二次量子化理论

1、第四章二次量子化理论1全同粒子体系微观粒子全同性原理两个全同粒子体系交换作用2二次量子化方法粒子数表象波色子系统Z波色子系统Z二费米子系统Schwinger作用量原理与场量子化Klien-Gordan标吊场1?了化Dirac场最子化3几个简单的应用弱相互耦合的全同粒子体系跃迁几率计算费一狄统计和玻一爱统计分布律的推导光被原子吸收和原子的受激辐射与自发辐射光子和原子的相互作用能的表示式一电磁场的量子化1全同粒子体系微观粒子全同性原理a）现在研究几个全同粒子（比如电子）。从经典和量子力学两种角度看，它们彼此都不可分辨。然而，这两种情况有原则上的区别。在经典力学中，虽然它们彼此全同，但并未失去它们各

2、自的“个别性”，“可分辨性”一在某一时刻设想予以定位编号后，在原则上可以追踪鉴别；但在量子力学中，由丁测不准原理的存在，电子轨道概念必须予以放弃，即使设想在某一时刻予以定位编号，在无限接近的随后时空，它的坐标也不再具有定值，就是说,某时刻的定位対追踪亳无帮助，也就是说，原则上不能追踪鉴别，也就是说，在原则上都失去了“个别性”“可分辨性”。这导致同类微观粒子的原则上的完全的不可分辨性（而不是技术上的不能分辨）这就是微观粒子的全同性原理。这是微观世界运动所特有的规律。由全同性原理，立刻导致两个结论：第一，一切力学量（可观察），包括系统的哈密顿量，相对丁任何一对粒子编号的交换是对称的：第二，体系所有

3、可观察的几率，相刈于任何一对粒子编号的交换也必须是对称的。这时因为，全同粒子体系的任何编号都是人为加给这个微观体系的，因而不同的编号不应当导致任何可观察的不同的物理效应。关于第二点，我们再略为仃细考察一下。由于给出的任何几率都必须对称，所以系统的状态波函数相对于任何一对粒子编号的变换，只能改变一个相因子，即W（1，鼻，0）=，鼻，这里佥代表第一编号粒子的三个坐标和一个自旋投影力学变量的集合。接着再交换一次得产,还是根据全同性原理，应有6*=%,由于这样接连两次的交换己全部还原，故=1还是由于全同性原理，这相因子与丿,任等编号无关，即：I/,，乩鼻）=坤，冬，,，鼻）总Z,从全同性原理可得如下两

4、个重要结论：I）全同粒子体系的全部可观察力学鼠算符相对粒子间的交换是完全对称的；II）全同粒子体系的全部可能状态波函数相对粒子间的交换不是完全对称的就是完全反对称的，中间既不对称又不反对称的状态是不会实现的。b）进一步研究体系波函数的对称反对称问题根据上面所说，我们有根据假定交换系统中某一对粒子丿火的置换算符即定义弓（,，也”）=W（，鼻，,，），则由于H对此置换为对称，故何吓=0丁是弓上是守恒最，就是说，如系统的波函数在初始时刻是对称的（弓*本征值+1）,则其后任何时刻为反对称的（Pjk=-1）,则总是反对称的。就是说：全同粒子体系状态波函数的对称性质是不随时间变化的。全同粒子系统，其波函数

5、究竟是对称的还是反对称的，取决丁该类粒子的本质，这种探讨在QED中进行，但现在都可以证明：由反对称波函数描述的粒子遵循费米一狄拉克统计，简称费米子（如电子、质子、中子等）；由对称波函数描述的粒子遵循玻色一爱因斯坦统计，简称玻色子（如光子、各类介子）。相对论是最子力学证明：粒子体系波函数是对称反对称（或粒子所遵循的统计法则）与其自旋具有单值关系一一自旋为半整数的粒子都是费米子，自旋为整数的粒子都是玻色子。（不论单粒子或复合粒子）c）N个全同粒子体系的波函数描述V费米子体系任选一套单粒子态的正交归一完备组口（），就是说，它们都是单个费米子所可能占据的定态，对应的完全力学最组变数为一个特殊的基本反対

6、称态可以写为叫（G0卫2）厶忆N）%）他）厶仏）TOC o 1-5 h z%）必“忆2）仏）=务工（-1严2X（G%忆2）仏）三平6）%（爲）（S）QNlp这里，P代表对N个粒子编号进行置换，P是置换P相对于某种基本顺序而言经过置换次数的奇偶性，求和对所有可能的置换进行，N为N个不同的态的编号。A-三-工（-1）旧P反对称化算符。而一般的反对称态可表示为上面基本反对称态的叠加：旷禺,鼻“工C（宀，叫，”爲“=叫，吟，,叫，k由中爲，表达式得到一个重要结论：如果在，心，中有任何两个数值相同，系统的反対称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反対称的波函数才不为零，由此，费米子系统中，不可能有

7、两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相容原理（1925）”。V玻色子体系与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，丁是不存在泡利不相容原理那样的现彖，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说，中有些是相同的（就它们是态编号來说），或/”可以人丁T（就它们是粒子数來说）。一个特殊的基本的对称态可表为工卩血（）厶（爲）*仏）P工pg(0%(虽)厶(S)P这里，P、lPn分别为1,N号粒子所占据的单粒子态的编号，它们Z中有相同的，于是记为1号态上占据的粒子数为2号态上所占据的粒子数等等。这里坷+川严皿一般地対称态可表示为上而基本的对称态的线性叠加：心朋，I工

8、。（宀，）以卄备鼻加（1?厂“）勺,吟,【令S三令耳P为对称化算符，则中爲，G，爲,鼻）=/G）农（爲）卩色（鼻）】g叫!两个全同粒子体系a）设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相刈r两粒子交换为反对称的，即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反Z亦然。如果忽略一些小的相对论效应，则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分z积，这样系统的波函数就可以写成一个空间部分和一个自旋部分的乘积一可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为空间间波函数必为对称,反称组合（自旋为0）Xo=由于双粒子交换丁双粒对连线中点的反演，导致1不能为能为奇数対称组合（自旋为1）空间间波函数必为反称,1

