优质课一等奖选修第二讲参数方程

1、优质课一等奖选修第二讲参数方程圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？M如图,以原点为圆心,分别以a, b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A, B均在角的终边上，由三角函数的定义有:yNMxON 这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。 常数a、b分

2、别是椭圆的长半轴长和短半轴长。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为|OA|cosacos，|OB|sinbsinOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程: x2+y2=r2的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程:是AOX=, 不是MOX=.称为点M的离心角 小 结 椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：离心角一般地： 在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. ab练习 把以下普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把以下参数方程化为普通方程 练习 O是坐标原点，P是椭圆 上离心角为-/6所对应的点，那么直线

3、OP的倾角的正切值是 . 解：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是: xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为 例1、如图，在椭圆 上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小. 例1、如图，在椭圆 上求一点M，(1)使M到直线 l ：x+2y-10=0的距离最小. 例1、已知椭圆 上点M(x, y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值； 例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线 l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：分析2：分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点

4、即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。 练习 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大. 例4 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是S、L当且仅当时，此时存在。 例6 取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 例5 四边形ABCD内接于椭圆 其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于

5、椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。 例7 已知点A在椭圆 上运动，点B(0, 9)、点M在线段AB上，且 ,试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B(0, 9), 设A(),并且设M(x, y)(是参数)消去参数得动点M的轨迹的参数方程是: 例6 椭圆 与x轴的正向相交于点A, O为坐标原点, 若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解:设椭圆上的点P的坐标是(0且), A(a, 0)而OPAP， （舍去），因为所以可转化为解得于是B设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin练习: 1 取一切实数时，连接 A(4sin,6

6、cos)和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段( )B双曲线的参数方程ABBOyxM A以原点O为圆心, a, b(a0, b0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点, 作直线OA,过A作圆C1的切线AA与x交于点A,过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B。过点A, B分别作y轴, x轴的平行线AM, BM交于点M,设OA与OX所成角为(0, 2),/2,3/2)求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。研究双曲线的参数方程 ABBOyxM Abaoxy)MBA事实上(t 是参数, t 0)化为普通方

7、程, 画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2y2=1上点的最小距离。不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线MA的方程为 解得点A的横坐标为 平行四边形MAOB的面积为 由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关说明： 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同. 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.例3 例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a, 0), 弦AB Ox，弦A

8、B对A1张直角，同理对A2也张直角MOyxBA 例5 已知双曲线， A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将 代入上式,(A，B相异)， 例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。抛物线的参数方程MFOYXA前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 显然，当在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物

9、线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程. 因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得由方程 (为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程. 如果令则有（t为参数） (为参数) 当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当 时， （t为参数） 就表示整条抛物线参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数C练习 例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？ 练习 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1内有解； 3 A, B, C是抛物线 y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.练习 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点