三函数的连续性

1、三函数的连续性一、 连续函数的概念 设 是连续函数，那么它的图形是一条没有连续点的连续曲线，如图。 叫做函数的增量 由图可知： 叫做自变量的增量 定义1 设函数 在点 的某个邻域内有定义 ，假设当自变量 的增量 趋于零时，相应的函数的增量 也趋于零，即 那么称函数 在点 处连续，点 叫做 的连续点。 例： 证明 在点 处连续 证： 因为 根据定义1，该函数在 处连续 因为： 所以由定义1可引出连续函数的第二个定义 。 定义2 设函数 在点 的某个邻域内有定义 ，且 ， 那么 在 连续。 即： 所以： 假设 那么称 在 右连续 假设 那么称 在 左连续 定义3 假设 在区间 内每一点 都连续，那

2、么称 在 内为连续函数，假设 在 内为连续函数，并且在 右连续，即 ，在 点左连续，即 ，那么称 在 上连续。 例： 试证 在 内连续 证明 设 是 内任一点，且有 因为 所以 ， 该函数在 内是连续函数 从以上三个定义可以看出，一个函数在 处连续必须满员三个条件： 1、函数 在 及其附近有定义； 2、当 时， 的极限存在； 3、 在 的极限值等于函 数 在 的函数值。二、 初等函数的连续性定理1、 假设函数 和 在同一点 连续，那么函数在 点连续。换句话说：连续函数的和差积商仍为连续函数。定理2、 假设函数 是某个区间上的单调 连续函数，那么它的反函数 在相应区间上也是单连续函数。定理3、

3、假设函数 在 点连续， 在 处连续，且 那么 在 点连续函数。也就是说连续函数的复合函数仍是连续函数。根据初等函数的连续性及上述三个定理得：一切初等函数在其定义域内都是连续函数。例例需要注意的一点，在复合函数求极限时，并不一定要求 在 点连续，只要 当 时极限存在，即 存在，它的极限值使的 连续即可。该函数是由复合而成在并不连续，但是存在，并且在 处连续。三、 闭区间上连续函数的性质定理1、有界性假设函数 在 连续，那么函数 在 上有界。即存在正数M，对于一切 有 。定理2、最大值、最小值假设函数 在 上连续，那么函数 在 上必获得最大值与最小值。例： 在 与 上不存在最大(小)值定理3、(介

4、值定理) 假设函数 在 上连续，且在端点有不同的函数值， 那么对于 与 之间的任何一个数 ，在 内至少存在一点 ，使 。如图特殊地假设 与 异号，那么在 内至少存在一点 使例：证明方程 至少有一个小于2的 正根。 证明 设 那么有 函数值异号 此函数在 连续，根据定理3知在 之间至少存在一点 ，使得即方程 在 内至少存在一个小于2的正根。 四、函数的连续点 函数 在 点不满足连续函数三个条件当中其中一个条件，我们就说 在 点不连续，并把 点叫做 的连续点或不连续点。例1 在 处无意义，也就是没有 定义，所以该函数在 处不连续。 但是 把这样的连续点叫做函数的无穷型连续点或无穷型不连续点。例2

5、讨论 在 处是否连续 因为 那么有 但是 所以 是该函数的不连续点或连续点 但是假设我们把这个函数修改成如下： 连续点 就变成了连续点，我们把这种经过修改或补充能变成连续点的连续点，叫做可去型连续点。 例3 讨论 在 处是否连续？ 解 因为该函数在 无定义， 是连续点。但 假设我们补充定义： 这样 就变成了连续点，所以该连续点叫做可去型连续点。 例4 在 处的连续性 讨论 该函数在 处有定义，但 解 所以 不存在 所以该函数在 处不连续，但该函数在 处曲线产生跳跃，我们把这种连续点叫做跳跃型连续点。我们把各种连续点分为两类： 但凡左右极限都存在的连续点叫做第一类间断点，除此之外的连续点都叫做第二类连续点。其中第一类连续点中，左右极限不相等者称为跳跃型连续点，左右极限相等者称为可去型连续点。练习1 在 处是否连续？ 练习2 在 是否连续？ 练习1 在 处是否连续？ 解 该函数在 处无定义，所以在该点 不连续。 但是 我们可以补充定义