优秀垂径定理

1、优秀垂径定理 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 创设情境：由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?探究：探究： 如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?OABCDE线段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD已知：在O中，CD是直径，AB是弦， CDAB，垂足为E求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连结

2、OA、OB，则OAOB 垂直于弦AB的直径CD所在的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是 O的对称轴 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， AE和BE重合， AC、AD分别和BC、BD重合 AEBE，ACBC，ADBD叠合法DOABEC垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CDAB CD是直径， AE=BE, AC =BC,AD =BD.OABCDE归纳：教师提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.以下图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：垂径定理的几个根本图形：CD过圆心CDAB于

3、EAE=BEAC=BCAD=BD巩固：1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，那么以下结论中不成立的是 A、COE=DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BCOABECD2、如图，OEAB于E，假设O的半径为10cm,OE=6cm,那么AB= cm。OABE解：连接OA， OEAB AB=2AE=16cm3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。OABE解：过点O作OEAB于E，连接OA即O的半径为5cm.4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。OABECD解：连接OA， CD是直径，OEAB AE=1

4、/2 AB=5设OA=x，那么OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13 OA=13 CD=2OA=26即直径CD的长为26.练习1:在圆O中，直径CEAB于 D，OD=4 ，弦AC= ， 求圆O的半径。例1：如图，圆O的弦AB8 ，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。反思：在 O中，若 O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO反思：在 O中，若 O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC

5、于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形. 3.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。4.如图，AB是O的弦，OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，那么AB= ；OABC30854DF 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?ABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，那么D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.， 解得m即主桥拱半径约为27.9m.垂径定理的应用例2如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