9、必须须为奇数即双费米子自旋单重态的轨道最子数必为偶（包括0）,自旋三重态的轨道鼠子数必为奇。具体例子：的基态，双电子的Z为零（基态一S态）故的基态为单重态，总角动鼠为零。还比如P-P双质子系统，就不可能有奇Z的但重态和偶Z的三重态。可是笊核p-n系统）由于不是全同粒子系统，就不受上述分析的限制。b）一般地考虑两个全同粒子系统，设每个粒子自旋为s,系统合自旋为给以人为的编号Si/q；*，巾巧。按角动最分解规律有忸$2皿。=工叫忸$2&|$1加1|$0?2（%+加2=M）9nt2s2slm2ml$2$皿0卜加J=工（-1严S=（-1严厂卞角册就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出（-l）2i

10、_可是，另一方面，根据自旋与対称性的关系的相対论屋子力学结论，这全同双粒子系统的总波函数在粒子交换时应出（-1尸（$为整数时+1,半整数时-1,前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子系统反对称波函数）。丁是，由于上而两方面，可得自旋为s合成为S的全同双粒子系统，其空间坐标波函数的对称性由（-1尸决定，只和S有关。即总自旋为偶数时，空间坐标波函数为对称的（Z为偶数）；总自旋为奇数时，空间坐标波函数为反称的（Z为奇数）。交换作用a）由上而叙述知，由全同性原理导致状态的对称反对称的限制，而这种状态的限制又和自旋何单一的关系，这就是说自旋对可实现的状态有很人的影响。显然，这也必定影响能量本征值。

11、于是即使系统的哈密顿H中不考虑自旋效应，全同粒子（如多电子系统）系统的允许的能最也仍然依赖:T係统的总自旋。这种能最与自旋的依赖关系，可以等效地“看成”是粒子间的一种“交换作用”的结果。这种作用基于全同性原理和自旋Z上，所以纯粹是一种量子效应。b）引入交换算符Pl2=PxPt交换粒子的空间坐标编号交换粒子的自旋坐标编号很易证明,对s#粒子6是1号粒子的自旋矢量算符，厅2是2号粒子的。由于s=-是费米子，斥2的本征值为2-1,所以利用自旋交换算符，可以把上面所说的“交换作用”表示为简明的形式，并将Z加到系统的哈密顿中去。下而，我们从两个电子的最简单情况出发來阐述。c）双电子系统，不考虑它们Z间与

12、自旋有关的作用，只考虑它们之间的电作用，并将这种作用看成是微扰：辰一引）上述的“交换作用”将按如卜方式表现出來：设电子分别处丁（尸）和态上，它们的对称乘积和反对称乘积就分别対应丁系统总自旋和的情形。殆哙就）峡“唤而粒子间相互作用算符7（忌-耳）在这两种态中的平均值为倒可p）=l】（片）5（可土（石）5&）PI（耳）5（可土（9（片）乙=（耳）02（忌）|7|%侪）輕忆）+（忌）（耳）|7|%忆）ZrZr吕5（斤）9区）|7|%忆）輕伍）扌02（耳）咖（耳）02（可ZrZr=（fl）（p2（r2）PIS）02（石）（石）02（耳）KI%（耳）02G）訂刃（別仏（忌）|2坏爲士伽価価価5欣利2（p

13、7（p）=AJ于是，能级的交换分裂为E（S=O）=A+J-A=J,E（S=r）=A-J-A=-J。这个能级分裂与总自旋有关这一事实可用上而的自旋交换算符很好的表示，即上而的这两个值爲,爲是卜面算符的本征值：匕=-JPs=-亍丿Q+4%壬2）这是因为镐-s2=2（S?-s；-分）=-3（S=O）J（S=1）o于是就这样,从对坐标波函数作用的算符/（為-*）而等价地改变为作用于系统自旋波函数的算符冬。d）三电子系统的交换作用这时“成对作用”的交换算符可写为冬一+工厶（1+4瓦迅）一工丿代2KJiJ按有退化的微扰论，对这三电子系统，总自旋S=-.丄的S及Ms退化，由欠期方程求其22能级的分裂。3对M

14、.=-$2对Ms=丄2,态为1,1|/畑（入+厶3+丿23）IT7/222222方程/ill2,2,2-厶甩-丿丄叶3丿233乞矩阵元X=厶3+1/2鈴訴5等等,得三阶欠期丿13+Eg=0J2+垃/2研2+（丿12+丿13+23）AE占2+（厶2丿13+丿13丿23+丿12丿23-1213*23）1/2+3兀比323_（兀+兀+兀）=得三个根，一个等于43/2,另两个（即S=态的两个能级）：2AE/2=J丿吕+丿舀+_厶2丿13_厶323_厶223共分裂为三个能级。这里，由丁三个状态可能不同，所以各个丿Z间不定相等。2二次量子化方法在描述人量全同粒子所组成的系统时，二次最子化方法是一种广泛使用

15、的极为方便的方法。在这种方法中，玻色子系统的波函数的对称性、费米子系统波函数的反对称性，都在事先已经考虑了，并且粒子数目可以当力学变数來处理。特别是由于后來这个方法在相对论量子力学中尤为需要，在那里述及的是粒子数可变的系统。在非相对论性量子力学中，只研究总粒子数守恒的现彖，采用二次量子化方法，也就是采用一类特别的表彖一粒子数表象來考虑问题，其他表象这时虽然不够便利，但原则上并非不能应用。但在相対论性最子力学中，耍研究粒子的产生和湮灭有关的现彖，因此必须要把粒子数目当作力学变数來对待，这就盂要结合狭义相対论理论，按照二次最子化方法的框架，对场实行量子化，这将导致全新的理论。本节讲述的二次最子化方

