人教版高中数学《直线平面简单几何体》全部教案

1、一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。通过序言课的教学，学生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基础。然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，开课后草草几句便开始了“平面”的教学。教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习带来消极影响。由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的教学任务，对提高立体几何课的教学效益是至关重要的。二、排除

2、心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。部分学生认为立体几何比平面几何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为首先任务。1.尽量引用实例。“引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。”为了使学生真正认识到立体几何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来

3、的。”“同学们能从图纸上看出是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。2.巧用教具、模型。要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种模型。那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，五彩缤纷，望形状，新颖别致。学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，大有“跃跃欲试”之势。借助模型还可以帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定势的消极影响。例如，在黑板上画出图1，不少学生乍一看认为这是一个平面图形，当教师指出这是一个空

4、间图形的直观图时，有的学生认为小平行四边形凹在后面，有的学生认为小平行四边形凸在前面，因而引起了激烈的争论，但很快意见趋于统一：两种情况都可能存在。接着教师出示用硬纸板做的模型，学生观物思图，看图想物，终于形成了强烈的立体感。然后教师在黑板上画出图2和图3，并用模型示范，学生不仅分清了两种不同的情况，更重要的是感受到了学习立体几何新鲜有趣，就能变“要我学”为“我要学”。3.加强知识联系。立几知识与学生已掌握的平面几何知识有密切的联系。序言课中有目的地加强这种联系有助于消除学生怕学、厌学的心理障碍，增强学好立体几何的信心。当教师把模型放上讲台时，学生认出模型中的正方体、圆柱体、圆锥体教师指出：“

5、这些几何体在小学大家就已经学过，现在学习立体几何，就是要进一步研究这些几何体的性质。”这样学生就会感到立体几何并不陌生。教师还可以问学生：“两条直线相交有几个交点？两个平面相交有几条交线？”用教具演示后学生很快就能掌握。再问：“几个点可以确定一条直线？几个点可以确定一个平面？”学生会不加思索回答：“两个点可以确定一条直线，两个点也可以确定一个平面。”这时教师用两个指头试图将一块硬纸板顶住，但是无论怎样变化位置总不能成功，引得学生一阵哄笑，不少学生也拿出作业本做试验。教师抓住这一时机告诉学生：“立体几何与平面几何有密切的联系，它们研究的对象虽然不同，但研究的方法和研究的内容（性质、画法、计算和应

6、用）基本相同。”这就能使学生认识到学习立几是学习平几的自然延续。三、引导学生探讨如何学好立体几何是序言课教学的落脚点。有些老师常在序言课上板着面孔提出要“认真听讲，认真做好作业，课前要预习，课后要复习”的要求，这些自学生跨进校门之日起就听惯了的老调，并没有多少效果。我们的做法是让学生自由讨论，各抒己见。因为通过以上活动，学生对立体几何的兴趣被点燃以后，便自然想到：“我们怎样才能学好立几知识呢？经过讨论以后，教师再归纳得出学好立几的主要方法：加强与平几知识的联系，注意用对比的方法区别异同，掌握实质；注意对实物、教具和模型的观察和分析，培养空间想象能力；自己动手制作模型，以加深对立几知识的理解和应

7、用。为了学好第一章，我们要求学生准备好硬纸板三块（代平面用），竹针或铅丝四根（代直线用），在学习中随时进行模型演示，以逐步建立起空间观念。平面 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图

8、形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用一、素质教育目标（一）知识教学点1“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点2虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分，是无限延展的3平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别（二）能力训练点1通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性2由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力（三）德育渗透点通过通俗意义上的平面到数学意义

9、上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点二、教学重点、难点及解决办法1教学重点（1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示（3）理解平面的无限延展性2教学难点（1）理解平面的无限延展性（2）集合概念的符号语言的正确使用3解决办法（1）借助实物操作，抽象出“平面”概念（2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性三、课时安排1课时四、学生活动设计准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同

