2021年常州市中考数学压轴题总复习

1、第 页2021年江苏省常州市中考数学压轴题总复习解析版1在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H当点F在直线AD上方的抛物线上，且SEFG=59SOEG时，求m的值；在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）

2、两点，y=-13（x+3）（x4）=-13x2+13x+4；（2）如图1，B（4，0），C（0，4），设BC的解析式为：ykx+b，则4k+b=0b=4，解得k=-1b=4，BC的解析式为：yx+4，x+4=34x+94，解得：x1，E（1，3），M（m，0），且MHx轴，G（m，34m+94），F（m，-13m2+13m+4），SEFG=59SOEG，12FG(xE-xF)=5912OP(xE-xG)，（-13m2+13m+4）（34m+94）（1m）=5994(1-m)，解得：m1=34，m22；存在，由知：E（1，3），四边形EFHP是正方形，FHEF，EFHFHPHPE90，M（m，0

3、），且MHx轴，H（m，m+4），F（m，-13m2+13m+4），分两种情况：i）当3m1时，如图2，点F在EP的左侧，FH（m+4）（-13m2+13m+4）=13m2-43m，EFFH，13m2-43m=1-m，解得：m1=1+132（舍），m2=1-132，H（1-132，7+132），P（1，7+132），ii）当1m4时，点F在PE的右边，如图3，同理得-13m2+43m=m1，解得：m1=1+132，m2=1-132（舍），同理得P（1，7-132）；综上，点P的坐标为：(1，7+132)或(1，7-132)2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（

4、4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x1，与x轴交于点H（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若CPQ的面积为5，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴x1，则点B（2，0），则抛物线的表达式为：ya（x+2）（x4）a（x22x8），即8a2，解得：a=-14，故抛物线的表达式为：y=-14x2

5、+12x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，CPQ的面积=12CE（nm）=5，即nm25，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：-14x2+(12-k)x+1=0，m+n24k，mn4，nm25=(m+n)2-4mn=(2-4k)2+16，解得：k0（舍去）或1；将k1代入式并解得：x=-15，故点P、Q的坐标分别为：（-1-5，-5）、（-1+5，5）（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x=23，故点G（23，53）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则KMGGNR（AAS），GM1-23=13=NR

6、，MK=|53-m|，故点R的纵坐标为：43，则点R（m1，43）将该坐标代入抛物线表达式解得：x=1333，故m=2333，故点K（1，2333）3在平面直角坐标系xOy中，过点N（6，1）的两条直线l1，l2，与x轴正半轴分别交于M、B两点，与y轴分别交于点D、A两点，已知D点坐标为（0，1），A在y轴负半轴，以AN为直径画P，与y轴的另一个交点为F（1）求M点坐标；（2）如图1，若P经过点M判断P与x轴的位置关系，并说明理由；求弦AF的长；（3）如图2，若P与直线l1的另一个交点E在线段DM上，求10NE+AF的值解：（1）设直线l1的表达式为ykx+b，将点D、N的坐标代入上式得-1=

7、6k+bb=1，解得k=-13b=1，故直线l1的表达式为y=-13x+1，令y=-13x+10，解得x3，故点M（3，0）；（2）相切，理由：连接PM、AM，过点P作PNOA于点N，由点D、M、N的坐标知，点M是DN的中点，而AN是圆的直径，故AMMN，则AND为等腰三角形，故AM平分DAB，即DAMNAM，PMPA，故MABAMPDAM，PMy轴，即PMx轴，故P与x轴的位置关系是相切；由由直线l1的表达式知，tanDMO=13，则tanOAM3，故设直线AM的表达式为y3x+b，将点M的坐标代入上式得：033+b，解得b9，故点A（0，9），由点A、N的坐标得，AN=62+(-9+1)2

