状态模型建立

1、线 性 系 统 理 论Linear System Theory 本课程理论性强，用到较多的数学工具，因此本课程对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学生运用数学知识耒处理控制问题的能力起到重要的作用。课程的目的与地位 本课程是控制理论与控制工程专业硕士研究生的公共学位课，属于控制学科的专业基础课。 通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一步学习其它控制理论奠定坚实的基础。课程主要章节的计划学时分配第一章 线性系统的基本概念 8学时第二章 线性系统的可控性、可观测性 10学时第三章 线性时不变系统的标准形和实现 10学时第四章 状态反馈设计 8学时第五章

2、输出反馈、观测器和动态补偿器 8学时第六章 时变线性系统 2学时第七章 系统稳定性分析 8学时根据实际情况，各章所用学时会稍微有所调整。 要求做一些必要的习题，难点和典型习题的讲解与讨论。利用MATLAB进行计算机仿真等考核方式 闭卷笔试。 讲授及学习方法 以课堂讲授为主，也可指定某些章节自学后再总结。学习中要注意与自动控制原理、矩阵理论等有关课程的联系。一、系统研究的方法 传统的系统研究方法基于经验。考虑一个例子：给定一个物理系统（电子或机械的等等）：我们假定对系统的内部结构一无所知。为了描述这个系统的行为，可以在系统的输入端施以一系列典型信号，并观察其响应，例如：tttt绪 论尽管这个物理

3、系统可能非常复杂，但通过若干典型响应的分析却可以猜测，系统或许可以近似地用一个惯性环节来描述。 若系统的响应不满足要求，传统的设计方法是根 据 经验调整系统参数或者增加补偿器和反馈， 即试凑方法这种方法过去和现在都有许多成功的例子，是广大工程技术人员所常用的方法。 但是，若被控对象很复杂，控制精度要求很高，则传统的设计方法往往不能得到满意的效果。此时就需要用到现代控制理论中所提供的方法这种方法由于计算机的出现以及航空航天工业的发展在上个世纪50年代后得到了极大的发展。其主要步骤是：1. 建立描述物理系统状态的数学模型。这可以通过物理定律和数学方程等来得到。一般由微分方程、偏微分方程或代数方程等

4、构成。2. 基于模型的系统分析。系统分析一般包括两个方面：定性分析和定量分析。定性分析主要是指系统的稳定性、可控性、可观测性等等；定量分析则要求借助于数字计算机和模拟计算机准确计算出系统在实际信号作用下的响应。3. 系统设计。若系统不能满足给定的性能指标，则需要通过设计控制器或改变控制律等来改善。一般说来，系统控制器的设计是一个复杂的问题。 由于在大多数情形下，数学模型并不完全真实反映对象的行为，故基于模型的设计可能仍不能应用于实际系统，以上三个步骤可能会反复地进行这种矛盾还导致了上个世纪80年代以来的鲁棒控制器（Robust Controller) 设计问题，以及更早的如自适应控制等的提出。

5、 可以说，模型与真实系统的这种不一致导致了许多控制理论分支的发展，如自适应控制、H-infinity鲁棒控制方法、智能控制方法等等。二、线性系统及其研究的对象 一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。 控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。三、研究线

6、性系统的基本工具 研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。例如：系统的可控性、可观测性可反映在线性代数中线性变换的循环不变子空间及其生成元的概念中；在观测器理论中，矩阵方程扮演重要角色；系统的稳定性往往归结为对线性矩阵微分方程的讨论；四、线性系统研究的历史回顾 从上个世纪三十年代以来，人们就对线性系统进行了广泛的研究，起初主要是频域方法；而且，几乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的。这种经典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立即显现出一系列重大缺陷，所设计出的系统甚至不能保证系统的稳定

7、性。 五十年代后期，多变量、时变系统在航空航天、过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重要，特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的时域分析的研究，促使以美国科学家Bellman和Kalman为代表的研究人员对有限维线性系统的状态空间描述方法进行了深入的研究，导致了可控性、可观测性等概念的提出。此后，又进一步在极点配置、二次型调节器设计、状态观测器和估计器、等价系统、解耦、实现等方面先后取得了进展。 1968年左右，人们发现这一领域的工作没有协调起来，很零散，一些重要的问题被忽视，于是要求对线性系统各方面工作进行统一处理。这就形成了“线性系统”这门学科。此后，线性系统理论不断得到发展，成为

8、系统科学的基础。它的方法、概念体系己为许多学科领域所运用，是控制理论、网络理论、通讯理论以及一般系统理论的基础。现在，线性系统已成为任何与系统有关学科研究生和本科生所必修的课程。 进入70年代以后，深入的工程实践凸显出了基于模型的线性系统的局限性，即系统缺乏对参数不确定性、干扰及未建模动态等的鲁棒性（Robustness)。众多的科学工作者在这个领域进行了长时间、艰苦的研究，到80年代初，在若干领域取得了一系列激动人心的突破，最典型的是加拿大学者 Zames 提出的H-infinity鲁棒控制理论，以及以前苏联数学家Kharitonov在微分方程上的贡献为基础发展起来的区间系统理论。这些都极大

9、丰富了人们对线性系统的认识。 回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的每一个 进步几乎都 反映了航 空航天等尖端技术 对控制的 更高 要求， “它 是 那样的基本和 如此的深刻，所以毫无疑问，在今后一个可以预见的长时间内，线性系统仍将是人们继续研究的对象”（Kailath：线性系统)。五、线性系统理论的几个流行学派1 代数系统理论：以抽象代数为工具。主要在实现、反馈问题上取得一些成果。代表著作：R.E.Kalman: Topics In Mathmatical System Theory (1969)2 多项式矩阵 (稳定)分式分解方法 在复数域进行。充分应用了经典控制理论的优点。多变量频率