10、画出的图形比较，小竹签用于表示直线五、教学步骤（一）明确目标1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系（二）整体感知“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教

11、学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用（三）重点、难点的学习与目标完成过程A引言师：以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形的性质、画法、计算、应用今天我们开始学习一门新的学科立体几何立体几何的研究对象是空间图形的性质、画法、计算及应用它使得我们的学习内容从二维平面上升到三维空间，因此，需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为二维平面图形问题，这也是学好立体

12、几何的一个重要方法立体几何一书共分两章：第一章“直线和平面”是立体几何的基础知识和理论基础；第二章“多面体和旋转体”是理论知识的运用，并被广泛地应用于日常生产生活之中B平面1平面的特点师：现在我们来看手中的纸盒，它是由几个面构成的？生：6个面师：对，这六个面给我们以平面的形象，还有哪些面留给我们平面的形象呢？生：桌面、黑板、地面、海平面等师：对，这些物体是生活中所说的平面，但还不能算是数学意义上的平面，因为它们是有限的面再如海平面上有波涛，当我们想象它是一平如镜时，它有什么特点呢？生：很大、很平师：对，平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点一个平面可以把空间分成两

13、部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条直线的一部分因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分2平面的画法师：同学们从小就会画平面，是否记得用什么图形来表示？生：平行四边形师：对，通常画平行四边形来表示平面，但有时不，如四面体（图1-1），又如三个平面相交且交于一点（图12）注意，在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45，横边画成邻边的两倍（图1-3）；如果是非水平平面，只要画成平行四边形，如直立平面（图14）；如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图1-

14、5）请看课本中有关内容3平面的表示法师：平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图13、图15）；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图14）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图1-4）4点、直线、平面之间的基本关系师：空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英

15、文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示（以下各种情形要用小竹签和纸板示范）参图16师：可见，集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言【练习】练习一1能不能说一个平面长4米，宽5米？为什么？能不能说矩形长3米，宽2米？“这个矩形是平面的一部分”的说法是否正确？2观察图17、图18的甲、乙两个图形，用模型来说明它们的位置有什么不同，并用字母表示各平面附注：（1）讲评图17时，用书作示意，对直线的可见部分与不可见部分加以区别（2）讲评图18时，出示模型，对可见棱与不可见棱加以区别练习二试用集合符号表示：（1）点A在直线l上，点B不在

16、直线上；（2）点A在平面内，而点B不在平面内（四）总结、扩展通过这一节课的学习，我们知道了立体几何是在学习了平面几何的基础上对几何的继续研究，研究的对象是空间图形，主要研究空间图形的画法、性质、计算以及应用今天首先学习了平面的画法和表示法，以及点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换，为下一节课学习平面的基本性质作准备六、布置作业1阅读立体几何课本有关“平面”的内容2试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A在平面内，但不在平面内；（2）直线a经过不属于平面的点A，且a不在平面内；（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P；（4）直线l经过平面外一点P，且与

17、平面相交于点M4预习“平面的基本性质”七、板书设计平面的基本性质（一） 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的1公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法2公理2揭示了两个

18、平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法3公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法4“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”

19、和“唯一性”两方面来论证5公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述（二）能力训练点1通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力2通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力3将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想二、教学重点、

20、难点、疑点及解决办法1教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题2教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式（3）确定两相交平面的交线3解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用三、课时安排2课时四、学生活动设计准备好两块纸板

21、，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图19）；对公理3，使用图110所示的模型进行演示五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题（5）理解并掌握证明命题的常用方法反证法和同一法（二）整体感知本课以平面基本

22、性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问实验归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”

23、和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意三、教学重点、难点的学习与完成过程A公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理请同学们思考下列问题（用幻灯显示）问题1：直线l上有一个点P在平面内，直线l是否全部落在平面内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面内，直线l是否全部落在平面内？（用竹针穿过

24、纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（）内，结论是：直线（a）在平面（）内师：把条件表示为Aa，Bb且A，B，把结论表示11）这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，