16、法属于非相对论范围。结尾部分述及场的最子化，人致仍属于非相对论范围，但包扌舌一些相对论场的量子化。1.占有数表彖a）由于粒子全同、不可辨认、不可追踪，也就无法对粒子进行编号（如耍编号，那也属于人为强加的外來东西），势必要采用只管儿个粒子（或没有一个粒子）占有某个态，而不去问是哪儿个粒子（或哪个粒子）占有该状态，丁是，决定系统的一个状态也就是决定“占有数的分布情况”（一种占有数的分布，或数种占有数分布及儿率等）。这就是占有数表象的核心问题。由于由于粒子数目虽多，但是全同的，所以系统的总波函数可以用一个单粒子的“任何”一组完备的波函数组來构成。设口忆）代表这样一组完备的正交归一的单粒子的定态的波函

17、数，g同时代表例如空间坐标及自旋变数则代表它们的相应的一组最子数。为方便,卜面假定2的数值为分立的，并以12,3,编号。这组单粒子态可以是一组处F任选外场中的粒子态，但通常简单地取为一组平而波，即一组具有确定P、迅的自由粒子波函数。为使它们分立，可以考虑粒子在一个很人但有限的区域内运动，这样，它的动鼠分量的本征值将是分立谱，而本征值相邻的间距将和该区域的线度成反比，并随区域线度的增人而趋丁零。在一个自由粒子系统中，每个粒子的动量分别守恒，因此，“态的占有数”，亦即处于态中的粒子数q也不变，即“粒子数的分布”厲不变。在粒子间何相互作用的粒子系统中，每个粒子的动量并不守恒，因此占有数及占有数分布也

18、不固定。对这样的系统，我们能考虑的只是占有数及其分布具有各种值和方式的几率分布。卜面建立一种描述方法，其中以占有数和其分布作为独立变量，而不是像通常以坐标和自旋为独立变量。b）此时系统的态用所谓占有数空间的波函数來描写，记作C（厲/2,黑），以区别丁通常的坐标波函数1/&広2,力，模平方|C表示有弘个粒子（不问是谁，也不问在哪）在态，个粒子在W2态，（上时刻）的几率。就是说，这时我们只注意区分各态上的粒子数目，而不去区分粒子的号码，也不去问粒子在空间的具体位置。根据前面全同性原理中的相应叙述知，对总粒子数守恒（即工*=N不变）的无论是i玻色子系统还是费米子系统处在某一种分配（，2,）上的几率波

19、函数为0,（乩鼻鼻）（定态），并且处于不同分配方式0V阳,）,阳皿”,）上的系统态的波函数正交，即厶加，忆1也2|厶,吋;（1，孑2N）=jJdN吋时久时因此，满足总数为N的一切（宀,）序列的厶耐（佥疋2,鼻）它所对应的态矢序列将构成N粒子体系的一组完备正交归一基矢，因Z,可以用來建立一种“占有数表象”。丁是，坐标表象的波函数1/&,2，-0黑）和粒子数表象的波函数C（q/2,；0Z间有如下关系：勺知2+=N这个变换式也充分说明了C（/2,;。的物理含义,比如,若取鼻詁）为某个罷,N），则C（n/,n/,.;0=r因为展式只剩下一项。而两个态的内积就表示为：仏|旳=工6*（宀，黑）6（,黑）三

20、6|6勺+勺+=N这样，中“）、上的粒子数目、心、就处T力学变数的地位。应当指出，这种做法是以玻色子系统的波函数为対称，费米子系统的波函数为反对称的前提，建立起來的。因此，在引用这种展开式、或引用这种变数时，就自动意味着自己预先剔除了不满足对称性（或反对称性）要求的状态。对于玻色子系统，由于厶知爲,）相对佥为对称的，使得它相对自己的脚标、心、置换是不变的（这只意味着将粒子态的编号顺序改变，并不意味着实际上的占有数分配方式变化），从而玻色子系统的中的、佗、交换不改变C。对于费米子系统，c宗量的交换可能引起c的变号，因为这种交换意味着态编号改变，这等效于粒子编号的改变，即等效于粒子的交换。C）记占

21、有数表彖的基矢为同勺，坐标表彖的基矢为|貓20。任一N个全同粒子系统的p）态欠在这两个表象中的波函数定义为：|P三再记占有数表象的基欠在坐标表象的波函数：1，2厂鼻|?2三（乩2,N）丁是前面关丁波函数变换关系式用态欠符号表示为：,.=工省也2,鈿沟宀旧另叫=N而且0抽2|巧=J?2區也2,N迤昭乩鼻彌巧或；XJ時W仏，爲，乩）巾忆1，2,）而这就导致佃FJ”u=备时衬这个内积”（及正交性）虽然可以理解为含对变量求和，但更准确的理解是返回去对叫吋（乳最，鼻）、中吋*，算N）正交内积的理解。也可以把后者的正交性定义为前者的正交性：就是说，占有数表象中不同基欠Z间的正交性被定义为它们在坐标表象中的

22、波函数的正交性。【前面已说过，对于满足工4=N的全部序列，它们所对应的一组同宀对N体i系统來说，显然具仃完备性，就是说，这系统任一右欠总可展开为这些基右欠的线性组合,于是，完备性方程成立：mx?2i=i】丁是对丁N体系统，我们借助单粒子的波函数完备组（其实是任一完全力学最的本征矢最序列），构造出了一个适用于这个体系的具有正交归一完备某欠的占有数表象，对玻色子，基欠对直的置换无关；对费米子，则可能改变符号。d）进一步，、作为力学变数的另一个极其重要之点是，可以借助此把量子力学的描述方法扩充为与粒子数无关的形式。因为，对一定类型的粒子及一定的#而言，无论粒子总数N为多少，这里使用的都只是同一组自变

23、数、心、，因此虽然对某一特定的系统，N是固定的，但却可以认为粒子数表彖中的波函数黑）对丁各个的遍及一切正整数及零”时都有意义，只是当“严N时，其值为零而已。于是：当弓%=N当丈仔N现在我们（对一定类型的粒子）同时考虑具有各种N的系统，属于一定N值的每一个状态都何一个由上式定义的波函数O（/2,；0。假定属于不同N值的状态可以实行“叠加”而给出一个新的“状态”，它的波函数等于原來的波函数的相应的叠加。再假定，任何两个状态耳的内积都定义为C/（,，;06（厲/2,;这样，由一切N值的系统的一切可能状态以及它们的叠加所给出的状态集合，就构成一个广泛的“态空河”，而且，不同N值所对应的子空间是相互正交

