高等数学期末考试试卷及答案

1、第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 50页 南昌大学 20072008学年第一学期期末考试试卷及答案 试卷编号： ( A )卷课程编号： T55010001 课程名称： 高等数学(). (上) 考试形式： 闭卷 适用班级： 07级理工科 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 2008.1.15.下午 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分15151614141412 100得分考生注意事项：1、本试卷共 7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 得

2、分评阅人 1. 设 在处连续，则常数 。2. 设存在，则 。3. 函数 的极小值等于 ，单调增加区间为 。4. 设是可导函数，则 。第 PAGE 9 页 共 NUMPAGES 50页单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 是函数 的( )。(A) 可去间断点； （B）无穷间断点； （C）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。2设函数 则（ ）.（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。3函数 在区间 上 （ ）。（A）满足罗尔定理条件，但无法求； （B）满足罗尔定理条件，且； （C）不满足罗尔定理条件；（D）不满足罗尔定理条件，但有能满足此定理的结论。4 在积分曲线族 中，过点的曲线方程是（

3、 ）。（A） ； （B） ；（C） ； （D） 。5 已知，则（ ）。（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1已知 求常数.2求极限 .四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分）设 求.求由方程 所确定的隐函数 在处的导数.五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）计算由参数方程 所确定的函数的二阶导数.2求不定积分.六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）求不定积分.计算定积分七、解下列各题 (共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)1. 设 其中为连续函数, 求. 2. 设不

4、恒等于常数的函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且, 证明在内至少存在一点, 使得.南昌大学 20072008学年第一学期期末考试高等数学()试卷(A卷)答案及评分标准1 = 2. 3. , 4.1.B; 2.A; 3.C; 4.C; 5A.三1. 解: 2分 5分. 6分 故 8分2. 解: 原式 2分 4分 6分 8分四、 1. 解: 5分 7分2.解: 方程两边同时对求导, 有 3分当时, 从原方程得 5分代入上式得: 7分五.1.解: 3分 5分故 7分2.解: 原式 2分 4分 7分六、解: 2分. 5分 7分解: 为偶函数, 为奇函数, 所以 2分 4分 6分 7分七、解: 根

5、据洛必达法则和为连续函数, 有 4分 7分证明: 不恒等于常数, 且, 所以至少存在一点 使得. 2分不妨设, 在上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点 使得 4分又若 , 则在上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点 使得 证毕. 5分南昌大学 20082009学年第一学期期末考试试卷及答案 试卷编号： ( A )卷课程编号： T55010001 课程名称： 高等数学(). (上) 考试形式： 闭卷 适用班级： 08级理工科 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 2009.1.6.上午 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分15151614141412 10

6、0得分考生注意事项：1、本试卷共 7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每个空 3 分，共 15 分) 得分评阅人 1. 设的定义域是,则函数的定义域是 。2. 。3. 设为可导函数, 则 。4. 若点是曲线的拐点, 则 , 。PAGE 2PAGE 50二.单项选择题 (每小题3分,共15分)得分评阅人 1. 下列函数在其定义域内连续的是( )。(A) （B） (C) (D) 2曲线在横坐标为1的点处的切线方程是（ ）。(A) ； (B) ；（C） ； （D） 。3在区间上满足拉格朗日中值定理条件的函

7、数是 ( )。（A） ； (B) ； （C） ； (D) 。4 曲线的凹区间是（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）没有凹区间。5函数是可微函数且由方程所确定,则 ( )。（A） ； （B） ； (C) ； （D）。三、求下列极限（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1 。2 。四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分）设, 求。2设 求 。五、求下列不定积分（共2小题，每小题 7分，共 14 分）1. 。2. 。六、计算题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）1.计算定积分。2.(应用题) 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成怎样的长

8、方形才能使这间小屋的面积最大？ 七、解下列各题（共2小题，第1小题7分，第2小题5分,共12分） .1. 讨论函数 在处的连续性与可导性。2. 设函数在上连续, 在内可导, 且,.证明：必存在，使。 南昌大学 20082009学年第一学期期末考试答案 填空题 1. 。2. 。3. 。4. , 二、单项选择题 1. ( B )。2（ A ）。3 ( A )。4（ A ）.5( D )。三、求下列极限1 解: 原式 2分 6分 8分2 解: 由洛必达法则有原式 6分 8分四、求下列导数1. 解: 8分2解: . 2分. 4分. 5分. 7分五、求下列不定积分1.解: 原式 2分 5分 7分2. 解