25、如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图19（1）给学生看）问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）可见，这无数个公共点在一条直线上这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论

26、分别是什么？生：条件是两平面（、）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线师：条件表示为A，A，结论表示为：a，Aa，图形表示为图19（2）或图112公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图110给学生看，学生思考后回答，教师归纳）这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结

27、论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（）A，B，C，图形表示为图113，公理3是确定平面位置的依据之一以上三个公理是平面的基本性质其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在也就是说，如果有顶多只有一个因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面存在性和唯一性B推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面说出推论1的条件和结论生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：

28、经过a和A有且只有一个平面证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、CA、B、C三点不在同一直线上过A、B、C三点有且只有一个平面（公理3）B，C即过直线a和点A有一个平面“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面B，C过不共线三点A、B、C有两个平面、，这与公理3矛盾假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面，而只能有一个平面这里证明“唯一性”时用了反证法推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面师（板书）：已知：直线a直线bA求证：经过a、b有且只有一个平面证明：“存在性”在a、

29、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面（公理3）Aa，Ba，A，B，平面是经过相交直线a、b的一个平面“唯一性”设过直线a和b还有另一个平面，则A、B、C三点也一定都在平面内过不共线三点A、B、C就有两个平面和平面与平面重合过直线a、b的平面只有一个这里证明唯一性时，用的是“同一法”推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面（证明作为思考题）C练习1下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，、表示平面）AA，B，ABBa，a，=a其中命题和叙述方法都正确的是 2下列推断中，错误的是 DA、B、C，A、B、C，且A、B、C不共

30、3一个平面把空间分成_部分，两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分4确定经过A、B、C三点的平面与已知平面、的交线（图116）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面存在性和唯一性证明的方法是反证法和同一法五、布置作业1复习课本有关内容并预习课本例题2课本习题（略）3确定经过A、B、C三点的平面与已知平面、的交

31、线4思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1D，2C，3图118作业：3图119七、板书设计平面的基本性质（二） 平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础一、素质教育目标（一）知识教学点掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法1证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平

32、面内，如例1之2证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例23证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习（二）能力训练点通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力（三）德育渗透点通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风二、教学重点、难点、疑问及解决办法1教学重点（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题（2）证明过程的书写格式与规则2教学难点（1）画出符合题意的图形（2）选择恰当的

33、公理或推论作为论据3解决办法（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式（2）利用实物，摆放成符合题意的位置三、学生活动设计动手画图并证明四、教学步骤（一）明确目标1学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”2论据正确，论证严谨，书写规范3掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论（二）整体感知立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式教师在讲解时，应充分展

34、开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解（三）重点、难点的学习与目标完成过程A复习与讲评师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图120示意）师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图121示意）师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程已知：直线ab求证：经过a、b有且只有一个平面证明：“存在性”ab，a、b在同一平面内（平行线的定义）“唯一性”在直线a上作一点A假设过a和b还有一个平面，则A那么过b和b外一点A有两个平面和这与推论1矛盾注：证唯

35、一性，用了“反证法”B例题与练习师：先看怎样证几条线共面例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况（1）已知：daP，dbQdcR，a、b、c相交于点O求证：a、b、c、d共面证明：daP，过d、a确定一个平面（推论2）同理过d、b和d、c各确定一个平面、Oa，Ob，Oc，O，O，O平面、都经过直线d和d外一点O、重合a、b、c、d共面注：本题的方法是“同一法”（2）已知：daP，dbQ，dcR，abM，bcN，acS，且无三线共点求证：a、b、c、d共面证明：daP，d和a确

36、定一个平面（推论2）abM，dbQ，M，Qa、b、c、d四线共面注：让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏结合本例，说明证诸线共面的常用方法例2如图125，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P求证：P在直线BD上分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点已知：EFGHP， EAB、 FAD， GBC， HCD，求证：B、D、P三点共线证明：ABBDB，AB和BD确定平面ABD（推论2）AAB，DBD，EAB，FAD，EFGHP，P平面ABD同理，P平面BCD

