三角函数与解三角形

1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。第四章三角函数与解三角形一基础题组1.【2016高考上海理数】方程3sinx1cos2x在区间0,2上的解为_.5【答案】，66【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.【2016高考上海理数】已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】733【解析】试题分析：由已知可设a3,b5,c7，a2b2c21cosC2ab，2sinC3，Rc7322sinC

2、3【考点】正弦、余弦定理【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.3.【2016高考上海理数】设a,bR,c0,2.若对任意实数都有2sin3xasinbxc，3则满足条件的有序实数组a,b,c的组数为.【答案】4【解析】试题分析：1word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。当a2时，sin(3x2)5，(b,c)5)sin(3xsin(3x

3、)(3,)，又33433sin(3xsin(3xsin(3x40,2)，所以只)，(b,c)(3,)，注意到c3333有2组：，5,42时，同理可得出满足题意的a,b,c也有2组：(23,)(2，3,)满足题意；当a323(2，3,(2，3,),)，故共有4组.33【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到b,c的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.4.【2016高考上海文数】若函数f(x)4sinxacosx的最大值为5

4、，则常数a_.【答案】3【考点】三角函数yAsin(x)的图象和性质.【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到yAsin(x)，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.5.【2016高考上海文数】设aR，b0,2.若对任意实数x都有sin(3x)=sin(axb)，则满足3条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】试题分析：sin(3x2)sin(3x5(3,5)sin(3x3)，(a,b)，33443又sin(3xsin(3xsin(3x(3,)，(a,b)，3333注意到b0,2)，只有

5、这两组故选B【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定2word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。得到a,b的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6.【2015高考上海理数】已知函数fxsinx若存在x1，x2，xm满足0 x1x2xm6，且fx1fx2fx2fx3fxn1fxn12（m2，m），则m的最小值为【答案】【解析】因为fxsinx，所以fxmfxnf(x)maxf(x)min2，因此要使得满足条件fx1f

6、x2fx2fx3fxn1fxn12的m最小，须取x10,x2,x33,x4579116,即m8.22,x5,x6,x7,x82222【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.7.【2015高考上海文数】已知点A的坐标为(43,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，3则点B的纵坐标为（）.A.33B.5322C.11D.1322【答案】D3word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距

7、离公式.【名师点睛】设直线OA的倾斜角为，B(m,n)(m0,n0)，则kOAtan，kOBtan()，3再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.8.【2014上海，理1】函数y12cos2(2x)的最小正周期是.【答案】22【解析】由题意ycos4x，T42【考点】三角函数的周期.9.【2014上海,文7】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】arccos1.3【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意rl3r2，即l3r，母线与底面夹角为，则cosr1为，arccos1.l3

8、3【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.10.【2014上海,文12】方程sinx3cosx1在区间0,2上的所有解的和等于.【答案】73【考点】解三角方程.11.【2013上海,理4】已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a22ab3b23c20，则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示)【答案】arccos13【解析】3a22ab3b23c20c2a2b22ab，故cosC1，Carccos1.33312.【2013上海,理11】若cosxcosysinxsiny1，sin2xsin2y2，则sin(xy)_.234word格式支持编辑，如有帮助支持。

9、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。【答案】23【解析】cos(xy)1，sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)2，故sin(xy)2.23313.【2013上海,文5】已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2abb2c20，则角C的大小是_【答案】23222cosCa2b2c21C2.【解析】aabbc02ab2314.【2013上海,文9】若coscossinxsiny1，则cos(2x2)_.xy3y【答案】79【解析】cosxcosysinxsinycos(xy)1cos2(xy)2cos2(xy)17.3915.【20

10、12上海,理16】在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可知a2b2c2，a2b2c2从而cosC2ab0，C为钝角，故该三角形为钝角三角形16.【2012上海,文4】若d(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)1【答案】arctan2【解析】设直线l的倾斜角为，则tan1，2所以arctan1.217.【2011上海,理6】在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米【答案】65word格式支持编辑