8、=10，则圆的半径为5，在RtAPN中，AP5，PNOM3，则AN4，则AF2AN8；（3）连接AE，则AEMN，过点F作FGAE于点G，作FHMN于点H，连接FN，则FNy轴，则点F（0，1），由直线l1的表达式知，该直线倾斜角的正切值为13，即tanDMO=13，DHODOM90，则DFHDEO，设DFHDEO，则tan=13，则sin=110，AEDN，FHDN，则FHAE，故DAE，在RtAFG中，FGAFsin=110AF，则10NE+AF=10（NE+110AF）=10（NE+EH）=10HN，在RtFDH中，DHDFsin（1+1）110=210，由点DN的坐标得，ND=62+(

9、1+1)2=210，则HNDNHD210-210，故10NE+AF=10HN184如图，在ABC中，ABC90，AB4，BC3点P从点A出发，沿折线ABBC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ设点P的运动时间为t秒（1）当点P与点B重合时，求t的值（2）用含t的代数式表示线段CE的长（3）当PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围（4）如图，取PD的中点M，连结QM当直线QM与ABC的一条直角边平行时，直接写出

10、t的值解：（1）当点P与B重合时，5t4，解得t=45（2）在RtABC中，B90，AB4，BC3，AC=AB2+BC2=42+32=5，sinA=35，cosA=45，如图中，当点P在线段AB上时，在RtAPE中，AEAPcosA4t，EC54t如图中，当点P在线段BC上时，在RtPEC中，PC75t，cosC=35，ECPCcosC=35（75t）=215-3t（3）当PDQ是等腰直角三角形时，则PEDE，如图中，当点P在线段AB上时，在RtAPE中，PEPAsinA3t，DEACAECD54t2t56t，PEDE，3t56t，t=59如图中，当点P在线段BC上时，在RtPCE中，PEPC

11、sinC=45（75t）=285-4t，DECDCE2t-35（75t）5t-215，285-4t5t-215，解得t=4945PDQ是锐角三角形，观察图象可知满足条件的t的值为0t59或4945t75（4）如图中，当点P在线段AB上，QMAB时，过点Q作QGAB于G，延长QM交BC于N，过点D作DHBC于HPBMNDH，PMDM，BNNH，在RtPQG中，PQ2PE6t，QG=45PQ=245t，在RtDCH中，HC=35DC=65t，BCBH+CH=245t+245t+65t3，解得t=518如图中，当点P在线段BC上，QMBC时，过点D作DHBC于H，过点P作PKQM于KQMBC，DMP

12、M，DH2PK，在RtPQK中，PQ2PE=85（75t），PK=35PQ=2425（75t），在RtDCH中，DH=45DC=85t，DH2PK，85t22425（75t），解得t=65，综上所述，满足条件的t的值为518或655初步尝试（1）如图，在三角形纸片ABC中，ACB90，将ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为AMBM；思考说理（2）如图，在三角形纸片ABC中，ACBC6，AB10，将ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；拓展延伸（3）如图，在三角形纸片ABC中，AB9，BC6，ACB2A，将ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边

13、AC上的点B处，折痕为CM求线段AC的长；若点O是边AC的中点，点P为线段OB上的一个动点，将APM沿PM折叠得到APM，点A的对应点为点A，AM与CP交于点F，求PFMF的取值范围解：（1）如图中，ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，MN垂直平分线段BC，CNBN，MNBACB90，MNAC，CNBN，AMBM故答案为AMBM（2）如图中，CACB6，AB，由题意MN垂直平分线段BC，BMCM，BMCB，BCMA，BB，BCMBAC，BCBA=BMBC，610=BM6，BM=185，AMABBM10-185=325，AMBM=325185=169（3）如图中，由折叠的性质可知，CBCB

14、6，BCMACM，ACB2A，BCMA，BB，BCMBAC，BCAB=BMBC=CMAC69=BM6，BM4，AMCM5，69=5AC，AC=152如图1中，AAMCF，PFAMFC，PAPA，PFAMFC，PFFM=PACM，CM5，PFFM=PA5，点P在线段OB上运动，OAOC=154，AB=152-6=32，32PA154，310PFFM346阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b2ab当且仅当ab时，“”成立证明：（a-b）20，a-2ab+b0a+b2ab当且仅当ab时，“”成立举例应用：已知x0，求函数y2x+2x的最小值解：y2x+2x22x2x=4当且仅当2x=2x，即x1

