高考数学一轮复习讲义第七章一元二次不等式与其解法

1、一轮复习讲义一元二次不等式及其解法 忆 一 忆 知 识 要 点忆 一 忆 知 识 要 点忆 一 忆 知 识 要 点一元二次不等式的解法 二次函数与二次不等式一元二次不等式的实际应用09与一元二次不等式有关的恒成立问题1.分式不等式与一元二次不等式的关系:2. 不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题 ax2+bx+c0在R上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立 f(x)min0(xm, n) ax2+bx+c0在R上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立3. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在m, n上的最值(2)若 m, n,

2、则当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).(1)若 m, n, 则 f(x)min= f(x0)=4. 二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题记 f(x)=ax2+bx+c(a0)方程 f(x)=0 有两正根 方程 f(x)=0 有两负根 方程 f(x)=0 有一正根一负根 根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间 内 R原不等式的解集为原不等式的解集为原不等式的解集为开始将原不等式化成一般形式 结束是否是否例1.已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集.解: 由已知得 的两个根，且a0，解得 不等式

3、 即为 即不等式 ax2-bx+c0的解集为【1】若不等式x2+ax+40时，当 a0时，综上, 当a0时，原不等式解集为例4.解关于x的不等式 解:原不等式等价于(1)当a1时,(2)当a1时,当a=0时, 原不等式为(x-2)2 0, 当0a1时, 当a1时, 原不等式解集为当0a1时, 原不等式解集为当 a=0时, 原不等式解集为 ;当 a0的解集为 x|0ax .则关于x的不等式cx2+bx+a0的解集为_ _.则问题转化为mg(x)min解：m-2x2+9x在区间2，3上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.不等

4、式恒成立问题 【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题问题等价于f(x)max0,解：构造函数23y.xo（2）转换求函数的最值例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.不等式恒成立问题则解：构造函数23y.xo例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.（）数形结合思想不等式恒成立问题 【1】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于xR恒成立,则实数m 的取值范围时 .练一练 【2】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于x-1,1恒成立,则实数m 的取值范围是_.练一练 【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于m-1,1恒成立,则实数x 的取值范围是_.练一练 【4】设不等式 mx2-2x- m+10 对于满足|m|2的一切值都恒成立，则实数 x 的取值范围是_.解: 设 f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. 则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2m2时，线段在x轴下方,所以实数 x