37、平面ABD平面BCDBDPBD即B、D、P三点共线注：结合本例，说明证三点共线的常规思路练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点已知：如图1-26，=a，b，c，bcp求证：pa证明：bcp，pbb，p同理，p又=a，pa师：以上例、习题分别证明了四线共面三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用

38、幻灯显示）（四）总结、扩展本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法在证明的书写中，要求推论有据，书写规范五、布置作业1课本习题（略）2求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内3已知：ABC在平面外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交于M、N、R，求证：M、N、R三点共线4如图127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内本

39、题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上）六、板书设计平行直线 一、素质教育目标（一）知识教学点1公理4，即平行公理2等角定理及推论（二）能力训练点1利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理2充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性3通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证明二、教学重点、难点、疑点及解决方法1教学重点：让学生掌握平行公理及其应用2教学难点：等角定理证

40、明的掌握及其应用3教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且这两个角的方向相同三、课时安排1课时四、教与学的过程设计（一）复习两条直线的位置关系（幻灯显示）师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？生：三种：相交、平行、异面异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线相交直线和平行直线也称为共面直线师：异面直线的画法常用的有哪几种？生：三种如图138，a与b都是异面直线师：如何判定两条直线是异面直线？生：（1）间接证法：根据定义，一般用反证法（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的（二）平行公理师：在平面几何中，如图140，若ab，cb，则a与c平行吗？生：平行师

41、：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则ac这个命题在空间中是否成立呢？师：实际上，在空间中，若ab，cb，则ac也成立我们把这个结论作为一个公理，不必证明，可直接应用平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行如图141，三棱镜的三条棱，若AABB，CCBB，则有AACC下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等具体用哪一种方法

42、，我们来分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中证明：如图142，连结BDEH是ABD的中位线，根据公理4，EHFG，又FGEH，四边形EFGH是梯形（三）等角定理师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据，也是证明等角定理的基础等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等已知：BAC和BAC的边ABAB，ACAC，并且方向相同求证：BACBAC师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，

43、则它的对角相等，等等根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在证明：对于BAC和BAC都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明下面我们证明两个角不在同一平面内的情况如图143，在AB、AB，AC、AC上分别取ADAD、AEAE，连结AA、DD、EE，DE、DEABAB， ADAD，AADD是平行四边形根据公理4，得：DDEE又可得：DDEE四边形EEDD是平行四边形EDED，可得：ADEADEBACBAC师：若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等从上

44、面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用下面请同学们完成练习（四）练习（P14练习1、2）1把一张长方形的纸对折两次，打开后如图144那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的ABCABC四边形BBCC是平行四边形BCBC同理可证：ACAC，ABABABCABC（五）总结这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础这节课我们还明确了在平

45、面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证后用五、作业教材P17习题二4、5、6、7、8两条异面直线所成的角 一、素质教育目标（一）知识教学点1两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念2两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法（二）能力训练点1利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性2利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离（三）德育渗透点进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质二、教学重点、难点、疑点及

46、解决方法1教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法2教学难点：两异面直线所成角及距离的求法3教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性三、课时安排1课时四、教与学的过程设计（一）复习提问引入课题师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？生：通过它们的夹角如图146，a、b的位置关系与a、b的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a、b的夹角来的小师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它

47、们之间相互位置的不同状况例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念（二）异面直线所成的角师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示如图147，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引aa，bb，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角师：针对这个定义，我们来思考两个问题问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的若在空间中，再取一点O，过点O作aa，bb，根据等角定理，

48、a与b所成的锐角（或直角）和a与b所成的锐角（或直角）相等即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？答：没有矛盾当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）例如，正方体上的任一条棱和不平