15、时，“”成立当x1时，函数取得最小值，y最小4问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度某种汽车在每小时70110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（118+450 x2）升若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）解：（1）汽车在每小时70110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（118+450 x2）升yx（118+450 x2）=x18+450 x（70 x110）；（2）根据材料得：当x18=450 x

16、时有最小值，解得：x90该汽车的经济时速为90千米/小时；当x90时百公里耗油量为100（118+4508100）11.1升7如图，二次函数y=14x2+bx+c的图象过点A（4，4），B（2，m），交y轴于点C（0，4）直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EFBD交AD于点F（1）求二次函数y=14x2+bx+c的表达式；（2）判断ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得EPF9

17、0的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得HPQ是以PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）二次函数y=14x2+bx+c的图象过点A（4，4），点C（0，4），c=-44+4b+c=-4，解得b=-1c=-4，二次函数的解析式为y=14x2x4（2）ABD是直角三角形，理由：B（2，m）在y=14x2x4，B（2，1），直线OB的解析式为y=12x，由y=12xy=14x2-x-4，解得x=-2y=-2（即点B）或x=8y=4，D（8，4），A（4，4），AB=62+32=35，AD=42+82=45，BD=102+52=55

18、，BD2AB2+AD2，BAD90，ABD是直角三角形（3）结论AG=12BD理由：如图1中，连接AG，交EF于H四边形AEGF是矩形，AHHG，EHFH，EFBD，AEEB=AHGH=1，AEBE，E（1，-52），EHBG=AHAG=FHDG，EHFH，BGGD，BAD90，AG=12BD（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PKE（1，-52），F（6，0），K（72，-54），EF=52+(52)2=552，EPF90，点P在以EF为直径的K上运动，PQH是等腰直角三角形，PQH90，QHP45，抛物线的顶点H（2，5），直线PH的解析式为yx7，PK=12EF，（x-7

19、2）2+（y+54）2（554）2，（y+7-72）2+（y+54）2（554）2，解得y4或-34，Q（2，4）或（2，-34）8已知：菱形ABCD和菱形ABCD，BADBAD，起始位置点A在边AB上，点B在AB所在直线上，点B在点A的右侧，点B在点A的右侧，连接AC和AC，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转角（0180）（1）如图1，若点A与A重合，且BADBAD90，求证：BBDD（2）若点A与A不重合，M是AC上一点，当MAMA时，连接BM和AC，BM和AC所在直线相交于点P如图2，当BADBAD90时，请猜想线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数如图3，当BADBAD60时，

20、请求出线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数在的条件下，若点A与AB的中点重合，AB4，AB2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长（1）证明：如图1中，在菱形ABCD和菱形ABCD中，BADBAD90，四边形ABCD，四边形ABCD都是正方形，DABDAB90，DADBAB，ADAB，ADAB，ADDABB（SAS），DDBB（2）解：如图2中，结论：CA=2BM，BPC45理由：设AC交BP于O四边形ABCD，四边形ABCD都是正方形，MAADAC45，AACMAB，MAMA，MAAMAA45，AMA90，AA=2AM，ABC是等腰直角三角形，AC=2AB，AA

21、AM=ACAB=2，AACMAB，AACMAB，ACBM=AAAM=2，ACAABM，CA=2BM，AOBCOP，CPOOAB45，即BPC45解：如图3中，设AC交BP于O在菱形ABCD和菱形ABCD中，BADBAD60，CABCAB30，AACMAB，MAMA，MAAMAA30，AA=3AM，在ABC中，BABC，CAB30，AC=3AB，AAAM=ACAB=3，AACMAB，AACMAB，ACBM=AAAM=3，ACAABM，AC=3BM，AOBCOP，CPOOAB30，即BPC30如图4中，过点A作AHAC于H由题意ABBCCDAD2，可得AC=3AB23，在RtAAH中，AH=12A

