中考数学复习专题21：特殊的平行四边形(含中考真题)

1、第 页共36页专题21特殊的平行四边形蹟解读考点知识点名师点晴矩形1.矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题.2.矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1.正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2.正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形

2、进行判断，并能对自己的猜想进行证明晴2年中考【2015年题组】下列命题是假命题的是（）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.【答案】D.【解析】试题分析：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形规是判定四边形芮平行四边形的基本方法，故该命题正确$3.对甬线互相平分的四边形为平行四边形，若对角线再相等则詞矩形，拒形的对角线再垂直时为正方形，故该命题正稱,C.平行四边形的对角线若相等则为矩形是判定四边形为矩形的常见方法故该命题正确i3.对角线互相垂直的平彳亍四边形是菱形，不能是任意四边形，故该命题错误；故

3、选二.考点：1.正方形的判定；2.平行四边形的判定；3.菱形的判定；4.矩形的判定.）已知四边形ABCD,下列说法正确的是（）当AD=BC,AB#DC时，四边形ABCD是平行四边形当AD=BC,AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形当AC=BD,AC平分BD时，四边形ABCD是矩形当AC=BD,AC丄BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B.【解析】试题分析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，A不正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B正确；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，c不正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D不正确；故选B.考点：1.平行四边形的判定；2.矩

4、形的判定；3.正方形的判定.3.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于（）A.1个B.2个A.3.5B.4C.7D.14【答案】A.【解析】试题分析：菱形ABCD的周长为28,AB=28v4=7,OB=OD，VE为AD边中点，OE11是厶ABD的中位线，OE=2AB=2x7=3.5.故选A.考点：菱形的性质.4.如图，G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点，且AG=CE,AE丄EF,AE=EF,1现有如下结论：BE=2GE；AGEAECF；ZFCD=45:厶GBEECHC.3个D.4个【答案】B.【解析】试题分析：丁四边形是正方形

5、,.Z5=ZJC5=o：j,AB=BC?-：AG=CE?：.3G=BE?由勾股定理得:BE=y二错误,3G=BEfZ3=QCi、.Z5Gi=ZG=45,.ZG=1S45；.ZGAE=AFEC?在&适和匕矿中；AG=CE?GAE=ZCEF?AE=EF?.AG2AC5,.正确j：.AGEZECF/.ZFCZ13SS-=45.正确；3GE=BEG=A；厶丄?：.FEC2015的边长是：（）：M4-故选D.考点：1.正方形的性质；2.规律型；3.综合题.10.如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm,ZABC=60。，贝V四边形EFGH的面积为cm2.【答案】9込【解析】试题

6、分析：连接AC,BD,相交于点0,如图所示，TE、F、G、H分别是菱形四边上的中11点，.EH=2BD=FG,EHBDFG,EF=2AC=HG,四边形EHGF是平行四边形，T菱形ABCD中，AC丄BD,EF丄EH,四边形EFGH是矩形，T四边形ABCD是菱形，1ZABC=60,AZABO=30,TAC丄BD,ZAOB=90,.A0=2AB=3,.AC=6，在1RtAOB中，由勾股定理得：OB=PAB2%=九3，.:bd=6、3，丁EH=2BD,1_EF=2AC,AEH=3,EF=3,矩形EFGH的面积=EFFG=9-=厶ENT/酬凸/5曲及密=9勞+6附=1黄。、型FE、厶韶二乙空,Z3ED=

7、ADAE-15=45,故答案为：45.考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质.15.城港）如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1，点P,Q分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是.9【答案】2【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E,点A关于DC的对称点A,连接AE,四边形AEPQ的周长最小，TAD=AQ=3,BE=BE1,.AA6,AE4.TDQAE，,D1是AA的中点，：DQ是厶AAE的中位线，DQ=2AE2；CQ=DC-CQ=3-2=1,VBPBPBEBP13o333AA,.BEPsAAEA

8、,AAAE，即64,BP=2,CP=BC-BP=2=211S四边形AEPQ=S正方形ABCD-SADQ-SPCQ-SBEP=9-2ADDQ-2CQCP-1131399BEBP=9-2x3x2-2x1x2-2x1x2=2，故答案为：2A，考点：1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质.16.在直角坐标系中，直线yX+1与y轴交于点A,按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2.,A1、A2、A3在直线yX+1上，点C1、C2、C3在x轴上,SSSSS图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为S1、S2、S3、Sn，则Sn的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）.【答案】