24、的。在非相对论的限度内，不必想像总粒子数为零的情况，但为了便利和完整，卜面也使用空态（VacuumState）、基态（GroundState）的概念，即认为0,（）,代表没有粒子的归的态。它在坐标表彖的波函数由口忆）的基态按対称或反对称要求组合而成，基态即对应于本征值为零（对振子/7=0,只剩零点能，对平面波本征态，=0等）的态，按厄米算符本征态正交定理，单粒子基态和单粒子的其他所何态均正交。由此，N粒子的基态概念是有物理根据的，并可指望它与别的态（NH0）正交。这样，前面对N粒子的正交归一完备性质仍然可以移用于任何N同时存在的广泛态空河:冷川佗”=%吋时当工盯工工叹则以空态填替，使畑叨怡品鼻

25、）、岭片，&，為,乳）均由iJ相同多#构成；若工4=工竹则还原前面。i工I叽X，wT=im=Ni对N固定系统（指一特定系统），附加条件工0=N即可还原到前而情况。I而对任一态lw，在占有数表彖中的波函数为：而当|y/为基矢Z时，即”=同,宀,其波函数（占有数表象）：C（/2，T=/2，T，吋,=%,2,肘最后指出一点的是：对玻色子,系统的占有数表象同n+i=“2%；11对费米子，系统的占有数表彖I-144+1）=（一1）”工njnin-乜J=12.玻色子系统之一a）玻色子的湮灭算符、产生算符及其对易关系引入玻色子的湮灭算符和产生算符Q：，它在二次最子化方法中起着基本的作用；这两个算符不是作用在

26、坐标及自旋变量上，而是作用在占有数等变最上。就是说，算符是定义在占有数表象的广泛态空间中的，作用在空间中的态欠里的直上。定义、a：J,%，三何,心,，彼-1,町同,/?2,三厶+1同心,.,+1,于是使第？个（单粒子）态的占有数减少一个，町使第个（单粒子）态的占有数増加一个，前者称为玻色子的湮灭算符，后者称为玻色子的产生算符。利用同的完备性，显然可将它们表达为基本算符厲恤g!的叠加形式:G=工何Wl0进一步，以态矢山）右乘弘：N叭必三0厶|叭叫）=必|叭叫这就是弘三a；丑被称作玻色子的第上态的粒子数算符的由來。由丁厄米算子弘的本征值最小值为有限，最人值趋于无穷，所以根据厄米算子本征函数完备性定

27、理知，弘的全部本征值（0丄,2,）所对应的全部本征函数构成完备正交系。这里，当然针对第上态说的。Nk三a；玉的矩阵兀为叫叭眩兔|叭叫F旳备心接着，我们引入总粒子数算符N：N三工N*三工说仇kk它对后面态矢的作用及其称为总粒子数算符的名称由來是很清楚的。最后，再给出一些有关的对易关系。N*,N=O将两项各四个算符乘积的中间两个算符，按对易关系对易即可。于是任何两个或几个（单粒子）态上所占据的粒子数目都可以同时被测量。这样，用完全的最人序列弘的共同本征矢來撑开希伯特空间是十分方便的，而这，已在粒子数表象中进行了o于是可用弘的本征値叫标志态矢：0（/7z?r2）=n心Vk而最一般的态矢可表示为这些态

28、欠的线性叠加。0”=-站N,a1=-a1利用基本的对易关系这些对易关系都很容易证明。c）具有确定的粒子分配方式的态一占有数表象的基欠用产生算符和基态來表示利用a：的定义和空态的概念，可以把占有数表象的基欠表示为1（X）町（町）心賦）心|o,o,.这是因为按定义有对每一个单粒子态均分别逐次作用即得。由于+和间可交换，因此基矢对变数的交换不变，这和前面的结论是一致的。d）按照独立变最的这一选法，各种物理鼠（包括系统的哈密顿最）的算符必须以作用在占有数函数（或占有数表彖的态矢）上的形式表述出來。具体途径是将各类算符通过湮灭和产生算符来表述。首先，需要指出的是，对全同粒子作用的任何算符，必须对全同粒子

29、中任何两个粒子编号的交换是对称的（注意不能为不对称或反対称的！）因为粒子是全同的，编号是人强加给系统的，编号不应带來任何可观察的物理效应，比如，不会因编号的不同给力学最带來负号的后果（详见前面全同原理叙述）。V单体算符（r粒子编号）NTAr=l这里只涉及第厂号粒子的变数，各个対所属粒子的变数的依赖（作用）关系完全相同,易证：f=工。m血=s血+务i9kfik=与厂无关！这里卅是态的编号！证明分三步。先考虑/是厄米的，而且W上是/的本征态，即fk=几中1这种最简单的情况，这时,冲叭心戶（丹1广1+心厂2+）|叭於2=工几叫|叭刃2）,所k以F=工几，这是特例。再考虑/上不是/的本征态，但仍假定/

30、是厄米的，因之,k总存在一个正交归一完备组,它们是/的本征态，使得于是，以次完备组为基础去构造一个粒子数表彖，设巧,6;为该粒子数表彖的湮灭（卩态上的一个玻色子）算符和产生（卩态上的一个玻色子）算符。从而可得卩二工厂卩扛,下面即将证明，从这个粒子数表彖（以卩为单位粒子态）过渡到所考虎的粒子数表彖（以W上为单粒子数态）时，有工广:巧=工几代外。最后，如果/不是厄米的，总可以看成两个厄Jk米算符的线性组合。于是单体算符的上述表达式得到了普遍的证明。现在，我们已经把作用在坐标函数上的一个普通算符（单体算符）表示为作用于新变量一占有数的态欠上的一个算符。若原先这个算符/会引起粒子状态的改变，则对N守恒

