离散4同余关系

1、主要内容：同态同构的性质同余关系置换性质同余关系定义与同态映射间的联系商代数定义17.2 同态与同构 2.同态同构的性质(3)定理7.2.3 设h是从A=到A=的同态映射， 则h(A)=是A的子代数，称为A关于h的同态象。证明： h是从A到A的同态映射 h(S)是S的非空子集且 iN(1in), b1,bnih(S), (其中：ni为*i的阶） 有a1,aniS, 使h(a1)=b1,h(ani)=bni *i(b1,bni)=*i(h(a1),h(ani) =h(*i(a1,ani)h是从A到A的同态映射h(S) h(S)关于*i封闭(1in)故 h(A)=是A的子代数。27.2 同态与同构

2、 2.同态同构的性质(4)定理7.2.4 设h是A=到A=的满同态,+是二元运算,则(1)若是可交换的，则也是可交换的；(2)若是可结合的，则也是可结合的；(3)若关于+可分配，则关于也是可分配的；(4)若e是关于的单位元，则h(e)是关于的单位元；(5)若z是关于的零元，则h(z)是关于的零元；(6)若aS关于可逆，则h(a)关于也可逆，且h(a)-1=h(a-1)；证明(1)：b1,b2S, h是A到A的满同态 有a1,a2S使h(a1)=b1,h(a2)=b2 b1b2=h(a1)h(a2)=h(a1a2)=h(a2a1)=h(a2)h(a1)=b2b1 可交换。满同态可保持运算性质;同

3、构的代数系统具有相同性质.P150 证明37.3 同余关系(1)定义： A=为代数系统，R是S上的等价关系，(1)对于运算*i,如果a1,b1,a2,b2,ani,bniS (其中：ni为*i的阶） akRbk,k=1,ni*i(a1,ani)R*i(b1,bni),称R关于*i具有置换性质；(2)若R关于*i(1in),具有置换性质，则称R为A上的同余关系。例1:模m同余关系m：i,jI,imj iff m|(i-j),是上的同余关系。证明：m是I上的等价关系，且 i1,j1,i2,j2I, 如果i1mj1,i2mj2，则 m|(i1-j1),m|(i2-j2)即：有p1,p2 I使i1-j

4、1=p1m，i2-j2=p2m (i1+i2)-(j1+j2)=(i1-j1)+(i2-j2)=p1m+p2m=(p1+p2)m (i1i2)-(j1j2)=(p1m+j1)(p2m+j2)-(j1j2)=p1p2m2+j2p1m+j1p2m=(p1p2m+j2p1+j1p2)m (i1+i2)m(j1+j2)且(i1i2)m(j1j2)所以，它是上的同余关系。m关于+,具有置换性质，47.3 同余关系(2)例2：定义I上的关系R：i,jI, iRj iff |i|=|j|, 则 R是上的同余关系,但不是上的同余关系。证明(1) R是自反的即 iRi iI，均有|i|=|i|(2) R是对称的

5、 i,jI，如果iRj, 则|i|=|j|因此有|j|=|i|jRi(3) R是传递的 i,j,kI，如果iRj且jRk,则|i|=|j|且|j|=|k|此时有|i|=|k| iRk R是I上的等价关系 i1,j1,i2,j2I, (4) R关于具有置换性质,但关于+不具有置换性质如果i1Rj1且i2Rj2，则 |i1|=|j1|且|i2|=|j2| |i1i2|=|i1|i2|=|j1|j2|=|j1j2| (i1i2)R(j1j2) 但 i1Rj1且i2Rj2(i1+i2)R(j1+j2)请同学举例说明之置换性质与运算有关R是不是上的同余关系?57.3 同余关系(3)与同态映射间的联系定理

6、7.3.1 设h是从A=到A=的同态映射， 定义由h诱导的S上的二元关系Rh：x,yS,xRhy iff h(x)=h(y), 则Rh是A上的同余关系。证明(1) 易证Rh是S上的等价关系; (2) iN(1in), a1,b1, ani,bniS, (其中：ni为*i的阶） 若akRhbk,k=1,ni，则h(ak)=h(bk),k=1,ni， h(*i(a1,ani)=*i(h(a1),h(ani)=*i(h(b1),h(bni)=h(*i(b1,bni)故(*i(a1 , ani)Rh(*i(b1 , bni) Rh是A上的同余关系.67.4 商代数与积代数 1. 商代数(1)定义：设R为代数系统A=上的同余关系， 称 A/R=为A关于R的商代数。 其中：*i(a1R,aniR)=*i(a1,ani)R 例: m是A=上的同余关系， A/m=,其中：I/m=0m,m-1m, :im,jmI/m, imjm=i+jm, :im,jmI/m, imjm=ijm, 若m=2,则 A/2=,其中:I/2=02,12, 02=,-4,-2,0,2,4, 12=,-3,-1,1,3