10、域方法属于这一范畴。是最活跃的研究领域之一。主要著作：H.H.Rosenbrock: State-Space and Multivariable Theory, Nelson, London.2. W.A.Wolovich: Linear Multivariable Systems (1974).3. M. Vidyasagar: Control System Synthesis：A Factorization Approach (1985), MIT Press.3几何状态空间理论 把矩阵看成向量空间的线性映射，系统理论和空间座标选取无关，这样往往给出一些比较本质的结果，在解耦及跟踪器取得较

11、好进展。代表著作： W.M. Wonhan：Linear Multivariable Control：A Geometric Apporach (1978) (84年有中译本).六、线性系统学习中应注意的几个问题注意与矩阵论的学习相结合；学习中注意与经典控制论相结合，特别要注意与经典控制论中的不同之处和相同之处；要充分认识到本课程在后续各门课程学习中的基础地位。Ch.2 控制系统的状态空间模型目录(1/1)目 录概述2.1 状态和状态空间模型2.2 根据系统机理建立状态空间模型2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5 传递函数阵2.6 线

12、性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型多输入多输出线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1 由

13、高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论由不含输入量导数项和由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1. 微分方程中不包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型本节问

14、题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程和输出方程y=x1微分方程中不包含输

15、入量的导数项(4/9)将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)该状态空间模型可简记为:其中微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1, a2, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的

16、矩阵,这在后面的章节中可以看到。微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6u解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下 微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1其系统结构图如下所示微分方程中包含输入量的导数项(1/11)2. 微分方程中包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方

17、程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项(2/11)若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y

18、的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项(3/11)为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项(4/11)根据上述原则,选择状态变量如下其中i(i=0,1,n)为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此,有微分方程中包含输入量的导数项(6/11)若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n =bn-

19、a1n-1-an0即i(i=0,1,n)满足如下方程组微分方程中包含输入量的导数项(7/11)则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项(8/11)上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20 =43=b3-a12-a21-a30 =-12微分方程中包含输入量

20、的导数项(10/11)-例2-2因此,当选择状态变量如下时即得系统的状态空间模型为微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2其系统结构图如下所示由传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2 由传递函数建立状态空间模型下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。关键问题: 1. 如何选择状态变量2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变喔,关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型(2/6)由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地,本节讨论的

21、由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数第一章第三节方法第一章第四节方法建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型(3/6)实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数由传递函数建立状态空间模型(4/6)对上述传递函数,由长除法,有其中由传递函数建立状态空间模型(5/6)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,

22、C,D)。上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即由传递函数建立状态空间模型(6/6)下面分传递函数极点互异和有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换(1/8)1. 传递函数中极点互异时的变换对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为自己推导一下,行吗?传递函数中极点互异时的变换(2/8)下面以k1计算式的推导过程为

23、例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,sn互异，有下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。第2项将s1代入为0。传递函数中极点互异时的变换(3/8)考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则,经反变换可得系统状态方程为传递函数中极点互异时的变换(4/8)相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型传递函数中极点互异时的变换(5/8)上述

24、用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为对角线矩阵。系统矩阵A具有上述对角线形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。事实上,由式(2-23)和状态空间模型(2-26)可知,对角线规范形其实是将系统转换为n个一阶子系统(惯性环节)的并联,如右图所示。图2-11 对角线规范形的结构图传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例2-3例2-3 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型传递函数中极点互异时的变换(7/8)解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有其中传递函数中极点

25、互异时的变换(8/8)故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型将上述结果与例2-1的结果相比较可知,即使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。传递函数中有重极点时的变换(1/13)2. 传递函数中有重极点时的变换当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式的情况,亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。不失一般性,为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s2为2重极点。相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数

26、表示为传递函数中有重极点时的变换(2/13)其中kij为待定系数,其计算公式为会推导吗?尝试一下其中l为极点si的重数。传递函数中有重极点时的变换(3/13)下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的乘以(s-s1)3 ,有第2项将s1代入为0。对等式两边求2次导数后因此，有传递函数中有重极点时的变换(4/13)下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。如何选择状态变量?考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足传递函数中有重极点时的变换(5/13)选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则有传递函数中有重极点时的变换(6/13)即有则经反变换可得系统状态方

27、程为传递函数中有重极点时的变换(7/13)相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6传递函数中有重极点时的变换(8/13)因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型传递函数中有重极点时的变换(9/13)上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块(约旦块)。系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下

28、一节将详细讨论的所谓约旦规范形。事实上, 约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环节)的串-并联。如下图所示。传递函数中有重极点时的变换(10/13)传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例2-4例2-4 用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型传递函数中有重极点时的变换(12/13)解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有其中传递函数中有重极点时的变换(13/13)故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型将上述结果与例2-2的结果相比较可知,可再次验证“

29、状态空间模型不具有唯一性”。多输入多输出线性系统(1/5)2.3.3 多输入多输出线性系统下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描述系统的微分方程为 同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。多输入多输出线性系统(2/5)因此,该系统的方程也可表示为对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。为此,有多输入多输出线性系统(3/5)故可得模拟结构图,如图2-13所示。图2-13 系统模拟结构图多输入多输出线性系统(4/5)取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为相应地输出方程为多输入多输出线性系统(5/5)因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为非线性系统(1/10)2.3.4 非线性系统倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的