31、的情况，f使某个态中粒子数减少一个而在另一态中的粒子数必相应地增加一个。f只有対这前后的态的矩阵元才不为零，而这种情况现在的表达式表述得更为明朗了。V两体算符NNabab这里，g（a,b）只依赖于第a号第b号粒子的变数，g（a,b）=g（b,a）而且各个g对所属粒子的变数的依赖（作用）关系完全相同，易证：G=：工咔卩咖城a厶Liykjym悶创加=口水）%*）&$）必忆1）睛1昭2证明如2设想把g（a,b）中的粒子号码a,b分离开来，令g（a,b）=（E（a）2（b）+E（b）Q（a）（t不一定为N）TNNNG=工工耳工-工工珂Q二工耳-工尺Ta=la=lra=lrr现在，这三组算符R,a,尺都

32、是单体算符，可以应用上面的结果耳孩=工华卩町何2冋。扯ik9lm=工们耳卩X也冏町恥九ikjm由丁。冷：=a：+5旧，所以ik.bn=工们耳2|咖芯+工如引何Q”九域叽nimik.hn而-尺=-工。|尺创巾加怙”它恰与上式第一项相消img=工工刖X纠城wtkjmT现将】与上交换，Z与加交换，得到G的另一表达式，注意心CI：可交换，卫祝可交换,今工工R卩化|sj加+也|加X，LiJr）niT即得（相加除以2）G-乙ik.lm2ik.lm5体”算符设W（6卫”卫是依赖于第4号粒子，第勺号粒子，及第号粒子的变数的算符（注意nni=r.+l,前而系数亦为,或记为C町,心他，,C,山”+.（,1丁是厶乜

33、.（，,-1,）=J*:+2,兀+i,（弘,4,）A%”“（，坷T,）=貞C応,.比7,.（坷为过渡到这种运算，只需将前而单、双、多体算符中的,q+换以的对易关系显然与暫,+相同，并且如向量场算符过渡可直接从0=工乙口过去）薛定谒方程为1ecih=黑）dt-H的表达式用e中但将a”町代以3玻色子系统Z二a）护忆）及0+忆）算符的引入及其対易关系前面所叙述的全部结果是在某一特定的单粒子态的完备正交归一组%（）卜得到的，换另一套完备正交归一组忆）得到的结果在形式上不变，但湮灭算符及产生算符变了，现在它们是按卜式定义的：它们分别使（）态上（而不是#（）态上）的粒子产生一个或使G）态上减少一个。于是，

34、以上的叙述虽然在形式上与单粒子态完备组的选择无关，在实质上却是有关的。但是，如果按卜式引入0忆）及0+（），则不但能等价等效的将前面所有结果表达得更为精练，而且可以证明这两个算符与单粒子态的完备组的选择无关，并且它们本身以及由它们所组成的一些算符具有鲜明深刻的物理意义。令场算符：0（异）三工&2必G）k0+（异）三工茸（。必水忆）k当然，和前面一样，比,町对后面的中“中严是不作用的（它们是普通函数，不是鼠子化算符作用的对象），作用对象是粒子数表象中的态欠，是这种态矢中对应的粒子数典o这里g是参量。根据鞋贰的刈易关系和必G）的完备性，很容易决定0,昇的对易关系。0（异）,0+切=工皿府必忆）口水

35、忆）k,l=工片叭（0%水忆X工必必*）=（-）k,lk类似W,W，于是：（略去人符号）怜（算）切=（）（舁）,0，切=0叩（霁）胪+）=0这就是它们Z间的对易关系，这组对易关系式在非相对论场屋子化中也处丁基本重要的地位。b）y/+（,0及中（g,t）的物理意义（/+（%）及中3分别是在个时刻在歹处产生一个和湮灭一个粒子的算符。现分三步证明这一点：第一、第二步在这里讲，第三步在GordanBaymLectuiesQuantumMechanicsP417-417中讲。（封背页）首先，证明+（，0作用到粒子数表象任何态矢上，所构成的新态（由定义知是个叠加态），其粒子总数比原先多一个。N（心，圳叭心

36、沪工N”（詢叭叫k=工咐弘咱W=工口叫:+d：N训叭”2kJkJ=工伽水+工讪怩弘”叭心1tkJ=&+（舁）+（釘）=（M+l）0/+（异）阳心）其次，证明叩,。作用到|0,（）,态上所得到的态在表象的波函数为施-孑）。0+（绑）|0=工*）斶0k根据a【的物理含义（它增加处r-（）态上一个粒子），知道态矢a：|o在g表象中的波函数为WHO（注意$是参量且不包含在。【|0内），于是求和后的这个V/+|0）在舟表象中的波函数为工必水必（。=忆一了）k这里，等式是根据%的完备性。这正好说明w+,）作用到|0态上时，物理作用是在f时刻在g处产生一个粒子。关T,t）的作用的论证类似，它使后面的态矢中的

37、总粒子数减少一。根据（/+（,）、的上述物理意义，我们知道它将和完备组妙的选择无关，这是使用的一个明显的理论上的优点Z。根据它们与完备组无关，我们就可以得到变换单体完备组时，湮灭及产生算符如何变化。设从另一个正交归一完备组；（）出发，得到的湮灭和产生算符为b：,由丁“J工中aji以（p（乘等式两边，对g中的坐标变数积分对自旋变数求和，即得方厂工勺帆X这就是当完备组变换时，湮灭算符和产生算符变换的关系式。C）各种算符用0+忆,0、0（爲0來表示及“W场”量子化的观点。单体算符F=fka：ak訂严（异）2（釘）站两体算符g=睛肉2n体算符心制”（敞）臨小（1,2讪加）WW掘到两体作用为正的哈密顿H

