=0时正在发音，在t=x时仍在发音的概率,分析t=0时正在发音,在t=x时停止发音的概率密度,分析t=0时停止发音，在t=x时仍在停止发音的概率,分析t=0时停止发音，在t=x时开始发音的概率密度。解2：利用前进和后退方程來解（同上题）。例3简单排队问题（见卜一节）例4可靠性问题，（见卜一节）设有一个系统由M个元件组成，每个元件的正常工作时间服从负指数分布。如果系统在时刻t有n个元件失效，则在（+）时间间隔内产生一个新的失效元件的概率是久+失效元件可以修复，在（/+/）时间间隔内修复一个元件的概率是/+?（/）o假设在（/+AZ）时间间隔内有二个或二个以上的元件失效或同时修复二个或二个以上元件的概率是某系统要正常工作至少要有k个元件正常工作，