2022年任意角的三角函数教案

1、任意角的三角函数教案 一、教材分析“ 任意角的三角函数” 是人民训练出版社（A 版）一般高中标准试验教科书数学必修4 第一章其次节的内容,是第一章“ 任意角和弧度制” 的后继内容；1、主要教学内容：1、任意角三角函数（正 弦、余弦、正切）的定 义 ;任意角的三角函数 2、公式一 : sin k 2 sin 利用单位圆懂得 cos k 2 cos学问结构图：tan k 2 tan3、三种三角函数的定义 域和函数值在各象限的 符号；2、教材的位置与作用：“ 任意角的三角函数” 是高中数学特别重要的内容,本节是三角函数第一章其次节第一课时,主要学习任意三角函数的定义,它是这一章也是整个三角函数部分的

2、重要基础学问,在教材内容结构上起到一个承上启下的作用,对三角函数的整体学习也至关重要；同时它又为平面对量、解析几何等内容的学习作必要的预备；最终对任意角的三角函数的探究过程中,使同学经受了观看、归纳、推理、沟通、反思等理性思维过程,培育了同学的思维方式,提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的才能,帮助同学更加深化懂得函数这一基本概念,为以后的学习奠定了扎实的基础；所以这个内容要仔细探讨教材,细心设计过程；二、学情分析1、学问基础： 在中学时,同学已经学了“ 锐角三角函数” 为本节懂得三角函数的几何意义有帮忙,以及在本章第一节“ 任意角与弧度制” 的内容中同学用坐标不仅找出来任意角与象限角,而

3、且仍明白了它们的含义与性质,对角的范畴和表示方法有所明白,学习了弧度制,同学能够把以前所学过的角度都在弧度制下表示出来；2、才能基础：高一同学已初步具有抽象规律思维才能,相对于中学同学来说已经相对成熟,能在老师的引导下独立的解决问题；3、习惯情形 ：班级同学基础学问较扎实、思维较活跃,能较好的应用数形结合解决问题,但处理抽象问题的才能仍有待进一步提高；三、教学重难点1、重点： 任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判定法；终边相同角的诱导公式（一） ；2、难点： 从函数角度懂得以实数为自变量的任意角的三角函数,以及单位圆、有向线段的应用；四、教学目标1、学问与技能目标：借助单位圆懂得任意角

4、三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；知道三角函数是讨论一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系,正弦、余弦和正切都是以角为 自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2、渗透数学的思想方法：同学的积极参加,亲身经受,通过观看,利用几何画板让同同学们进一步懂得任意 角在坐标系中的几何样貌,体验坐标的优越性,数形结合思想的运用；老师引导同学回忆中学锐角三角函数的学问内容,提出猜想,运用几何画板,验

5、证 任意角的几何性质,提出单位圆的思想,感受运算机科技工具的快捷便利性,培育同学利 用多媒体解决问题的方法；推导任意角的三角函数的过程类似于数学建模的过程,它贯穿明白析几何的始终,通过适当的建立坐标系与构造单位圆的方法,回忆以往三角函数的性质带入坐标系中,让 同学有一种回忆旧知的习惯；总结规律,把握方法,为后面三角函数的诱导公式等学习提 供示范；3、情感态度与价值观：通过培育同学主动探究、合作沟通的过程,加强了同学团队协作意识,感受探究的乐 趣和胜利的欢乐；养成实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；激发同学的学习爱好、增强数学应用和创新意识,体会数学的美感,熟悉数学的科学 价值、应用价值和文化价

6、值；应用多媒体、几何画板等教学,提高同学的活跃性,让学问具有科学依据；五、教学教法1、教法： 数学是集抽象与实践为一体的重要学科,因此在教学过程中,不仅要使学 生“ 知其然” 仍要使同学“ 知其所以然” ；考虑到同学的现状,主要实行“ 温故知新,逐 步拓展” 的形式让同学真正参加到教学,在学习中,得到体验；通过复习锐角三角函数的 定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内 容,进展新学问,从而激起同学探求新知的欲望,调动同学参加学习的积极性；教学中运 用多媒体工具提高直观性增强趣味性,并留意用新课程理念处理传统教材,使同学在学习 活动自主探究、动手实践、合作沟