38、=JV*G,O（T+U）i/（钦）dg+mjjVrLOQCtMUMgrMGOdgML这些算符的这些表达式，只要把其中用它们的定义代入，即还原为前而的相应公式。r是这些算符均表示成了与单粒子态的完备组选择无关的形式。d）此外，还可以把总粒子数算符及所谓“定域粒子数算符”写为的形式。N三口站三JV*（舁）0（舁）昭k叫三.”+忆,切（黑）砖VN的公式只要利用#的正交归一性，将W定义代入即知；M的公式，其物理意义是它的本征值为在g空间的V体积中，找到体系里的粒子的总数目。显然，当V扩展到系统的全定义域时，M即变为N。显然，对粒子数守恒的系统，当N可以和一切力学量算符对易的时候，皿情况并不如此，这从物

39、理上是可以预期的，只要该力学最使系统的波函数发生畸变，皿与它就不会是可对易的。厶不是指対有限个状态，而是指整个状态完全集合：只要G改变其中一个，则。和M均不对易，和M对易的只有常数C。作为N、皿定义的基础，也作为量子化的直接推论，显然P（舁）三+（舁M（异）是这个全同粒子场的在门甘刻在处的“粒子数密度算符”。随着卜面叙述，这些算符的含义将还不断的被揭示。首先我们证明如卜対易关系，取空间某一体积V,构造弘，.+（戶,切（戶,）仍,0+（）訂仍（F,切（戶,9叩（和）_vV=Jd尸缺（巴（巴t）胪+（和）+尸,%_）V=Jd尸0+（巴%（严，。胪+（母）V=“F如+（戶,（戶一尸）V中十（F,t）

40、fcv=0r（zv这个结果的物理意义，考虑到i+（r,0及弘的含义，则很明显，就是说，如果V/+（r,0所产生的一个粒子，若处在皿的v中，则应计入M的本征值，使本征值多一个（即v中由于1/+的作用而多出一个粒子），若戸不处在v中，则中港,t）与皿无关，可交换（因1/+产生的那个粒子不在叽计数Z列）。e）N个全同粒子体系在坐标表象中基矢的表示可以证明耳拓,环;上三亠0+（）叩必,。屏（币,。|0代表在f时刻完全定域丁位置忌乙,的N个粒子的态，由丁全同，当然不计是哪儿粒子在哪号位置。于是，这组态矢就构成了全同粒子体系的很方便、概念十分鲜明的基矢，因为E交换对称性已被自动考虑在内了。卜面利用算符Nv

41、的性质对此给以证明。首先我们假定上面态矢中，各不相同，于是可分别构造N时N”,Nj,使每个包含也只包含在内，于是，对每个M的作用，它只与对应的耳在交换时出一个1/+亿，0，与其他可交换，直至NjO=O。这样，每个皿作用的结果发现这个态是它的本征值为1的本征态，于是通过M的检查的确发现这个态的N个粒子分别（但不区分粒子的编号）处在处。如果t中有相重的，例如耳，耳这两个位置相重，则N匕和其他的I/*均可交换，直到这两个中F，t）、前，与它们交换分别出现一个中壮“侪詁），总起來,这个态对入匚是本征值为2的本征态，等等。于是我们利用Ny证明了体系在坐标表象中的基欠可以用1/+算符表示如上。另外，我们来

42、看看这组基是正交归一的。=命必俯一匸）+W冷1加必0）=命必気+12-+听咖1V；中討）=Wn02$11的0N+焉0了Wm50（N-1）侪-匸）（忌-即）（环-肚）这最后一步等式是由丁粒子全同，坐标对称，因此各个函数耳和弓在自己的编号内可以互换（即不带撇可换任何不带撇，带撇的可换任何带撇的）。最后，从这个基矢表示式中，还可以看出如下等式：/+（和）|忌忌，黑=你匚1|片，忌，和,戸黑f）儿率幅的表达式我们已经走了比较多的路了，目前二次量子化的理论和我们原先多粒子的薛定谒方程理论是否一致呢？需要再检验一下，以便使我们再次确信，对N守恒的全同粒子体系，我们目前的理论实质就是多粒子（N粒子）的薛定谭

43、方程，只是换了一种等价的说法而己。为此，先找出粒子数表彖中一般态欠|川1刚2的波函数，即几率幅。根据物理考虑,显然应当有必曲厲，%力=鸽，鸽，弘；中側2就是说，粒子数表象中本征基矢n;?-）的波函数就是它在坐标表彖的基欠上的投影。而必皿，孑2，也N；0就是我们以前的对称化的N粒子波函数。现用现在的语言來证明这一点。爲J切加）吨1，以讣（处（町严（石严0=/工%）%（爲）仏）气财严（畦严0）/V./7j./?2*dH*1A这里小括号里Q和a+的个数都是N,但a+的脚标是固定的，共有世个不同的固定的，而a的脚标各自都是可以独立的取任何值（代表态的编号，因为它们各自都是相应的的展开）由于a和a+的対

44、易关系可知若SD，!n中，有任何一个（只要一个就足够了）脚标号与a+的上个编号不同，则该a可以与所有a+对易，而导致相应项为零（注意讪0）=0）。于是，N重求和的全部项中，只剩F那些项，它们対应的，气，、的脚标与,a；的脚标完全相同，而排列顺序（的）取所有可能的方式（因为原先的片心,5是各自独立变化各自取所仃值的）一但不包括相同脚标Z河的置换！只是包括所有在不同脚标Z间的置换。根据%贰的对易关系，心,（町尸卜4（町）于是考虑到|泸）=0即可得坷个J和几个町的兑换产生一个因子厲！。其余脚标的勺,町情况类似由于qZ间可交换，故求和号内各项中，包含算符的是公因子而且此公因子为叭!心!仇！，而恰好将前

45、而的N重求和只剩卜对不同（NB!）脚标Z间的置换,就是说共有M/R!丹？!川项，现乘以此公因子恰为M项，于是可有他宀，為中兄和爲”,点叫（0俺）在上面证明了几率幅的表达式Z后，再次地证明了二次量子化方法的描述与通常多体薛定谭方程的等价性。总Z,我们得到对几率幅了I，厲，,1；中1心要遵从的多粒子薛定帶方程済煞皿，曲“心小乍町0，厲,，了nW兄即i碍中炭（亦运-圭以+7伍）d加）显然，交换任何一对点耳，时中誥二罠厲心都是对称的（原因是1，了2，孑黑|中的1/Z间ij4交换）。这样便又一次证明，二次量子化理论处理和n个Bose-Einsteui粒子集合的标准的非相对论量子力学在实质上是等价的。4.