9、2n-3试题分析：T直线y=x+1,当E时门=1,当尸0时1,：.OA=,处D4尸忙i/-|445=45I，u4-=j4Sj=11i5i=x1x1=耳22T卫:昂=丄迢：=1,.总C=2打二屯=同理得；缶G=42.j(2:)2=21故答案为：22n-3考点：1.一次函数图象上点的坐标特征；2.正方形的性质；3.规律型；4.综合题.17.尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1.AB与直线1的夹角为30,延长CB1交直线1于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线1于点A2,作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线1于点A3，作正方形A3B3C3D4，依此规律，则A2014A201

10、5=.【答案】2山3）2014试題分析；T四边形占是正方形站=討占八2时御茁讥为匚上虫祖=3歼=鬲=75血=7,.卫遇j=iB尸朽剧風=2ABMH?:.ZQEZHBU,在Rtd占甘与紀氐HFE中，；Q瓦店衣,.A羽坐AHFZ；:.HFAP由勾股定理得，叫麻2+AB上J4J12口O丁盯是弱的垂直平分线石灵酣二2価仙1乙斑Q=EQ伽1厶血羽2伍從丄二爼卫-,由（1）知，丹旦互FG.57=5?=45,123考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.综合题.19.)如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.求证：AG=CE；求证：AG丄CE.D.厂【答案】(

11、1)证明见试题解析；(2)证明见试题解析.【解析】试题分析：(1)由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB,ZABC=ZGBE=90,BG=BE,得出ZABG=ZCBE,从而得到厶ABGCBE，即可得到结论；(2)由厶ABGCBE，得出ZBAG=ZBCE，由ZBAG+ZAMB=90，对顶角ZAMB=ZCMN，得出ZBCE+ZCMN=90。，证出ZCNM=90即可.试题解析：(1)丁四边形ABCD、BEFG均为正方形,AAB=CB，ZABC=ZGBE=90,BG=BE,.ZABG=ZCBE,在ABG和CBE中,VAB=CB,ZABG=ZCBE,BG=BE,.ABGCBE(SAS),AG=C

12、E；(2)如图所示：ABGCBE,ZBAG=ZBCE,VZABC=90,.ZBAG+ZAMB=90,TZAMB=ZCMN,.ZBCE+ZCMN=90,ZCNM=90,AGICE.D.口考点：1.全等三角形的判定与性质；2.正方形的性质.20.已知锐角ABC中，边BC长为12,高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.求AK的值；设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式，并求S的最大值；(2)若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在AABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边

13、长.3【答案】(1)2S二3x(8-x)224240S的最大值是24；(2)5或49【解析】试题分析：由瓦口加二可得,所=,据此求岀比的值即可.ADBCAKADAKEF3由Ei求出JX=S-x,再由=-,求出EF的值然后根据距形的面积公式求出3与；v的国数AK1关系式,利用配方法求出S的最大值是多少即可根据题意设正方形的边长対们分两种情况；当正方形也胚;的两个顶点在处边上时当正方形Pg：的两个顶点在価或M边上时分类讨论求出正方形PQ-Q的边长各是备少即可.AK_EF试题解析：(1)EFBC,.ADBCEF_BC123EF3Z.AKAD=H=2，即AK的值是2TOC o 1-5 h zf3*L、

14、L、fiJiJ.El?:.XD=EH=x，丄3：=匚,:.EF=-.y)；S=EHEF=匚城需一p,即-2K二二J二当*4时，5的最大值是 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document S-j14(H设正方形的边长为4当正方形卩輕：的两个顶点在边上时；一=-,解得二ja1j2当正方形的两个顶点在AB或AC边上时，：AB=AC,AD13C,r.BD=CD=U2=6?A3=AC=y/.lDDD=f=lj?:.AS或AC.边上的高等于：卫.妬=1A1D=4S54S4S=4010综上，可得正方形PQ注的边长是-二49考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数