7、通,老师发挥引导者、合作者的作用,引导同学主动参与、揭示本质、经受过程、收成成果；主要以“ 老师主导、同学主体” 的原就,采纳“学“ 启示、引导发觉式” 教学方法组织教学；2、学法： 在教学过程中,要充分调动同学的积极性和主动性,让同学从机械的答” 向“ 学问” 转变,从“ 学会” 向“ 会学” 转变,成为真正的学习的主人；这节课在指 导同学的学习方法和培育同学的学习才能方面主要实行以下方法：分析归纳法、自主探究 法、总结反思法；同时同学具备肯定的自学才能,教学中通过同学对已把握的学问进行拓展, 既培育同学从现有学问探究新学问的才能 识；六、教学预备 1、常规媒体（黑板）；3、“ 几何画板”

8、、 ppt 课件制作；, 又提高了同学解决问题的数学思想与数学意（为了加强同学对三角函数定义的懂得,帮忙同学克服在懂得定义过程中可能遇到的障 碍,本节课预备在运算机的支持下,利用几何画板动态地讨论任意角与其终边和单位圆交 点坐标的关系,构建有利于同学建立概念的“ 多元联系表示” 的教学情境,使同学能够更 好地数形结合地进行思维；）七、 教学程序1、设立情形、引入课题A、提问形式 ：上节课已经学习了角的推广,我们推广到了任意角,那么任意角给你 留下印象最深的是什么？（猜测答案：1、一个角可以表示出许多个角 补充：这些角就是在直角坐标系中与它 终边相同的角,也就是相差 360 度整数倍是吧 ；2、

9、角度可以是正角、负角、零角；3、能够用角度表示它对应的弧长 是吧,这样一个角就可以弧度数来表示它 补充：那么这个就是用弧度制来度量4、假如把角放在直角坐标系中,当它终边一圈一圈转时,可以观察一种 周而复始的现象 演示几何画板：以原点为顶点,x 轴非负半轴为始点,围着顶点转动,角 周而复始的现象,补充：其实最关键的是这个角是由旋转生成的 ）转动 引入：任意角 圆周运动 函数？任意角的三角函数 让同学举出实例 多媒体展现图片 （圆周运动时生活一个特别重要的运动,函数是数学当中用来刻画客观世界变化规律的一 个数学模型,那就产生了这样一个问题：任意角的这种圆周运动应当用什么样的函数来刻 画它呢？）2、

10、启示诱导,探究新知A、【启示诱导】：在中学我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为 自变量,以比值为函数值的函数；上节课老师给大家布置了一个课后作业就是 去复习锐角三角函数的定义,中学学的三角函数是在什么图形中定义的？（直 角三角形）,那么现在我们的角放在直角坐标系里面,我们要定义三角函数是 不是同样需要一个直角三角形？B、【同学探究】： 现在同学们结合所学的学问在纸上用直角坐标系来表示出锐 角三角函数,老师等一下要抽同学来展现自己的成果；（抽同学将成果贴在黑 板上,并讲解自己的思路；）rx2y2（总结补充：设锐角的顶点与原点O重合,始边以x 轴的非负半轴重合,那么它的终边在第一象限,在

11、的终边上任取一点Px,y,它与原点的距离OPrx2y20,依据siny,cosx,tany；）中学学过的三角函数我们有：rrx（1）锐角三角函数定义：A、【老师启示】：【问题 1】这个就是锐角三角函数,它反映的是直角三角形中边角的关系,那么 锐角三角函数它是不是真的函数呢？从高中函数定义这个角度你能不能说明一下呢？（猜测回答1：siny是函数,由于每一个y 都有唯独的x 与之对应（那这就涉r及到一个问题了：这里自变量是（ ）谁是函数值呢（y）y（猜测同学订正：函数值应当是r）【问题 2】 那么依据高中函数的定义你怎么来说明它就是函数？（猜测答案 2：y 取一个值时都有唯独的与之对应 ）y（猜测

