浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

1、33浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.直线x+y+l=0的倾斜角是（）A.B.C.D.7C4若直线or+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么。的值等于（）TOC o 1-5 h z12A.1E.C.D.2 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document 332x+3y-30设x,y满足约束条件0A.一15E一9C.1D9圆x2+y2-2x-2y+i=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A.2D.1+2血5.如图,己知A（4,0）.B（0,4）,从点P（2,0）射出的光线

2、经直线AB反射后再射到直线0B上，最后经直线0B反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）C.6D.2/0在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=2,AAi=l,则AG与平面AiBiCiDi所成角的正弦值为（）A,2迈I-7.如图,长方体ABCD-ACft,中,AAl=AB=2,AD=lf点艮化G分别是DDAB.CC,的中点，则异面直线4巨与GF所成角的余弦值是3D.08.已知集合A=(x,y)|x(xl)+y(y1)广,集合B=(x,刃|疋+尸尸,若AB,则实数可以取的一个值是()C.2B.V39.已知圆A/:(x-2)2+(y-3)2=4,ix轴上的点P(xo,O)存在圆M的割线

3、使得PA=AB,则心的取值范围是（）A.-3/3,3/3B.-3近,3近C.2-3皈2+3妁D.2-3血2+3/110.在棱长为1的正方体ABCD-ACfi,中，E为线段的中点，尸是棱G2上的动点，若点P为线段BQ上的动点，则PE+PF的最小值为()C遁2二、填空题直线x-3y+l=0关于直线x+y=0对称的直线方程是如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是8JT，则。=0 xl(、已知P(x,y)满足I则点0(X+y)构成的图形的面枳为0 x+y0),则实数加的取值范围是异面直线成60。角，直线。丄c,则直线b,c所成角的范围是在平面直角坐标系xOy中，A为直线/：y=2x在第一象限内的

4、点，3(5,0),以43为直径的圆C与直线/交于另一点D若AB-CD=0则点4的横坐标为17.在平面直角坐标系xOy中，点4(3,0),直线/：y=2x+4,设圆C的半径为1,圆心C在直线/上，若圆C上存在点M，使MA=2MOf则圆心C的横坐标d的取值范围是三、解答题18.己知圆C:x2+(y-l)2=5,直线l:mx-y+l-2m=0求证:不论?取何实数，直线/与圆C总有两个不同的交点：设直线/与圆C交于点当AB=2y/3时，求直线/的方程.己知菱形ABCD的边长为2,ZABC=120,四边形BDEF是矩形，且昕丄平面AECD，BF=B求证：CF/平面ADE；设济中点为G,求证AG丄平面C尸

5、.2已知以点(tER,tO)为圆心的圆与轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.求证：OAB的面枳为定值；设直线y=2“+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.如图，在三棱柱ABC-AC,中，CC；丄平面ABC,D,E,F,G分别为4人,4C,AC,Bd的中点，且AB=BC=*,AC=2AAl=y/l5.证明：AC丄FG；证明：直线FG与平面BCD相交；求直线疗)与平面BEC；所成角的正弦值.参考答案1.A【解析】【分析】根据直线的斜率k=-l,利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】.直线x+y+l=O化为y=-x-l所以斜率k=-,设直线

6、的倾斜角为a，则tana=1，结合ae0.7r),可得a=上，故选A.4【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题.2.D【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.【详解】因为直线ax+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直，所以axl+2xl=0=a=2,故选：D.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，(1)(Zi|l2AlB2-AlBl=0).(2)丄1,0kk=-l(h丄JOAA,+B?=0),这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘

7、斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.3A【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线Z=2x+y,当直线经过B(6,3)时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义得函数在点B(6,-3)处取得最小值3加=123=15故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.4.B【分析】先求得圆心到直线x-y=2的距离为d二迈，再结合圆的性质，即可得到最人距离为d+1,即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆x2+y2-2x-2y+l=0,可得圆心坐标。(1,1),半径为r=l,则圆心0(1,1)到直线x-y=2

8、的距离为d=卩-1-2|所以圆亍+)&-2x-2y+1=0上的点到直线xy=2的距离最人值是d+1二JI+1故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.D【分析】设点P关于）轴的对称点F，点P关于直线43：x+y-4=0的对称点严,由对称点可求P和P”的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上,光线所经过的路程为【详解】点P关于轴的对称点P坐标是（-2,0）,设点P关于直线43：x+y-4=0的对称点P“（a,b）,故光线所经过的路程