15、的最值；3.矩形的性质；4.正方形的性质；5.分类讨论；6.综合题；7.压轴题.21.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD于F.(1)PC=PE；求ZCPE的度数；如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ZABC=120。时，连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.圏1【答案】(1)证明见试题解析；(2)90；(3)AP=CE.【解析】试题分析：(1)先证出ABP9ACBP,得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；由厶ABPCBP，得到ZBAP=ZBCP，进而得到ZDAP=ZDCP，由PA=

16、PC，得至UZDAP=ZE，ZDCP=ZE，最后ZCPF=ZEDF=90得到结论；借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.试題解析：在正方形朋少中站甘GABP=CBP=A;在厶站卩和価P中:AB=BC?ZPB=PB,3)，二阳孔，丫凶二班，：P.180-俨曲。乙DFE乙E,即ZCPF=厶Dm”j(:)在正方形ABCD中,AB=3Cf厶吐乙CBPV、在厶密P和ACBF中：AB=BC,Z.P=ZCBPPS=PS,.BPACBP(汀)，：.R4=PC?ZB=ZBCP?RPE?:.PC=PZ?:.Z.DAPZ.DCP,：PAC?,-.ZMP二G,上DCP二饭：CFPZIFD对顶角相等.ISO0-Z.

17、PFC-ZCF=180-OFF-心,即EC町二/也疔二-厶少=1戏广-二,.AIPC是等边三角形八.耳匸隹,/.jp=Ce.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质；4.探究型；5.综合题；6.压轴题.【2014年题组】1.)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(11A.nB.n-1C.（4）n-1D.4n【答案】B.【解析】11试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的4，即是4x4=1,5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1x4,n个这样的正方形重叠部分（阴影部

18、分）的面积和为：1x（n-1）=n-1.故选B.考点：1.正方形的性质2.全等三角形的判定与性质.TOC o 1-5 h z2省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为（）A.1B.C.D.2【答案】C.【解析】试題分析：如團，连接左心T况垂直平分酣，：曲=比（线段垂直平分线的性质）又旦互是卫的中点，空，4此,故EC=1利用勾股走理可得AB=CD=击故选C.考点：1.勾股定理；2.线段垂直平分线的性质；3.矩形的性质.3.聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上，连接BE,DF,E

19、F,BD.若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC,则边BC的长为（）973A.23B.3C.6込D.2【答案】B.【解析】试题分析：四边形ABCD是矩形，ZA=90，即BAIBF,T四边形BEDF是菱形，BO.BE=cos30。.EF丄BD,ZEBO=ZDBF,AB=BO=3,ZABE=ZEBO,.ZABE=ZEBD=ZDBC=30。,.BF=BE=23,VEF=AE+FC,AE=CF,EO=FO/.CF=AE3,BC=BF+CF=3P3，故选B.考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质.4来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】B.【解

20、析】试题分析：TGF是中巨，左曰ED,同理，EFilAC,G日3U,吕亠：卫刘FG,EFII贝I四边形壬心是平行四边形.又：上匚丄二丁丄瓦匚二平行四边形云刊丑f是矩形.故选B.考点：1.正方形的判定；2.三角形中位线定理；3.菱形的性质.5.铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分ZBAF交BC于点E,且DE丄AF,垂足为点M,BE=3,AE=2空6，则MF的长是（）15B.10C.1PF,.PF2PE.故错误.由翻折可知EF丄PB,AZEBQ=ZEFB=30.ABE=2EQ,EF=2BE.FQ=3EQ.故错误.由翻折的性质，ZEFB=ZBFP=30,ZBFP=30+30=

21、60.?ZPBF=90-ZEBQ=90-30=60,AZPBF=ZPFB=60.PBF是等边三角形.故正确；综上所述，结论正确的是.故选D.考点：1.矩形的性质；2.含30度角直角三角形的判定和性质；3.等边三角形的判定.7.)菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm,BD=6cm,则边长AB=cm.【答案】5.【解析】试题分析；如答图，设必与眇相交于点丁菱形朋仞中，对角线长肚=如，陋=畑且卫C丄月D二根握勾股定理得卫甘=2酬.考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.8省聊城市)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AFCE,BEDF,AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点.求