22、A1，AH=3AH=3，在RtAHC中，CH=AC2-AH2=(23)2-12=11，ACAH+CH=3+11或AC=11-3由可知，AC=3BM，BM1+333或333-19【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线【理解运用】（1）如图，对余四边形ABCD中，AB5，BC6，CD4，连接AC若ACAB，求sinCAD的值；（2）如图，凸四边形ABCD中，ADBD，ADBD，当2CD2+CB2CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对

23、余四边形，点E在对余线BD上，且位于ABC内部，AEC90+ABC设AEBE=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式解：（1）过点A作AEBC于E，过点C作CFAD于FACAB，BECE3，在RtAEB中，AE=AB2-BE2=52-32=4，CFAD，D+FCD90，B+D90，BDCF，AEBCFD90，AEBDFC，EBCF=ABCD，3CF=54，CF=125，sinCAD=CFAC=1255=1225（2）如图中，结论：四边形ABCD是对余四边形理由：过点D作DMDC，使得DMDC，连接CM四边形ABCD中，ADBD，ADBD，DABDBA45，DCMDMC45，CDM

24、ADB90，ADCBDM，ADDB，CDDM，ADCBDM（SAS），ACBM，2CD2+CB2CA2，CM2DM2+CD22CD2，CM2+CB2BM2，BCM90，DCB45，DAB+DCB90，四边形ABCD是对余四边形（3）如图中，过点D作DHx轴于HA（1，0），B（3，0），C（1，2），OA1，OB3，AB4，ACBC22，AC2+BC2AB2，ACB90，CBACAB45，四边形ABCD是对余四边形，ADC+ABC90，ADC45，AEC90+ABC135，ADC+AEC180，A，D，C，E四点共圆，ACEADE，CAE+ACECAE+EAB45，EABACE，EABADB，

25、ABEDBA，ABEDBA，BEAB=AEAD，AEBE=ADAB，u=AD4，设D（x，t），由（2）可知，BD22CD2+AD2，（x3）2+t22（x1）2+（t2）2+（x+1）2+t2，整理得（x+1）24tt2，在RtADH中，AD=AH2+DH2=(x+1)2+t2=2t，u=AD4=t2（0t4），即u=t2（0t4）10小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究（一）猜测探究在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NAB与MAC的数

26、量关系是NABMAC，NB与MC的数量关系是NBCM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75，得到线段A1Q，连接B1Q求线段B1Q长度的最小值解：（一）（1）结论：NABMAC，BNMC理由：如图1中，MANCAB，NAB+BAMBAM+MAC，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM故答案为NABM

27、AC，BNCM（2）如图2中，中结论仍然成立理由：MANCAB，NAB+BAMBAM+MAC，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM（二）如图3中，在A1C1上截取A1NA1B1，连接PN，作NHB1C1于H，作A1MB1C1于MC1A1B1PA1Q，QA1B1PA1N，A1QA1P，A1B1AN，QA1B1PA1N（SAS），B1QPN，当PN的值最小时，QB1的值最小，在RtA1B1M中，A1B1M60，A1B18，A1MA1B1sin6043，MA1C1B1A1C1B1A1M753045，A1C146，NC1A1C1A1N46-8，在RtNHC1，C145，N

28、H43-42，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，QB1的最小值为43-4211已知：在ABC外分别以AB，AC为边作AEB与AFC（1）如图1，AEB与AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF以EF为直角边构造RtEFG，且EFFG，连接BG，CG，EC求证：AEFCGF四边形BGCE是平行四边形（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在ABC外分别以AB，AC为斜边作RtAEB与RtAFC，并使FACEAB30，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出EDEF的值及DEF的度数（3）小颖受到启发也