11、，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。【解析】【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_3【答案】3【解析】19.【2011上海,文4】函数y2sinxcosx的最大值为_【答案】5【解析】20.【2010上海,理18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1，1，1，则13115此人能答（）（A）不能作出这样的三角形.（B）作出一个锐角三角形.（C）作出一个直角三角形.(D)作出一个钝角三角形.【答案】D【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则

12、需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.21.【2010上海,文18】若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。【答案】C【解析】设三角形的三边长分别为a，b，c，由正弦定理知，abc51113，设a5t，b11t，c13t.a2b2(5t)2(11t)2146t2，而c2(13t)2169t2，a2b2c2，C为钝角，即ABC为钝角三角形22.(2009

13、上海,理6)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是_.【答案】12【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin(2x)1,4所以y的最小值为12.23.(2009上海,文13)已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列an满足an(,),22且公差d0.若f(a1)+f(a2)+f(a27)=0,则当k=_时,f(ak)=0.【答案】14【解析】函数f(x)=sinx+tanx,x(,)是奇函数,且在给定的定义域上单调递增.在等差数列22an中,若满足a1+a27=0(d0),则f(a1)+f(a27)=0.由等差数列的性质易得f(a1)+f

14、(a27)=f(a2)+f(a26)=f(a13)+f(a15)=0,所以f(a14)=0,此时k=14.24.【2008上海,理6】函数f(x)3sinx+sin(2+x)的最大值是.【2008上海,理10】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.7word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，

15、已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。26.【2007上海,理6】函数fxsinxsinx的最小正周期是T_3227.【2007上海,理11】已知圆的方程x22.直线y11，P为圆上任意一点（不包括原点）OP的倾斜角为弧度，OPd，则df的图象大致为_28.【2007上海,理17】在三角形ABC中，a2,C,cosB25，求三角形ABC的面积S。4258word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。29.【2007上海,文4】函数ysecx?cosx的最小正周期T.2【答案】【解析】30.【2006上海,理6】如果co

16、s1，且是第四象限的角，那么cos()52【答案】265【解析】如果cos1，且是第四象限的角，sin26)sin=，那么cos(5526531.【2006上海,理8】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，5），则OAB的面36积是【答案】5【解析】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，5），AOB=27=5，所以145sin53666OAB的面积是S52632.【2006上海,理17】（本题满分12分）求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域和最小正周期44【答案】2,2,9word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支

17、持编辑，如有帮助支持。33.【2006上海,文6】函数ysinxcosx的最小正周期是_.【答案】【解析】函数ysinxcosx=1sin2x，它的最小正周期是.234.【2005上海,理9】在ABC中，若A120，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=_.【答案】1534【解析】由余弦定理AB2BC2AC22BCACcos120解的AC=3，因此ABC的面积S1AC153ABsin1202435.【2005上海,文5】函数ycos2xsinxcosx的最小正周期T=_.【答案】【解析】ycos2xsinxcosxcos2x1sin2x5sin(2x)，得最小正周期为22【解后反思】三角函数的

18、变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.36.【2005上海,文6】若cos10,，则cos=_.，372【答案】1114【解析】0,，sin1(1)243，277coscoscossinsin11.33314【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.10word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。37.【2005上海,文10】在ABC中，若A120，AB=5，BC=7，则AC=_.【答案】153438.【2005上海,文11

19、】函数f(x)sinx2|sinx|,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_.【答案】1k3【解析】f(x)3sinx,x0,sinx,x,2从图象可以看出直线yk有且仅有两个不同的交点时,1k3二能力题组39.【2017高考上海，11】设1,2112，则1012的R，且2sin2sin122最小值等于.【答案】4【解析】由1sin1可得12sin3，则：111sin21由1sin221可得12sin223，则：1sin222则1212,2，2sin1sin223结合题意可得：111，则：2sin2sin2121,1，3,1，sin11,12kkZ，且：sin221,