46、费米子系统【参阅J.Callaway,uQuantumTheoiyoftheSolidState,standardedition,3（1976）p.364.ApendixD【最初建立费米子系统的二次量子化方法的是PJordanandE.Wigner,Zsfphys.47631（1928）a）产生湮灭算符及粒子数算符为了得到费米一狄拉克统计，需要一个包括修改基本対易关系的新出发点。我们知道，N个F-D粒子集合的波函数在交换任意两个粒子的位置下完全反对称化，这导致泡利不相容原理，即不可能有多于一个粒子占据一个给定的单粒子态。因此，粒子数算符的本征值，只能取0和1。同前面一样，把血的标号按1,2,编

47、号佝叫就是N个不同的号码，于是粒子数表象中的基矢nn2,-nN）在坐标表彖的波函数（基本波函数）了1，gNnn2三%吟.IN）三黑工（一1严）%（）7Mp三黑工（一1严P中X忆W（笃）中Z忆n）QN.p【第一个表达式中，耳是第1号态上的占有数为零，故一直延至s；第二个表达式中，“山是N个态编号。每个态上一个粒子。这前N个态上占有数均为1。并应强调：由丁最初排列的偶然性，故费米子体系的波函数？的不确定性。】P代表对N个粒子号码实行置换的算符，P代表置换P的奇偶性，P奇时P取奇，P偶时P取偶。现在，弓I一数组（厲,心,，）來标记上面的波函数，这些中，允许在任何位置有任意数目的0。（不像上面N个q均

48、不为零，态上都有粒子）当厲=0,（/”,态上无粒子;竹=1,0勺上有一个。当I/叫位置如尙变动，就可能引起符号的变动。并定义前N个*均为b后而继以0,即【这样做的一个标记是只要写明N个角标一N个态的标号；不这样做（即中间有的占有数可能为零）的标记，是角标一直沿下去】满足i=N的一切可能（,/?2,）值所相应的丹Fn）构成N体费米子系统的一个正交归一完备组，可用来构成粒子数表彖。于是，接卜去和前面叙述的完全一样，前面第一（粒子数表彖一节），叙述可用于BE、F-D两种粒子系集。接着，我们定义产生算符和湮灭算符如卜：TOC o 1-5 h zJ-1brn心叭书=（一1石鬥叭心几1Jnnl2h）=0J

49、-lbin，ln，2叭一丄叭书=（-1）1叭n，2叭T。”书b：n丹2=0这里只不过反映了泡利不相容原理而已。如同上一本第19页，b,b：也可以表示成同2,的投影算符和的形式。并由此得它们Z间的厄米共緬关系。由上面的b“b：定义，可直接推得b，町b，bJ=O姑，处0这里要注意，属丁不同？的算符是反对易的，而不是对易。【例：勺作用的结果不仅与耳本身有关，还与该态Z前的所有占据数有关。因此，各个算符？的作用不能认为是彼此独立的。还可以？下而的2、或q+、方:之间（当工丿）的反对易（而不是对易）关系。】【习题:根据上面勞、S的定义证明这个对易关系。】而且（7=0,6）0。考虑粒子数算符Nk=bbk,

50、发现它是个投影算符（projectionoperate）【？?】，因为N：=叭阪=b；Q-b；bJbk=叭=Nk于是按照DiracP31，既然N；-Nk=0则弘的本征值N）取0或1（对所有上）。就是说,每个态上，粒子的占有数只可能是0或1,于是反过來上而的反对易关系自动保证了泡利不相容原理。可以很容易证明弘和“再一次又是对易的。【N”=0,必,站=呼务，弘,勺=一勺务，与波色子相同。】【习题1Kramers对的产生算了是时间反.演不变的。（Aveiy:aCreationandAnnihilationOperatofP.79.）2.证明推广的Koopman定理（Avery,P38）。】于是基欠再

51、次可以取成粒子数算符弘的共同本征态。而基态仍同以前（归一|阴）=1：尊=o对所有十；瓜0）=o对所有上；y/（f,o|0）=0）性质，基矢可以写成同宀，口廿硏“附b）场算符/+忆,0、的引入及其有关的关系式，按卜式引入场算符及其厄米算符1/伽）:1/（异）=工#2i（/+（釘）=工口水忆）好1同玻色子一样，它们与完备组的选择无关，分别代表吸收和产生一个处在g处的粒子的算符。而1/+忆黑）代表点的数密度算符。相应的対易关系釘）,（/+,）=5（）妙（畀）,。=00+（异）,（/+,）=0这里，/+（釘）、W（异）的物理意义和玻色子情况相同（比如第5本P29M/+W1的证明，由于N和的对易关系与玻

52、色子一样，那里的证明就可以全部移过來）。N个全同费米子体系在坐标表象中的基欠（？空间基欠）注意，这里算符的次序是重要的。可以证明，这个基欠是正交归一的（类似第5本P34,但耍注意现在中，中十Z间是反对易的，而且3函数的斤对易也要变号）0枫咐和訂0弓0|口夠-劣於曲|0=+|02261-中阴片+%岁姒510乙=（1（2211-1221|。=2陋/11+4/11|。（简略记号）（NB.不论带撇号Z间还是不带撇号Z间的交换均变号）（三粒子已检验。）】,同时，它被总粒子算符N作用的本征值为N：M斤，忌，,；=吉“1/+（，）”（张1，小呷+（）|0=击J1/+(F)W(尸詁)k仏,(张1,f)叩()|