29、做了探究：如图3，在ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使CAF+EAB90，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定EAB时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AEm，ABn，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出EDEF的值，并用含的代数式直接表示DEF的度数（1）证明：如图1中，EFC与AFC都是等腰直角三角形，FAFC，FEFG，AFCEFG90，AFECFG，AFECFG（SAS）AFECFG，AECG，AEFCGF，AEB是等腰直角三角形，AEBE，BEA90，CGBE，EFG是等腰直角三角形，FEGFGE45，AEF+BEG45，C

30、GE+CGF45，BEGCGE，BECG，四边形BECG是平行四边形（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG点D是BC的中点，BDCD，EDBGDC，EBGC，EBDGCD，在RtAEB与RtAFC中，EABFAC30，EBAE=33，FCAF=33，CGAE=FCAF，EBD2+60，DCG2+60，GCF36060（2+60）3360120（2+3）360120（1801）60+1，EAF30+1+3060+1，GCFEAF，CGFAEF，FGFE=FCFA=33，CFGAFE，EFGCFG+EFCAFE+EFC90，tanDEF=FGEF=33，DEF30，FG=1

31、2EG，ED=12EG，EDFG，EDEF=33（3）如图3中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG作EHAB于H，连接FDBDDC，BDECDG，DEDG，CDGBDE（SAS），CGBEAE，DCGDBE+ABC，GCF360DCGACBACF360（+ABC）ACB（90）270（ABC+ACB）270（180BAC）90+BACEAF，EAFGCF（SAS），EFGF，AFECFG，AFCEFG，DEFCAF90，AEH90，AEHDEF，AEm，AH=12AB=12n，EH=AE2-AH2=m2-14n2=4m2-n22，DEDG，EFGF，DFEG，cosDEFcosAEH=

32、EHAE=DEEF=4m2-n22m=4m2-n22m12如图1，直线yx4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-12x2+bx+c经过点B和点C（0，4），ABO沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0t4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME（1）求抛物线的解析式；（2）当tanEMF=43时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的12，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NPFP时，求t的值解：（1）直线yx4与x轴交于点B，与y轴交于点A

33、，B（4，0），A（0，4），把B（4，0），C（0，4）代入y=-12x2+bx+c得到c=4-8+4b+c=0，解得b=1c=4，抛物线的解析式为y=-12x2+x+4（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，由题意得，D（t，t4），则M（t，-12t2+t+4），DM=-12t2+8，在RtMEF中，tanEMF=EFFM=4FM=43，MF3，DFEF4，DM7，-12t2+87，t=2或-2（舍弃）当点M在线段DF上时，DM1，-12t2+81，解得t=14或-14（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为2或14（3）如图2中，过点N作NTy轴于T由题意得D（t，t4），则M（t，-

34、12t2+t+4），N（12t，-18t2+12t+4），T（12t，-14t2+12t+2），F（t，t）NTFM，PNTPFM，NPTMPF，PNPF，NPTFPM（ASA），NTMF，-18t2+12t+4（-14t2+12t+2）=-12t2+t+4t，解得t=455或-455（舍弃），t的值为45513在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC=152，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作

35、PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长解：（1）二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，二次函数的解析式为y=12（x+2）（x4），即y=12x2x4（2）如图甲中，连接OP设P（m，12m2m4）由题意，A（2，0），C（0，4），SPACSAOC+SOPCSAOP，152=1224+124m-122（-12m2+m+4），整理得，m2+2m150，解得m3或5（舍弃），P（3，-52）（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2理由：如图乙中，连接AM，PM，EM

36、，设M（1，t），Pm，12（m+2）（m4），E（m，n）由题意A（2，0），AMPM，32+t2（m1）2+12（m+2）（m4）t2，解得t1+14（m+2）（m4），MEPM，PEAB，t=n+12(m+2)(m-4)2，n2t-12（m+2）（m4）21+14（m+2）（m4）-12（m+2）（m4）2，DE2，另解：PDDEADDB，DE=ADDBPD=(m+2)(4-m)4+m-m2=2，为定值点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE214在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线

