控制系统数学模型课件

1、课程回顾1. 自动控制的一般概念 基本控制方式 控制系统的基本组成 控制系统的分类 对控制系统的要求2. 要求掌握的知识点 负反馈控制系统的特点及原理 由系统工作原理图绘制方框图自动控制原理课程的任务与体系结构第二章 控制系统的数学模型时域模型微分方程复域模型传递函数频域模型频率特性函数本课讨论的物理系统为单输入单输出的线性定常系统2.1 引言数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建模方法：1.解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的规律列写相应的运动方程2.实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性2

2、.2 控制系统的时域数学模型线性定常系统微分方程的一般形式一、线性元件的微分方程例1 RLC串联电路一、线性元件的微分方程例2电枢控制式直流电动机电枢回路： 电枢反电势： 电磁力矩： 力矩平衡： 电机时间常数电机传递系数一、线性元件的微分方程例3 弹簧阻尼器系统一、线性元件的微分方程消去中间变量可得：例4 X-Y 记录仪二、非线性微分方程的线性化取一次近似，且令 即有 例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数二、非线性微分方程的线性化解. 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 例4 某

3、容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量 变化，试导出 h 关于 Qr 的线性化方程。三、线性定常微分方程求解四、拉普拉斯变化1.拉氏变换的定义2.常见函数的拉氏变换（1）阶跃函数像原像四、拉普拉斯变化（2）指数函数四、拉普拉斯变化（3）正弦函数四、拉普拉斯变化3.拉氏变换的性质：（1）线性性质（2）滞后定理 证明： 令四、拉普拉斯变化例1解：四、拉普拉斯变化（3）微分定理 证明：零初始条件：四、拉普拉斯变化例2 解：例3解：四、拉普拉斯变化（4）积分定理零初始条件下：四、拉普拉斯变化例4 Lt=? 解：例5解：四

4、、拉普拉斯变化（5）复位移定理令证明：例6四、拉普拉斯变化例7四、拉普拉斯变化（6）初值定理证明：微分定理四、拉普拉斯变化（7）终值定理证明：四、拉普拉斯变化（2）单位阶跃常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数四、拉普拉斯变化4.用拉氏变换的方法解微分方程：四、拉普拉斯变化0 初条件nm: 特征根（极点）: 相对于 的模态五、拉普拉斯反变化拉氏反变换公式部分分式法例1 已知，求解.五、拉普拉斯反变化用留数法分解部分分式一般有其中：设I. 当 无重根时五、拉普拉斯反变化例2 已知，求解.例3 已知，求解.五、拉普拉斯反变化例4 已知，

5、求解一.解二：五、拉普拉斯反变化II. 当 有重根时(设 为m重根，其余为单根)五、拉普拉斯反变化五、拉普拉斯反变化例5 已知，求解.线性定常微分方程求解例6 R-C 电路计算影响系统相应的因素(1) 输入 u r (t)(2) 初始条件(3) 系统的结构参数 规定 r(t) = 1(t) 规定0 初始条件 自身特性决定系统性能2.3 控制系统的复域数学模型传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数： 首1标准型： 尾1标准型： 传递函数的标准形式例7 已知将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解.首

6、1标准型尾1标准型增益传递函数的性质G(s)是复函数；G(s)只与系统自身的结构参数有关；G(s)与系统微分方程直接关联；G(s) = L k(t) ；G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。传递函数的性质例8 已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为：试求（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。解.（1） (2) (4) 如图所示(3) (5) (6) （2） 系统的增益；（3）

7、 系统的特征根及相应的模态（4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应；（6） 求系统微分方程；（7）其中初条件引起的自由响应部分（7）当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t)，求系统响应。传递函数的局限性原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；适合于描述单输入/单输出系统；只能用于表示线性定常系统。传递函数例1 系统如图，被控对象微分方程为求系统传递函数 。解. (1) 求G0(s) (2)由运放 传递函数整理得 常用控制元件的传递函数电位计电桥式误差角检测器测速发电机（交流，直流）电枢控制式直流电动机电位器电桥式误差角(位置)检测器测速发电机 电枢控制式

8、直流电动机 典型环节比例环节微分环节积分环节惯性环节振荡环节一阶复合微分环节二阶复合微分环节 常用控制元件的传函不同的元部件可以有相同的传递函数；若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数 ；任一传递函数都可看作典型环节的组合。控制系统的数学模型2.4控制系统的结构图及其等效变换 结构图的组成及绘制结构图的绘制反馈口：例1 X-Y 记录仪放大器：电动机：减速器：绳 轮：电 桥：测速机：结构图的绘制结构图等效变化及化简环节串联结构图等效变化及化简环节并联结构图等效变化及化简反馈等效结构图的绘制电磁力矩：电枢反电势：电枢回路：力矩平衡：例2 电枢控制式直流电动机直流电动机结构图结构图等效

9、变化及化简结构图等效变化及化简比较点、引出点的移动结构图等效变化及化简比较点前移结构图等效变化及化简比较点后移结构图等效变化及化简引出点前移结构图等效变化及化简引出点后移结构图等效变化及化简比较点、引出点换位结构图等效变化及化简例3结构图等效变化及化简例4结构图等效变化及化简例5结构图等效变化及化简结构图等效变化及化简例6结构图等效变化及化简例72.5信号流图信号流图与结构图的对应关系信号流图 ： 结构图： 源节点 输入信号 阱节点 输出信号 混合节点 比较点，引出点 支路 环节 支路增益 环节传递函数 前向通路 回路 互不接触回路结构图与信号流图转换结构图与信号流图转换rea1a2a3a4c梅森（Mason）增益公式Mason公式: 特征式 前向通路的条数 第k条前向通路的总增益 所有不同回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和 第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回 路去除，剩余回路构成的子特征式例1例2求传函C(s)/R(s) 例3例4例52.6闭环系统的传递函数闭环系统的结构图2.6闭环系统的传递函数闭环系统的结构图2.6闭环系统的传递函数闭环