9、尸丹【点睛】=2应，故选D.解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，P（x9y）关于直线/的对称点p伽丿），利用口xk严-且点昔仝，丄y在对称轴/上，列方程组求x-rn22）解即可：（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解【解析】【分析】连接AG，则ZAC,为AG与平面AQCP所成角，在计算出此角的正弦值即可.【详解】连接AC；,在长方体ABCD-Cft,中，:.丄平面ABd,则ZAC为AG与平面所成角,在AAC/中，sinZAC=.=-,故选D

10、.g/1+22+223【点睛】本題主要考查了求线面角，属于中档题.根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想彖能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.D【分析】以DA、DC,Dq所在直线为兀儿乙轴，建立空间直角坐标系，可得刁正和乔的坐标，进而可得cos人GF，从而口J得结论.【详解】则可得A（l,0,2）,E（0,0,l）,G（0,2,l）,F（U,0）,E=(-1,0,-1),GF=(1,1,1)设异面直线与GF所成的角为&,1-lxl+0+(-l)x(-l)贝ijcos0=

11、cosAXE.GF=0,故选D.1V2xV2【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.A【解析】试题分析:4=(x,y)|(x=(兀刃|/+天尸不难分析，A、E分别表示两个圆，要满足JC5,即两圆内切或内含.故圆心距乎环_叩即:onooc呼.显然，山乎2,故选A.考点：本题主要考查集合的包含关系，圆与圆的位置关系.点评：中档题，利用转化与化归思想，将集合的

12、包含关系，转化成圆与圆的位置关系研究,利用圆心距与半径和差的关系，得到解题目的.C【分析】求得圆心M(2,3),厂=2,根据割线定理可得PA-PB=(|PM|+r)(|PM|-r)=一4,再利用|PA|=AB(Xo2)2x4，5=27,从而可得结果【详解】由圆M:(兀一2)+(y3=4，可得圆心M(2,3),厂=2,根据割线定理可得=+”=二ABPB=2AB,=(x2)2+32,.2爾=(x-2)+9-4,化为(Xo_2)=2|AB一5,AB2r=4,/.(x0-2)2/Jd/J，则的取值范围是2-373,2+373,故选c.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质，意在考查综合应用所学知识解决

13、问题的能力，属于难题.A【分析】连接BC,得出点P,E、F在平面BCP中，问题转化为在平面内直线BD上取一点p,求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线BQ到直线CQ,的距离，从而可得结果.连接Bq，则BC、Cl，点P.E、F在平面中,且丄CQGD=XBC严迈,如图1所示,在R怡Bep中，以G2为x轴，C0为y轴，建立平面直角坐标系,如图2所示,图2q(i,o),B(o,E(o，设点E关于直线BD、的对称点为E1，的方程为x+=1,1_/2/2_T直线EE的方程为，=+对称点EPE+PF=PE、PF，最小值为E，到直线CQ的距离为故选A.

14、【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙：二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法.判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.3x-y+l=0【解析】【分析】先求出直线x-3y+l=0与直线x+y=0的交点，再求得（2,1）关于x+y=0的对称的点,利用两点式町得结果.【详解】fx-3y+l=0_4（11）根据题意，由彳门，得即交点为一丁，丁，U+y=01I44丿4丁点（2,1）在直线x3），+1=0上，点（2,1）关于直线x+y=0对称点为（-1-2）,则直线x3y+l=0关于直线x+y

15、=0对称的直线过点（一扌,扌）和（一1，一2），,2丄+2故所求直线方程为斗=4,”+1丄+14即3xy+l=0,故答案为3xy+l=0.【点睛】本题主要考查直线关于直线对称的直线方程，属于中档题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，P（x,y）关于直线/的对称点P（切），利用/X丄二巴x=-i,且点丄y,斗在对称轴/上，列方程组求解即可；（2）直线关于x-mzzJ直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.12.2怎【解析】【分析】由三视图知棱柱的高是2

16、,底面的三角形的高为可表示出三棱柱的底面枳，再由体积公式建立方程求出Q值.【详解】由三视图知棱柱的高是2,底面的三角形的高是a,又正三棱柱的底面是正三角形，故底面三角形的边长为巫a,3故三棱柱的体积是积是丄x仝色“2=8妇，解得=2孙，23故答案为2JT【点睛】本题考查三视图，属基础题：解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.13.2【解析】【分析】/、fOw-v1设点g(w,v

17、),则=可得,动点0的可行域为平行四边形及0m2其内部区域，数形结合求得点e(,v)构成的面积.【详解】x+y=u.y=v9J0 xlQx+y2（.fOM-V0）,只有一个交点，同一坐标系内画出直线与半圆图彖，利用数形结合可得结呆.【详解】画出x2+y2=3（y0）的图彖以及2x+y-m=0的图象，如图，当直线过点4（、/亍,0）,3（-/亍,0）时，加分别为2JJ与-2羽,由图可知，要使直线2x+y-m=0与F+）,=3（y0）有一个交点,一2m0）,加的取值范围是-2石故答案为-2荷,2妇）2/1可.【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重