12、同学订正：应当是取定一个y值,有唯独的r与它对应的 ）B、【老师总结】：任取定y唯独确定的（那么只要满意这样一个关系就是一r个函数是吧,于是cosx tan r同理）x2 、单位圆思想：y A、【老师启示】 ：（任取 ,r这个比值是唯独确定,那这个比值是不是和P 点的位置有关呢（是的）这个比值是随着P 点的变化而变化吗？那我角给定的情形下会不会转变它的比值呢？（不会） ,为什么（由于角给定了,sin 是定的全部比值是不变的）（几何画板播放）当角给定时, P 在终边上运动,坐标变化,但是比值不变,这是为什么y呢？依据是什么（相像）,所以有了相像的比可以保证我们的r这个比值并不是随着终边y上点的位

13、置变化而变化的,只要角给定了这个比值也是给定了的；既然 r 这个比值与点在终边上的位置无关,那这个点可以在终边上位置随便取吧（可以）,那么一般我们取什么地方比较好呢（r=1 ）,那 r=1 时有什么好处？是不是直接可以写出：ysinr sin ycos x r 1cos xrtanx y tan yx那么此时 x、y 对应的几何含义是什么？假如把 x、y 看成一个点 Px,y 这个点是一个怎样的点？ B 、【老师总结】 ：Px,y 是单位圆与角终边的交点；当角是锐角时,就可以得到一个结论siny,cosx ,tanyx, 找到了这个边和角的关系；（3）、利用单位圆与锐角三角函数的定义,定义任意

14、角的三角函数： A 、【老师引导】 ：而且我们发觉当是锐角的时候,siny就是一个函数,是以角r为自变量, y 为函数值得一个函数,那我们能不能用它来刻画整个圆周运动呢？刚才呢角是锐角的时候,我们找到了这些量之间的关系,那假如这个角是钝角呢？这个关系仍有没有呢？ （几何画板） 我把它变为钝角,大家发觉钝角现在不好放在直角三角形中了,但是给你一个角是不是依旧有一个x、y 与它对应啊？（是） ,那假如我把它变成第三象限角,是不是仍旧有个 x、y 与它对应啊？（是） ,也就是无论角怎么转变,那么就有一个结论,任给一个角都有一唯独的 x、y 与它对应是吧（是） ,利用之前锐角三角函数的定义,那同样我们

15、也可以说明,就把这个y 叫做 的正弦, x 就叫它的余弦：任意角三角函数定义：设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点;Px,y,那么： 1y叫做的正弦,记做sin,即siny ; 2x叫做的余弦,记做cos,即cosx; 3 y叫做的正切,记做tan,即tanyxx那么这三个以角为自变量,以坐标或者坐标的比值为函数值的函数,我们就把它称 作是任意角的三角函数；那么从函数的角度分析一下,函数应当有个三要素,那这些函数的定义域是什么 呢？（猜测答案：由于它是任意角,全部它的定义域应当是,）也就是实数R；那tany中R 吗？y是个比值,全部x 0）那也就是说对点P 的位置x（r有要求是吧（ OP不能

16、与 x 轴垂直）也就是角不能落在y 轴上,那么对角也应当是有条件的 k ,kZ,可以看出,当kkZ时, 的终边在 y 轴上,这2 =2y时点 P 的横坐标 x 等于 0,所以 tan =r 无意义； B 、【 老师总结】：任意角三角函数定义：设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px ,y,那么：1 y 叫做的正弦,记做sin,即siny ,其中R ;R ;Z；2x叫做的余弦,记做cos,即cosx,其中3 y叫做的正切,记做tan,即tany,xx其中R 且k ,k2对于确定的 ,上述三个值都是唯独确定的,所以正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,所