9、: 原式 2分 5分 7分六、计算题1.解: 原式 3分 5分 . 7分2.解: 如图所示. 设这间小屋的宽为,长为, 则小屋的面积为. 已知 , 即 . 2分则 3分 令 , 得驻点 . 5分由 知 为极大值点, 又驻点唯一, 故极大值点就是最大值点. 6分 因此当宽为5m, 长为10m时, 这间小屋的面积最大. 7分七、解下列各题 .1. 解: 2分而 , 在处连续. 4分又 6分.故在处可导. 72. 证明: 在上连续, 在上连续,且在上必有最大值和最小值, 于是 2分故 . 3分由介值定理知,至少存在一点,使. 4分,且 在 上连续,在内可导,由罗尔定理知,必存在,使 . 证毕. 5分

10、南昌大学 20092010学年第一学期期末考试试卷填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设函数，则它的定义域为 。2. 设，则它在上满足拉格朗日中值定理的结论中的 。3. 设，则 。4. 设存在，则 。5. 曲线的凹区间为 .单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设，则在处的（ ）.（A）左导数存在，右导数存在 （B）左导数存在，右导数不存在（C）左导数不存在，右导数存在 （D）左导数不存在，右导数不存在2设，则是（ D ）.(A)可去间断点 (B)无穷间断点 (C)振荡间断点 (D)跳跃间断点3设在上连续，则下列论断不正确的是（ ）(A) 是的一个原函数 (B) 在上，是的一个原函

11、数 (C) 在上，是的一个原函数 (D) 在上可积4设函数的导函数图形如下图所示，则（ ）. (A) 是的驻点，但不是极值点 (B) 不是的极值点(C) 是的极小值点 (D) 是的极大值点5设，则（ ）(A) 0 (B) 1 (C) (D) 三、计算题（共7小题，每小题 7分，共 49 分）1求极限.2设，求. 3设，求，.4设是由方程所确定的隐函数，求. 5设且，求. 令 6求不定积分. 7设，计算. 四、解答题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1、求由参数方程所确定的隐函数的一阶导数.及二阶导数. 2、设在上连续且，求. 五、证明题（ 5 分） 设，若在上连续，在内可导且，证明：.南

12、昌大学 20092010学年第一学期期末考试答案填空题 1. 2. 。3. 。4. 。5. .单项选择题 1. （ B ）.2（ D ）.3（ A ）4（ C ）.5（ C 三、计算题1解: 原式= 2解: 3解: 即 又4解: 方程两边同时对求导, 有： 当时, 从原方程得 代入上式得: 5 则： 又 所以故 即6解: 原式 7解: 令, 则 由于 四、解答题1、解: 2、解: 令, 故 即 五、证明题证明： 证法一： 证法二：因为又在上连续，在内可导，所以由拉格朗日中值定理可知，有，其中所以当时，且，所以 ，即 .南昌大学 20102011学年第一学期期末考试试卷填空题(每空 3 分，共

13、15 分) 1. 设，且，则 2. 。3. 反常积分 。4. 极限 。5. 设，则 .单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 若和都为可导函数，则（ ）.（A） （B）（C） （D）2设，当时，是比的（ ） （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小（C）等价无穷小 （D）非等价的同阶无穷小3设在上连续，则在上至少有一点，使得（ ） （A） （B）（C） （D）4设函数 ，在内（ ）（A）不满足拉格朗日定理条件； （B）满足拉格朗日定理条件且；（C）满足拉格朗日定理条件，但无法求出； （D）不满足拉格朗日定理条件，但有满足中值定理的结论。5设函数，则是的（ ）（A）连续点 （B）可去间断点 （C）

14、跳跃间断点 （D）振荡间断点三、计算题（一）（每小题 8分，共 24分）1求极限.2计算不定积分 3计算定积分 四、计算题（二）（每小题 8分，共 16 分）1求由方程所确定的隐函数的导数. 2设求：. 五、解答题（每小题 8分，共 16 分）1确定的值，使点是曲线的拐点，并求该曲线在点处的切线方程2设函数，求该函数的单调区间和极值3.某房地产公司有50套公寓要出租当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用试问房租定为多少可获得最大收入?七、证明题（本题满分8分）设可导，证明：的两个零点之间一定有的零

15、点 南昌大学 20102011学年第一学期期末考试试卷及答案一填空题 1. 2. 。3. 。4. 。5. .二单项选择题 1. （ D ）.2（ D ） 3 （ C ） 4（ B ）5（ C ）三、计算题（一）1.解: 原式= 2 解: 令则，原式 （或写成 ） 3 解: 原式 四、计算题（二）1解: 2 解: 五、解答题1 解: ， 由题意可知：， ， 又 故所求的切线方程为： 即： 2 解: 函数的定义域为： 令 ，得驻点： 当时， 当时， 所以：单调增区间为：， 单调减区间为： 极小值为： 3.解: 设房租为每月元，则 租出去的房子有：套。每月总收入为： 令，得唯一驻点：由于为极大值。且

