多元函数的极值及其求法课件

1、 第九章 第八节一、多元函数的极值 二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、 多元函数的极值 1.定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;点 (0,0) 不是极值点.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某去心邻域内有定理1 (必要条件)函数偏导数,且在该点取得极值 ,则有存在2、多元函数取得极值的条件证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：若函数有偏导，则时, 具有极值定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和

2、二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数例1.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步求二阶偏导数,判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;解：解二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小

3、 值(大)(大)依据偏导数不存在的点解如图,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：笔记本和签字笔，设他购买 个笔记本和 支签字笔，效果函数为设笔记本每本3元，签字笔每支5元，问他如何分配这200元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日

4、( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件解则例7 抛物面 被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解 该问题即求函数在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。求偏导得到可能的驻点： 由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最