49、行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（三）两条异面直线的距离师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？生：不是它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？生：用两平行线间的距离来表示师：对如图150，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图150：ab，ab，ca，ca，则a、b与a、b的公垂线分别为c、c，且线段AB、AB的长度分别是

50、a、b与a、b之间的距离对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线师：根据定义，思考问题问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？答：无数条因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义问题2：两条异面直线的公垂线有几条？答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA、 BC都垂直相交的只有AB一条；能和AB与面AC内过点A的直线都垂直相交的直线只有一条AA师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度

51、，叫做两条异面直线的距离如图152中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离下面，我们来完成练习和例题（四）练习例设图153中的正方体的棱长为a，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线？（2）求直线BA和CC所成的角的大小（3）求异面直线BC和AA的距离解：（l）A平面BC，而点B，直线CC都在平面BC直线BA与CC是异面直线同理，直线CD、DD、DC、AD、BC都和直线BA成异面直线（2）CCBB，BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角=ABB=45，BA和CC所成的角是45（3）ABAA，ABAA=A，又ABBC，ABBC=B，AB是BC和AA的公垂线段AB=a，BC和AA的

52、距离是a说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范【练习】（P16练习1、3）1（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面3画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线解：（五）总结本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决五、作业P17-18中9、10两条异面直线所成的角练习课 教学目标1记忆并理解余弦定理；2应

53、用余弦定理来求异面直线所成的角教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦这节课的难点是使学生初步理解当cos0时，090，当cos=0时，=90，当cos0时，90180教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2b2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角在余弦

54、定理的第二个形式中，我们知道b2c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2那么，我们想当b2+c2=a2时，A等于多少度？为什么？生：当b2c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知A=90师：当b2c2a2时，A应该是什么样的角呢？生：因为cosA0，所以A应该是锐角师：当b2c2a2时，A应该是什么样的角呢？生：因为这时cosA0，所以A应该是钝角师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可初步理解后应该记住、会用现在明确提出当cos=0时，=90，是直角；当cos0时，090，是锐角当cos0时，90180，是钝角下面请同学们回答下列问题：生：等于60， 等于120师：这时和

55、是什么关系？生：和 是互为补角师：再回答下列问题：生：1等于45， 1等于135，1+ 1=180；2等于30， 2=150，2+ 2=180师：一般说来，当cos=-cos 时，角与角 是什么关系？生：角与角 是互补的两个角即一个为锐角，一个为钝角，且 =180（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1A1B，所以AD1C即为A1B与A

56、D1所成的角师：AD1C在AD1C中，求出AD1C的三边，然后再用余弦定理求出AD1C的余弦师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形现在我们再来看例2例2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，C1BC=45，B1AB=60求AB1与BC1所成角的余弦（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理生：因为BC1AD1，所以AB1与BC1所成的角即为D1AB1根师：现在我们来看例3例3 已知正方体的棱长为

57、a，M为AB的中点，N为B1B的中点求A1M与C1N所成的角的余弦（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BEA1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FNBE，所以NFA1M所以C1NF即为A1M与C1N所成的角师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BEA1M后，可取C1C中点G，连BG，则BGC1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在

58、我们来看例4例4 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1与BD所成的角的余弦（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。生：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，定理，得师：想一想第二个解法生：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即一可知：师：想一想第三个解法当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线生：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平行四边形AEBD，所以EAC1即为AC1与BD所成的角（如图5）连EC1，

59、在由余弦定理，得所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角作业补充题3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面

60、直线C1O和EF的距离4在长方体ABCDA1B1C1D1中，BAB1=B1A1C1=30求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦直线和平面平行的判定与性质（一） 一、素质教育目标（一）知识教学点1直线和平面平行的定义2直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法3直线和平面平行的判定（二）能力训练点1理解并掌握直线和平面平行的定义2掌握直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想3通过对比的方法，使学生掌握直线和平面的各种位置关系的图形的画法，进一步培养学生的空间想象能力4掌握直线和平面平行的判定定理的证明，证明用的是反证