37、y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H当点F在直线AD上方的抛物线上，且SEFG=59SOEG时，求m的值；在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，y=-13（x+3）（x4）=-13x2+13x+4；（2）如图1，B（4，0），C（0，4），设BC的解析式为：ykx+b，则4k+b=0b=4，解得k=-1b=4，BC的解析式为：yx+4

38、，x+4=34x+94，解得：x1，E（1，3），M（m，0），且MHx轴，G（m，34m+94），F（m，-13m2+13m+4），SEFG=59SOEG，12FG(xE-xF)=5912OP(xE-xG)，（-13m2+13m+4）（34m+94）（1m）=5994(1-m)，解得：m1=34，m22；存在，由知：E（1，3），四边形EFHP是正方形，FHEF，EFHFHPHPE90，M（m，0），且MHx轴，H（m，m+4），F（m，-13m2+13m+4），分两种情况：i）当3m1时，如图2，点F在EP的左侧，FH（m+4）（-13m2+13m+4）=13m2-43m，EFFH，13m

39、2-43m=1-m，解得：m1=1+132（舍），m2=1-132，H（1-132，7+132），P（1，7+132），ii）当1m4时，点F在PE的右边，如图3，同理得-13m2+43m=m1，解得：m1=1+132，m2=1-132（舍），同理得P（1，7-132）；综上，点P的坐标为：(1，7+132)或(1，7-132)15已知ABC内接于O，ABAC，ABC的平分线与O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与O过点A的切线交于点F，记BAC（1）如图1，若60，直接写出DFDC的值为12；当O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为332-23；（2）如图2，若60，且DFDC=

40、23，DE4，求BE的长解：（1）如图1，连接OA，AD，AF是O的切线，OAF90，ABAC，BAC60，ABC是等边三角形，ABCACBBAC60，BD平分ABC，ABDCBD30，ADBACB60，BAD90，BD是O的直径，OAOBOD，ABOOAB30，OADADO60，BDCBAC60，ADF180606060OAD，OADF，F180OAF90，DAF30，AD2DF，ABDCBD，AD=CD，ADCD，CD2DF，DFDC=12，故答案为：12；O的半径为2，ADOA2，DF1，AOD60，阴影部分的面积为：S梯形AODFS扇形OAD=12AF(DF+OA)-6022360=1

41、23(1+2)-604360=332-23；故答案为：332-23；（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交O于点H，连接DH，则ADH90，DAH+DHA90，AF与O相切，DAH+DAFFAO90，DAFDHA，BD平分ABC，ABDCBD，AD=CD，CADDHADAF，ABAC，ABCACB，四边形ABCD内接于O，ABC+ADC180，ADF+ADC180，ADFABC，ADBACBABC，ADFADB，在ADF和ADE中DAF=DAEAD=ADADF=ADE，ADFADE（ASA），DFDE4，DFDC=23，DC6，DCEABDDBC，CDECDE，CDEBDC，CDDB=DEC

42、D，即6BD=46，BD9，BEDBDE95516问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，再证明BFGBFE，可得出结论，他的结论就是EFAE+CF；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要

43、说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BABC，BAD+BCD180，ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70试求此时两舰艇之间的距离解：问题背景：如图1，延长FC到G，使C

44、GAE，连接BG，先证明BCGBAE，再证明BFGBFE，可得出结论：EFAE+CF；故答案为：EFAE+CF；探究延伸1：上述结论仍然成立，即EFAE+CF，理由如下：如图2，延长FC到G，使CGAE，连接BG，CGAE，BCGA90，BCBA，BCGBAE（SAS），BGBE，ABECBG，ABC2EBF，ABE+CBFEBF，即CBG+CBFEBF，GBFEBF，又BFBF，BFGBFE（SAS），GFEF，即GC+CFEF，AE+CFEF可得出结论：EFAE+CF；探究延伸2：上述结论仍然成立，即EFAE+CF，理由：如图3，延长DC到H，使得CHAE，连接BH，BAD+BCD180，