16、为最大值。故每月每套租金为3500元时，收入最高。最高收入为（元）六、证明题证明: 设，为的两个零点，令，则，由可导，知可导。且由罗尔定理知：存在或，使得：. 即：由于 也即：的两个零点之间一定有的零点 南昌大学 20112012学年第一学期期末考试试卷填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设则。 2. 若在处连续，则=。3. 。4. 设在处可导，且，则 。5. 设，则 。单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设为（ ）.（A） （B） （C） （D）2设，时，是比的（ ） （A）高阶无穷小 （B）非等价的同阶无穷小（C）等价无穷小 （D）低阶无穷小3若，则必有（ ）（A）在点连续；

17、 （B）在点有定义；（C）在的某去心邻域内有定义； （D）4若，则（ ）（A）， （B），（C）， （D），5设为的一个原函数，则为（ ）（A） （B）（C） （D）三、计算题（每小题 6分，共30分）1求极限2求极限 3计算4计算 5.计算四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1设可微函数由方程确定，求和2设 五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1求曲线的凹凸区间及拐点2设函数，求该函数的单调区间和极值 六、证明题（本题满分8分）设，在上连续，证明：至少存在一个，使得：南昌大学 20112012学年第一学期期末考试试卷及答案填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 2. =。 3.

18、。4. 。 5. .单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. （ A ）. 2（ B ） 3（ C ） 4（ C ） 5（ D ）三、计算题（每小题 6分，共30分）1求极限解: ；2求极限解: 又原式=1；3计算解: 令，则，；4计算 解: 5计算解: ；四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1设可微函数由方程确定，求和解: 方程两边求导为所以； 2设解: ；五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1求曲线的凹凸区间及拐点解: ， 令，又在处二阶导数不存在，当时，所以的图形在上是凹的， 当时，所以的图形在上是凸的， 当时，所以的图形在上是凹的， 所以凹区间为，；凸区间为拐点为和。 2设函

19、数，求该函数的单调区间和极值解: ，由当或时，所以函数在和上单调递减，当时， 所以函数在上单调递增，所以函数在处有极小值。六、证明题（本题满分8分）设，在上连续， 证明：至少存在一个，使得： 证明：设， 则在上可导，且，又，所以由罗尔定理可知，使，即 也即南昌大学 20122013学年第一学期期末考试试卷填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数在区间是连续的.。 2. 设，则。3. 函数的极大值点为。4. 设,则= 。5. 曲线在处的切线方程为。单项选择题 (每小题3分,共15分)1、设，下列命题正确的是 （ ）A、若,则一定连续； B、若，则；C、若，则； D、若，则.2、已知（ ）

20、A、 B、 C、 D、.3、在处（ ） A、不连续； B、连续但不可导；C、可导，但导函数在该点不连续； D、导函数在该点连续.4、若反常积分收敛， 则（ ）A、； B、； C、； D、.5、若, ，则当时与是 （ ）A、高阶无穷小 B、低阶无穷小 C、等价无穷小 D、非等价的同阶无穷小.三、计算题（每小题 7分，共35分）1、求下列极限 2、求下列不定积分或定积分 四、解答题（每小题 7分，共 14 分）1、设，求. 2、由方程可确定函数，求.五、应用题（每小题 7分，共 14分）1、求曲线的拐点和凹、凸的区间.2、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.六、证明题（本题满分7分）设在上连续且

21、满足，证明存在使得.南昌大学 20122013学年第一学期期末考试试卷及答案填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 。 2. 。 3. 。4. 。 5. 单项选择题 (每小题3分,共15分)1、（B ） 2、（ D ） 3、（ B ） 4、（ A ） 5、 （ D ）三、计算题（每小题 7分，共35分）1求极限: 解: 解: 2、求下列不定积分或定积分解: 解: 解: 令，则， 当， =四、解答题（每小题 7分，共 14分）1、设，求. 解: 方程两边求导为当时 当时，所以，2、由方程可确定函数， 求.解: 在方程两边对求导 五、应用题（每小题 7分，共 14分）1、求曲线的拐点和凹、凸的

22、区间.解: 1、， 令0+0凸 凹凸凸区间，；凹区间 拐点和2、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.解: 如图所示 B A六、证明题（本题满分7分）设在上连续且满足，证明存在使得.证明：证法一： 令，则所以令，则在上可导且，又，由罗尔定理可知使，即：.证法二：令，则所以，由积分中值定理可知使南昌大学 20132014学年第一学期期末考试试卷填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数 的定义域是 。2. 设函数 则 。3. 函数的单调增加区间是 。4. _。5. 。单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 当时，曲线 （ ）。（A）有且仅有铅直渐近线. （B）有且仅有水平渐近线.（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线. （D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线.2. 当时，是 的（ ）。（A） 高阶无穷小. （B） 低阶无穷小.（C） 等价无穷小. （D） 同阶但非等价无穷小.3. 曲线在点处的切线方程为（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 4. 曲线的上凸区间是（ ）。(A) . (B) . (C) . (D) 没有凸区间.5. （ ）。(A) . (B) . (C) .