22、证：EBC9AFDA.:L【答案】证明见解析.【解析】试题分析:根据平彳亍三边的性质可知:丄昶,由平行四边形的判定方法易证四边形BHDK和四边形丄啜CT是平行四边形；所以看得m乙皿,进而证明；试题解析：T四边形丄孔n是平行四边形丄工孔m帖G:AFl/CE,3EH:=WF和四边形愛帯是平行四边形；:.FAU=ECBfAUF=ZBC在巫召C和ZVN中丿BC=AD1=4狂:.AEBCAFDA.考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定.9.）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE=CF；则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明

23、见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证CEBCFD，从而证出CE=CF.（2）由（1）得，CE=CF，ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD即ZECF=ZBCD=90又ZGCE=45。所以可得ZGCE=ZGCF，故可证得厶ECGFCG，即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立.试题解析：(1)在正方形ABCD中，.BC=CD,ZB=ZCDF,BE=DF，.CBEACDF(SAS).：CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由是:T由(1)得：旦FDF,：.CE=DCF.:.CE-ECD

24、=ZDCF-CD?即乙眈F=CD=9T又：Z.GCE=W,:，Z.GCr=Z.GCE=W.：CE=CF,Z.GCE=Z.GCFfGC=GCf:.AECGAFCGCF?-FC-CD?F?:.PFEO故错误孑由翻折的性打+疔=J/占刃亠9T-8Q=9肝-刃二炉,上刃FNPFME、SF是等边三角形，故正确综上所述，结论正确的是.故选D.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质.6.省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:AB=BC，ZABC=90，AC=BD，AC丄BD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（

25、）A.B.C.D.【答案】B.【解析】试題分析:去丁四边形是平行四边刑，当.如曲匚时平行四边形.也匚口是菱形，当乙与G9驚时，菱形.話匚门是正方形故此选项错i吴；裟丁四边形是平彳亍四边形；台乙恥酎时，平行四边形苗c。是矩形，当工器D时，这是矩形的性质，无法得出四边形丄心是正方形，故此选项正确；：丁四边形加杲平行四边形，当二沪器时，平行四边形皿D杲蓋形当上0见时，蓋形丄眈D是正方形故此选项错俣；D、丁四边形血CD是平行四边形芒厶!肌二皿时，平行四边形羽2是矩枚当笛扛丄胆时，矩形丄是正方开勿故此选项错误.故选弓.考点：正方形的判定.7省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=

26、1，把该矩形绕点A顺时针旋转a度得矩形ABCD,点C落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是.口广OB.4T2/D7/B0C.OB,：0A=4,0B=3.在RtAOA_4AOB中，由勾股定理有ABOA2+B=5，AsinZABC=AB5W在对由上即少学解得。.）.由已知可知口（口4）,设烤=旳,卩=|丘+臼W616一、.:隹二一工一一TOC o 1-5 h zIEwB=-16g1g同理E3时X3B13QQrQI在中厶心亡血,0.4=4,0*7在厶20口中ZQ匚併，（74=4,少）=（5;丁一= HYPERLINK l bookmark38 o Current Document OAOD（3）

27、根据计算的数据，OB=OC=3,AO平分ZBAC，AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3,0）；AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM,点F（3,8）；3AC是对角线时，做AC垂直平分线L,AC解析式为y=-3x+4，直线L过（2,2）,且337k值为4（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1）,L解析式为y=4x+8，联立直线L与直线AB求交点，7522F（147）；24AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N,根据等积法求出CN=5，勾股定理得出,71414342AN=5,做A关于N的对称点即为F,AF=5，过

28、F做y轴垂线，垂足为G,FG=5X5=254244.F(-2525)75_2242综上所述，满足条件的点有四个：F1(3,8)；F2(-3,0)；F3(14,7),F4(-254425)考点：1.相似三角形的判定；2.解一元二次方程-因式分解法；3.待定系数法求一次函数解析式；4.平行四边形的性质；5.菱形的判定；6.分类讨论；7.存在型；8.探究型.省中考模拟二)如图，已知正方形ABCD,E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF,恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90得FG,过点B作EF的垂线，交EF于点M,交DA的延长线于点N,连接NG.求证：BE=2CF；试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明.【答案】(1)证明见解析.(2)四边形BFGN为菱