45、BCH+BCD180，BCHBAE，BABC，CHAE，BCHBAE（SAS），BEHB，ABEHBC，HBEABC，又ABC2MBN，EBFHBF，BFBF，HBFEBF（SAS），EFHFHC+CFAE+CF；实际应用：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，所以AOB140，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，所以EOF70，所以AOB2EOF依题意得，OAOB，A60，B120，所以A+B180，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OAOB，A+B180，AOB2EO

46、F，EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长根据探究延伸2的结论可得：EFAE+BF，根据题意得，AE751.290（海里），BF1001.2120（海里），所以EF90+120210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里17如图1和图2，在ABC中，ABAC，BC8，tanC=34点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程

47、为x，当0 x3及3x9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ扫描APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长解：（1）如图1中，过点A作AHBC于HABAC，AHBC，BHCH4，BC，tanBtanC=AHBH=34，AH3，ABAC=AH2+BH2=32+42=5当点P在BC上时，PABC时，点P到A的最短距离为3（2）如图1中，APQB，PQBC，APQABC，PQ将ABC的面积分成上下4：5，SAPQSABC=（APAB）2=49，APAB=23，AP=103，PM

48、APAM=103-2=43（3）当0 x3时，如图11中，过点P作PJCA交CA的延长线于JPQBC，APAB=PQBC，AQPC，x+25=PQ8，PQ=85（x+2），sinAQPsinC=35，PJPQsinAQP=2425（x+2）当3x9时，如图2中，过点P作PJAC于J同法可得PJPCsinC=35（11x）综上，PJ=2425x+4825(0 x3)-35x+335(3x9)；（4）由题意点P的运动速度=936=14单位长度/秒当3x9时，设点P移动的路程为x，CQyAPCB+BAPAPQ+CPQ，APQB，BAPCPQ，BC，ABPPCQ，ABCP=BPCQ，511-x=x-3

49、y，y=-15（x7）2+165，-150，x7时，y有最大值，最大值=165，AK=94，CK5-94=114165当y=114时，114=-15（x7）2+165，解得x732，点K被扫描到的总时长（114+63）14=23秒18根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题）两个大小不同的正方形相似（真命题）（2）如图1，在四边形A

50、BCD和四边形A1B1C1D1中，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值（1）解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假，假，真（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1BCDB1

51、C1D1，且BCB1C1=CDC1D1，BCDB1C1D1，CDBC1D1B1，C1B1D1CBD，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1，BDB1D1=ABA1B1，ABCA1B1C1，ABDA1B1D1，ABDA1B1D1，ADA1D1=ABA1B1，AA1，ADBA1D1B1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1，ADCA1D1C1，AA1，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2中，四边形ABCD与四边形EFCD相似DEAE=EFAB，EFOE+OF，DEAE=OE+OFAB，EFABCD，DEAD=OEAB，D

52、EAD=OCAC=OFAB，DEAD+DEAD=OEAB+OFAB，2DEAD=DEAE，ADDE+AE，2DE+AE=1AE，2AEDE+AE，AEDE，S2S1=119探究（1）如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，作CM平分ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：线段BD、BE的数量关系为BDBE线段BC、DE的位置关系为BCDE推广：（2）如图，在等腰三角形ABC中，顶角ACB，作CM平分ACB交AB于点M，点D为ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转度得

53、到线段CE，连接DE、BD、BE请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由应用：（3）如图，在等边三角形ABC中，AB4作BM平分ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE当以A、D、M为顶点的三角形与AEF全等时，请直接写出DE的值解：（1）如图中，CACB，ACB90，CM平分ACB，ACMBCM45，ECD90，ECFDCF45，CDCE，CBCB，CBDCBE（SAS），BDBE，CDCE，BC垂直平分线段DE，BCDE故答案为BDCE，BDCE（2）结论：（1）中的结论仍然成立理由：如图中，C