20、2kkZ，2411word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。据此有：1012102k12k24，其中k1,k2Z，整理可得：1012432k1k2k1,k2Z，4不妨取k12,k27，此时1012取得最小值4.注：k1,k2的取法不唯一，只要满足2k1k211即可.40.【2013上海,理21】已知函数f(x)2sin()，其中常数0.x(1)若yf(x)在4,2上单调递增，求的取值范围；3(2)令2，将函数yf(x)的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像区间a，(，R，且a)满足：y(x)在a，上

21、至少含有30个零点在所有满足babbgb上述条件的a，b中，求ba的最小值【答案】(1)03;(2)4343【解析】(1)因为函数yf(x)在,2上单调递增，且0，43所以2，且，2324所以03.4(2)f(x)2sin2x，将yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y2sin2(x)1的图像，所66以g(x)2sin2(x)1.6令g(x)0，得xk5或xk3(kZ)，12412word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。所以两个相邻零点之间的距离为或2.3若ba最小，则a和b都是零点，此时在区间a，a，a,2

22、a，a，ma(mN*)上分别恰有3,5，2m1个零点，所以在区间a,14a上恰有29个零点，从而在区间(14a，b上至少有一零点，所以ba14.3另一方面，在区间5,1435上恰有30个零点，1212因此，ba的最小值为1443.3341.【2010上海,理19】（本题满分12分）已知0 x，化简：2x)lglg(cosxtanx12sin22cos(x)lg(1sin2x).24【答案】0【解析】cosxtanx12sin2xcosxsinxcos(2x)sinxcosx，2cosx22cos(x)2(2cosx2sinx)sinxcosx，1sin2x(sinxcosx)2，422原式lg

23、(sinxcosx)(sinxcosx)lg10.(sinxcosx)2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的余弦、对数的概念和运算法则等基础知识，同时考查基本运算能力.42.(2009上海,文20)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,C=,求ABC的面积.3【答案】(1)参考解析;(2)313word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。解:由题意可知

24、mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理,可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去).S1absinC14sin3.22343.【2008上海,理17】(13)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）14word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支

25、持编辑，如有帮助支持。【2008上海,文18】（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分分已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos2x，直线xt(tR)6与函数f(x)，g(x)的图象分别交于M、N两点（1）当t时，求MN的值；415word格式支持编辑，如有帮助支持。word2MNt0，213;2321MNsin2cos2.24461cos23.5322sin2cos233ttsin2tcos2tMN622.83sin2.11t6t0,2t6,13266MN3.1545.2006,1812A20B3010Cos120=700.BC,BC

26、=20+10,BC=107.16word文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。sinACBsin120,sin=3,20107ACB7ACB90ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.46.【2006上海,文17】（本题满分12分）5sin4已知是第一象限的角，且，求的值.cos413cos2【答案】13214sin()2(cossin)2(cossin)【解析】cos(24=22sin2214)cos2cos22cossin由已知可得sin12,1321132原式=51214.21313三拔高题组47.【2015高考上海理数】（本题满分14分）

27、本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是C，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设tt1时乙到达C地.（1）求与ft1的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当t1t1时，求ft的表达式，并判断ft在t1,1上得最大值是否超过？说明理由.17word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。3325t242t18,3t7【答案】（1）t1，ft1

28、41（2）f(t)88不超过.885t,75t18，【解析】解：（1）t138记乙到C时甲所在地为D，则D15千米8在CD中，CD2C2D22CDcos，所以ft1CD341（千米）.8（2）甲到达用时小时；乙到达C用时3小时，从到总用时7小时3788当t1t时，88ft78t22278t55t425t242t18；55t5当7t1时，ft55t.825t242t18,3t7所以f(t)5t,788.5t18因为ft在3,7上的最大值是f3341，ft在7,1上的最大值是f75，所以8888888ft在3,1上的最大值是341，不超过.88【考点定位】余弦定理【名师点睛】解三角形时，有时可用正

29、弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18word格式支持编辑，如有帮助支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助支持。48.【2014上海,理21】本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38