18、要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图彖以及熟练掌握函数图彖的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线。垂直的直线c，可判定c与b的夹角范围.【详解】如图：所有与。垂直的直线平移到。点组成一个与直线Q垂直的平面久。点是直线0与平面a的交点，作b的平行线，交a于O点，在直线b，上取一点P，作垂线PP丄平面&,交平面a于P,角POP是，与面&的线面夹角为30，在平面&中，所有与OP

19、平行的线与，的夹角都是30，为最小角，在平面Q内所有与OP垂直的线（由于PP垂直于平面a，所以该线垂直与则该线垂直平面OPP,所以该线垂直与沪)与夕的夹角等于90，为最人角，故答案为【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面垂直的判断与性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，考查了转化与划归思想以及数形结合思想的应用，属于难题.【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.(a+5、详解：设A(a,2a)(a0),则由圆心C为中点得C牛,a，易得/丿OC:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,与y=2x联立解得点D的横坐标xD=i

20、,所以(1,2)所以莊=(5_d,_2a),丽=(1竽,2_町，由ABCD=0得（5-a）1-+（-2）（2-）=0,旷一2-3=0,d=3或a=-1,因为a0,所以c/=3.点睛：以向量为载体求相关变屋的取值或范I韦I,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.【分析】设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据MA=2MO,设出M,利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点，进而确定不等式关系求得a的范I制.【详解】圆C的圆心在直线y=

21、2x+4上，所以设圆心C为仏2。+4),则圆C的方程为(X_a)+y_(2a+4)2=1,又|M4|=2|MO|,设出M为(x,y)，可得3)，+才=2yx2+y2化为(x+l+y2=4,设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点,则|2-1|J(a+l)+(2a+4),(5(72+18f/+80rn0,注“一2或虫归故答案为-9+屈5【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、圆的标准方程、转化与划归思想的应用以及圆与圆的位置关系，属于难题.两圆半径为RJ,两圆心间的距离d,比较d与R-r及d与R+r的人小，即可得到两圆的位置关系.18.(1)略；(2)x-y-l=0

22、,x+y-3=0【分析】(1)由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线/的距离d,判断出小于圆的半径，可得直线/与圆C相交，则对wR,直线/与圆C总有两个不同的交点，得证；(2)由直线/与圆C交于两点为圆C的弦，根据垂径定理得到弦长的一半，圆的半径及眩心距d构成直角三角形，利用勾股定理列出关于川方程，求出方程的解得到加的值，确定出直线/的方程，进而求出直线/的倾斜角.【详解】(1)圆C的圆心坐标为(0,1),半径为|？0-11+1-2加|12/7?I厂厂/圆心c到直细的距离力如+(二殒亍屁仅E)，即d/5直线/与圆C相交，则对7wR，直线/与圆C总有两个不同的

23、交点,./?=Vid=-L43|=2x/J,yjnr+1根据垂径定理及勾股定理得：即3=5-4/?2m2+1整理得:讦=1，解得m=l,则直线/的方程为x-y-l=0,x+y-3=0.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及待定系数法求直线的方程，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的人小关系(求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系)；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.19.(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】先证明平面BCF/平面ADE,由CF在平面FCF内，结合线面平行的定义

24、可得结论;由等腰三角形的性质可得4G丄尸，由勾股定理可得4G丄CG,利用线面垂直的判断定理可得结果.【详解】(1)证明：BC/AD,BFIIDE二平面BCF平面ADE=CF平面ADE(2)证明：因为中点为G,则由AF=AEAG丄尸,且计算可得：AG=CG=f6又AC=2羽,所以，AG2+CG2=AC2=AG丄CG,又EFcCG=G,所以4G丄平面CF.【点睛】本题主要考查线面平行的判定、线面垂直的判定，属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，町利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、

25、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.(1)证明见解析(2)圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5【分析】24(1)先求出圆C的方程(x-t)2+(y-)2=r2+,再求出|oa|,|ob|的长，即得tt-21的面枳为定值；(2)根据一=t得到t=2或t=-2,再对t分类讨论得到圆C的方程.t2【详解】4(1)证明：因为圆C过原点O,所以O口=卢+戸.设圆C的方程是(x-t)2+(y-)2=/2+-,tr4令X=0,得Vl=o,?2=:令y=o,得%i=o,x2=2z,所以Soab=OAOB=X|2f|X|1=4,22t即厶OAB