53、0尸吉Jdp+(F)饥尸-“-y/+(L0w(”)/(hi，”W()|0N-2，上）=吉顷丘呱旳-jdry/+(r,t)y/+(rN,t)s(r-弘)-叩(弘,卯(尸,乜护()|0W阳最后，可以证明在N个费米子体系的一个态同丿2,中，找到它们处于（不分粒子编号）忌忌，和的几率幅为0（）叽环，。鱼j辿茫卩）=他叶（几力挣）（b抵忒）三忌弓（-1）如何讥e【前面的帥2，是按态的标号顺序而排列的占有数，中间有些是定的：这里的，山是其中N个不定（即傀=%=1）的态编号。参见前面P3注“hh*vC）各类算符用产生湮灭算符表示V单体算符NikF=f（P）P=1F訂砖+(%v两体算符N|Ng=工盘(阳)=工

54、g(p,g)(g(p,q)=g(g,p)pZ7.=77：（=0）,7?.=11应当注意，当勺+,勺是作用在态矢的占有数一本征值上的时候，时迅却是作用在波函数的自变量一占有数力学量上的。波函数受坊*作用后，其宗量减少1,受湮灭算符Q作用后，几将增加1。为将这点看得更明白，可将上式用到特殊的波函数一本征态的波函数,可知,宗量减少1等价于本征值增加1,反之亦是:B：Ge冋）=（-1刘G仙7（酗2）.耳%）=（-1験C”EQ-（W2耳）为了使各种算符过渡到对波函数）实行运算，只需在算符表达式把勺,b：换成比,町，对易关系不变。现在，薛定谭方程为其中,H=工仲+中庐埋+寺工術刖岡+0皿it1Lik.ik

55、15.Schwinger作用量原理与场量子化a）schwinger提出的场鼠子化方法中，由单一的量子作用鼠原理出发，从中同时给出场方程和对易关系。卜而的最简单的中性标屋场为例來说明当系统是场时，它的最子化的步骤。我们先从薛定谭方程所代表的某种物质波场的量子化开始。将薛定帶方程看成是某一种物质波在普遍空间中传播：1理泸一匚、中（F期+卩（F小中（F,t）=0Ia2m当然，这里的0（尸/）并不是我们物理空间中的真正的波幅，而是希伯特空间的抽彖的态矢=药昭2w+GZ）k（g2）g（i，2）w（g2,0wGi，）在特殊坐标表象中的一个分崑，但作为等效后果，我们可以坚持这种虚构的看法。丁是，上面方程就是

56、物质场的一个场方程”。可以从作用量原理导出这个“场方程”。为此我们必须认为：场的自由度由所有可能的点戸的W值代表，即FI,中讥，F连续编号。量y/（；i）和/（?）是场的不同的正则变帛，通常关于自由度乞的求和必须代以w（尸）关于尸的积分。1/.1/*场的广义坐标（generalizedfieldcoodinales9-KBBerastotskilet.al,RelativisticQ-TpartIP31取作用量积分：hPT=jLWN中冲X）dth厶=JI（v/（r/）,V这里是拉格朗口，L是拉格朗口密度，dr=dxdydz积分扩展到全部三维空间。泛函是这样的：W对w（保持戸和f不变）在边条件6

57、中=0（对（tQ卜的变分给出的尤拉一拉格朗口方程是场方程（上面）。对W中的中中+6中，当8W=0时导致dLdLddL&中dgicid中dtdvjj【只要W变分1/的尤拉方程就必为此种形式；于是，不同场就相当于不同的L,经此种变分（l/|z2=0）,就得出该场得场方程。这就成为由作用屋原理导出场方程作用盘瓯理的一种固定格式。（注意，指J“场方程）o（第二项由分部积分得）如果取L=i帀中木中giad中权grad中一U中木中2m代入上面尤一拉方程，立即得出这个物质场一薛定谭场方程的共紈方程，当然它是等价于上面的（薛定谒物质）场方程的。対（/木的变分就直接给出薛定谒物质场方程。b）现在，我们來决定对这

58、个物质场进行量子化：认为这个场方程同存在在微观尺度上的某种波相联系，必须将Z按龟子理论规则予以处理。由J：这个物质场方程已经是起子理论的结杲（只是按现在实用等效的目的予以了重新的“解释”），因此对薛定谡波场进行的量子化就被称为二次最子化。整个思想是建立在多粒子体系和光子体系的模拟上。类似，我们用“物质场方程”來描述粒子体系的总体行为，而借助对这个场的量子化來引出量子特性。任何体系的最子化可以很方便的沿用“正则框架”來实现。这就必须找出场变最0（尸）的正则共辄对,由RomanP.6知正则共轨量n（f/）=dL00(和)=诜中*(F,t)【由于0*是另一正则变量（与W共轨力由此返上去，可以理解变分

59、0中0水不变的缘故。】类似的类比，可得这个物质场的哈密顿屋为J2m一旦用正则方法描述了物质场Z后，就可以实行最子化了。这总是意味着：基本的正则变最（/（戸）和口（戸）必须重新考虑作为作用在某个希伯特空间元素上的算符。【实际上，上而结果已是无相互作用（无两体作用）的二次最子化后的系统的哈密顿算符。而考虑到相互作用的情况，亦可顺此路线而得：写出相互作用的粒子的“经典”薛方程，找出能导出它的L,利用ndr-L即可得H考虑到两体算符的系统的哈密顿。（Roman.P.81-82）.而W（尸）、口（尸）的量子特性（以及通过它们物质场的全部物理观察屋的最子特性）都由为W、II指定的对易关系所决定。当然，不一

60、定能照搬海森堡对易关系，（事实上，规定可观察量量子特性的对易关系的具体形式，对不同的系统类型是不同的）。于是，分玻色子、费米子两种情况，规定这一対正则变最的对易关系，从而导出产生湮灭算符，推出前而全部二次屋子化公式。c）最后，我们从普遍的schwinger鼠子作用量原理出发将场方程、哈密顿量、对易规则一并导出，实现玻色子场和费米子场的统一理论。由丁（耳）和W爲）是不同的自由度，场的任意的一般的变分意味着函数形式的变化和“标号”戸的变化这两种变化。即理解为：5中=y/r(f+一y/(f/)=i/r(r,0一中+Vi/3F=6申+V中莎（变分过程中，不必将5中如此明确的写出。）:.6W=jLW+6