54、ACB，ACB，CM平分ACB，ACMBCM=12，ECD，ECFDCF=12，CDCE，CBCB，CBDCBF（SAS），BDBE，CDCE，BC垂直平分线段DE，BCDE（3）如图中，当AFEAMD时，AFAM，AFDAMD90，ADAD，RtADFRtADM（HL），DAFDAM30，DBADAB30，DADB，DFAB，BDF60，BFAF2，BDBE，BDE是等边三角形，DFEFBFtan30=233，DE2EF=433如图1中，当点D在BM的延长线时，易证AFAM2，DE2DF43如图2中，当EFAMDF时，也满足条件，此时DEBDAB4，综上所述，满足条件的DE的值为433或43

55、或420（1）【操作发现】如图1，将ABC绕点A顺时针旋转60，得到ADE，连接BD，则ABD60度（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形（3）【解决问题】如图3，在边长为7的等边三角形ABC内有一点P，APC90，BPC120，求APC的面积（4）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC4，BC5，ACB30，P为ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC求PA+PB+PC的最小值（1）【操作发现】解：如图1中，连接BDABC绕点A顺时针旋转60，得到ADE，ADAB，DAB60，D

56、AB是等边三角形，ABD60故答案为60（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CDBACPAD60，BAPCAD，ABAC，APAD，PABACD（SAS），BPCD，在PCD中，PD+CDPC，又PAPD，AP+BPPCPA，PB，PC的长为三边必能组成三角形（3）【解决问题】解：如图3中，将APB绕点A按逆时针方向旋转60，得到APC，APP是等边三角形，APCAPB36090120150，PPAP，APPAPP60，PPC90，PPC30，PP=32PC，即AP=32PC，APC90，AP2+PC2AC2，即（32PC）2+PC2（7）

57、2，PC2，AP=3，SAPC=12APPC=1232=3（4）【拓展应用】解：如图4中，将APC绕点C顺时针旋转60，得到EDC，连接PD、BE将APC绕点C顺时针旋转60，得到EDC，APCEDC（旋转的性质），ACPECD，ACEC4，PCD60，ACP+PCBECD+PCB，ECD+PCBACB30，BCEECD+PCB+PCD30+6090，在RtBCE中，BCE90，BC5，CE4，BE=BC2+CE2=52+42=41，即PA+PB+PC的最小值为41；21如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，3）（1）求抛物线的表达

58、式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30得到线段OD过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB直接写出MBN的形状为等边三角形；设MBN的面积为S1，ODB的面积为是S2当S1=23S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BEBN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为（0120）得到线段BF，过点F作FKx轴，交射线BE于点K，KBF的角平分线和KFB的角平分线相交于点G，当BG23时，请直接写出点G的坐标为（6，23）解：（1）抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，3

59、），18+6b+c=0c=-3，解得：b=-52c=-3，抛物线解析式为：y=12x2-52x-3；（2）如图2，过点D作DHOB于H，设MN与x轴交于点R，点B（6，0）和点C（0，3），OC3，OB6，线段OC绕原点O逆时针旋转30得到线段OD，OD3，COD30，BOD60，DHOB，ODH30，OH=12OD=32，DH=3OH=332，BHOBOH=92，tanHBD=HDHB=33292=33，HBD30，点M关于x轴的对称点为点N，BNBM，MBHNBH30，MBN60，BMN是等边三角形，故答案为：等边三角形；ODB的面积S2=12OBDH=126332=932，且S1=23S

60、2，S1=23932=33，BMN是等边三角形，S1=34MN233，MN23，点M关于x轴的对称点为点N，MRNR=3，MNOB，MBH30，BR=3MR3，OR3，点M在第四象限，点M坐标为（3，-3）；（3）如图3中，过点F作FHBG交BG的延长线于H由题意BEBF6，FKOB，ABKFKB60，BG平分FBE，GF平分BFK，FGB120，设GHa，则FG2a，FH=3a，在RtBHF中，FHB90，BF2BH2+FH2，62（23+a）2+（3a）2，解得a=3或23（不符合题意舍弃），FGBG23，GBFGFB30，FBKBFK60，BFK是等边三角形，此时E与K重合，BGKF，K