17、以我们将它们统称为三角函数；由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数； 3 、随堂练习,巩固新知例 1（1）、任给一个角,“ 口算” 它的三角函数值： 协作几何画板解决问题 p 的坐标sin270o1 cos3 （1）tan4（2）假如角 的正弦值为sin =-1, 你能写出其中的一个角吗？（270 度,应为sin =y=-1 就是单位圆与Y 轴的交点在y 轴的负半轴上,所以点为（ -1 、0）所以角 的终边是 y 轴的负半轴, =270 度）推广： 其实仍有没有啊（有 ）许多许多,能不能表示啊？3 2 k （k R）就是 = 2（那为什么他们的正弦值

18、都为-1 呢,（由于他们的终边都相同,都是 y 轴的负半轴）那对于任意的角 ,只要与它终边相同的角的正弦值都相同吗？（几何画板演示）,我们就可以表示为：sin 2 k sin,那么对于余弦值,正切值也一样吗（几何画板演示）；总结结论： 由三角函数定义,可以知道终边相同的角的同一三角函数的值相等sin 2 k sin ,cos 2 k cos , 公式一 tan 2 k tan , 其中 k Z .（由公式一可知,三角函数值有“ 周而复始” 变化规律,即角 的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复显现,所以利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0 到2 （或 0360 度）角的三角函数值

19、； ）探究（ p13）符号判定,形象记忆那么刚刚所给的角都是特别的角,假如我任取一个角,如391.11度,那这个角有些特点仍是可以把握的,比如说,这个角终边现在这里,那么这个角的正弦值、余弦值、正切值的符号你能确定吗？依据什么来确定呢？（象限）为什么依据象限就可以判定它的符号呢？假设这个点在第一象限呢？（猜测答案：由于在第一象限,x 、 y 的值都是正的,于是比值也是正的,而：siny,cosx ,tany,所以这个角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其实根x据坐标的符号就可以肯定三角函数值得符号有没有道理啊？（有）那么总结不同象限的函数值,依据终边所在位置总结出形象的识记口诀y ：x y y

20、x x （同好得正、异号得负）sin = y/r：上正下负横为 0 cos =x/r ：左负右正纵为 0 tan =y/x ：交叉正负（设计意图：判定三角函数值的正负符号,是本章教材的一项重要的学问、技能要求 . 要引导同学抓住定义、数形结合判定和记忆三角函数值的正负符号,并总结出形象的识记口诀,这也是懂得和记忆的关键 变式练习：. ）现在我们就应用这个道理大家算算看：例 2、不求值你是否能判定以下三角函数值的符号？sin50503cos4 tan11y）56例 3、已知角 的终边过点P1,22,求 的正弦、余弦、正切值？（几何画板）（由于 r=1 所以可以看做是单位圆与 的终边的交点那么si

21、ny ,cosx ,tanx（那么通过刚才的这些例题,就是为了巩固三角函数定义的熟悉）4、形成测试,评判回授 摸索题： 一个质点从点（1、0）动身,在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,如经过弧长为 x,试用 x 表示质点所在位置P 点的坐标；（协作几何画板质点运动讲解）（这样来看,三角函数的确能够很好的表示圆周运动是吧）课堂练习（ p15 题 3）填表：角 （角090180270360度）角 （弧 度）sin cos tan 处理：要求取点用定义求解,针对运算过程提问、点评,懂得巩固定义；强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角,如0、 /2、 、3 /2等,今后常常用到轴线角的三角函数值,要结合三

22、角函数定义记熟这些值；（设计意图：准时支配自学例题、自做教材练习题,一般性与特别性相结合,进行适 量的变式练习,以巩固和加深对三角函数概念的懂得,通过课堂积极主动的练习活动进行 思维训练,把“ 培育同学分析解决问题的才能” 贯穿在每一节课的课堂教学始终；）5、小结（1）利用单位圆定义三角函数的定义：锐角三角函数与解直角三角形直接相关,中学我们是利用直角三角形边的比值来表 示其锐角的三角函数通过今日的学习,我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数 的推广,但它与解三角形已经没有什么关系了我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数,借助直角坐标系中的单位圆,我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关 系,进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数你能再回忆一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？师生活动： 在同学给出定义之后,老师进一