2018年高考数学专题22数列的概念与表示法热点题型和提分秘籍理

1、PAGE 16专题22 数列的概念与表示法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式例1、【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)eq f(2,3)，eq f(4,15)，eq f(6,35)，eq f(8,63)，eq f(10,99)，；(3)eq f(1,2)，2，eq f(9,2)，8，eq f(25,2)，；(4)5,

2、55,555,5 555，。解析：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)。(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积。知所求数列的一个通项公式为aneq f(2n,2n12n1)。(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即eq f(1,2)，eq f(4,2)，eq f(9,2)，eq f(16,2)，eq f(25,2)，从而可得数列的一个通项公式为aneq

3、f(n2,2)。(4)将原数列改写为eq f(5,9)9，eq f(5,9)99，eq f(5,9)999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为aneq f(5,9)(10n1)。【提分秘籍】用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体再局部再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列(1)n或(1)n1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的

4、思想。 【举一反三】 下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1 Baneq f(1n1,2)Can2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2) Daneq f(1n13,2)解析：由an2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2)可得a11，a22，a31，a42，。答案：C热点题型二 由an与Sn的关系求通项an 例2、已知数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。(1)Sn2n23n。(2)Sn3n1。(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1。当n1时，23112a1

5、，所以aneq blcrc (avs4alco1(4，n1,23n1，n2，nN*。)【提分秘籍】 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1。(2)用n1替换Sn中n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式。(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写。【举一反三】 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_。热点题型三 由递推关系式求通项公式例3根据下列条件，确定数列an的通项公式。(1)a11，an13an2；(2)a11，aneq f(n1

6、,n)an1(n2)；(3)已知数列an满足an1an3n2，且a12，求an。解析：(1)an13an2，an113(an1)，eq f(an11,an1)3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11。(2)aneq f(n1,n)an1(n2)，an1eq f(n2,n1)an2，a2eq f(1,2)a1。以上(n1)个式子相乘得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n)。(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1eq f(n3n1,2)

7、(n2)。当n1时，a1eq f(1,2)(311)2符合公式，aneq f(3,2)n2eq f(n,2)。【提分秘籍】由递推关系式求通项公式的类型与方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现eq f(an,an1)f(n)时，用累乘法求解。【举一反三】 (1)在数列an中，a12，an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)若数列a

8、n满足a11，an12nan，则数列an的通项公式an_。(2)由于eq f(an1,an)2n，故eq f(a2,a1)21，eq f(a3,a2)22，eq f(an,an1)2n1，将这n1个等式叠乘得eq f(an,a1)212(n1)2，故an2。答案：(1) A (2) 2。热点题型四 数列的性质及其应用 例4、 (1)已知aneq f(n1,n1)，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列(2) 数列an满足an1eq blcrc (avs4alco1(2an，0anf(1,2),2an1，f(1,2)an1，)a1eq f(3,5)，则数列的第2 015项为

9、_。答案：(1)B (2) eq f(2,5)【提分秘籍】1解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列。(2)用作商比较法，根据eq f(an1,an)(an0或an0)与1的大小关系进行判断。(3)结合相应函数的图象直观判断。2解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。【举一反三】 设数列an满足：a12，an11eq f(1,an)，记数列an的前n项之积为Tr，则T2 014的值为()Aeq f(1,2) B1 C.eq f(1,2) D2解析：由a2eq f(1,

10、2)，a31，a42可知，数列an是周期为3的周期数列，从而T2 014T2 013a1(1)67122。答案：D 1.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入可得，由等比数列的通项公式可得： .1（2014江西卷）已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cneq f(an,bn)，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.2（2014新课标

11、全国卷 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列

12、3（2014新课标全国卷 已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).4（2014重庆卷）设a11，an1eq r(aeq oal(2,n)2an2)b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论【解析】(1)方法一：a22，a3eq r(2)1.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差

13、为1的等差数列，故(an1)2n1，即aneq r(n1)1(nN*)方法二：a22，a3eq r(2)1.可写为a1eq r(11)1，a2eq r(21)1，a3eq r(31)1.因此猜想aneq r(n1)1.下面用数学归纳法证明上式当n1时，结论显然成立假设nk时结论成立，即akeq r(k1)1，则ak1eq r(（ak1）21)1eq r(（k1）1)1eq r(（k1）1)1，这就是说，当nk1时结论成立所以aneq r(n1)1(nN*)方法二：设f(x)eq r(（x1）21)1，则an1f(an)先证：0an1(nN*)当n1时，结论明显成立假设nk时结论成立，即0ak1

14、.易知f(x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)eq r(2)11.即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立故成立再证：a2na2n1(nN*)当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)eq r(2)1，所以a2a3，即n1时成立假设nk时，结论成立，即a2k0)，因为所有AnBn相互平行且a11，a22，所以S梯形A1B1B2A23m，当n2时，eq f(an,an1)eq f(OAn,OAn1)eq r(f(m（n1）3m,m（n2）3m)eq r(f(3n2,3n5)，故aeq oal(2,n)eq f(3n2,3n5)aeq oal(2,n1)，aeq oal

15、(2,n1)eq f(3n5,3n8)aeq oal(2,n2)，aeq oal(2,n2)eq f(3n8,3n11)aeq oal(2,n3)，aeq oal(2,2)eq f(4,1)aeq oal(2,1)以上各式累乘可得aeq oal(2,n)(3n2)aeq oal(2,1)，因为a11，所以aneq r(3n2).6（2013辽宁卷）下面是关于公差d0的等差数列eq blcrc(avs4alco1(an)的四个命题：p1：数列eq blcrc(avs4alco1(an)是递增数列；p2：数列eq blcrc(avs4alco1(nan)是递增数列；p3：数列eq blcrc(av

16、s4alco1(f(an,n)是递增数列；p4：数列eq blcrc(avs4alco1(an3nd)是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【答案】D【解析】因为数列an中d0，所以an是递增数列，则p1为真命题而数列an3nd也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.7（2013全国卷）等差数列an前n项和为Sn.已知S3aeq oal(2,2)，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式1数列1，eq f(5,8)，eq f(7,15)，eq f(9,24)，的一个通项公式是()Aan(1)n1eq f(2n1,n2n)(nN*)Ban(1)n

17、1eq f(2n1,n23n)(nN*)Can(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)Dan(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)解析：观察数列an各项，可写成：eq f(3,13)，eq f(5,24)，eq f(7,35)，eq f(9,46)，故选D。答案：D2已知数列的通项公式为ann28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项和第6项解析：令an3，即n28n153，整理得n28n120，解得n2或n6。答案：D3已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A2n1 B.eq

18、 blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)n1Cn2 Dn答案：D4已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18()A36 B35C34 D33解析：当n2时，anSnSn12n3，故a2a1834。答案：C5已知数列an，an2n2n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是()A(，6) B(，4C(，5) D(，3解析：数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，若数列是递减数列，则eq f(,22)1，即4。答案：B6已知数列an满足a133，an1an2n，则eq f(an,n)的最小值为()A.eq f(17,2) B.eq f(21,2)C10 D21当xeq r

19、(33)时，f(x)0，即f(x)在区间(0，eq r(33)上递减；在区间(eq r(33)，)上递增，又5eq r(33)6，且f(5)5eq f(33,5)1eq f(53,5)，f(6)6eq f(11,2)1eq f(21,2)，所以f(5)f(6)，所以当n6时，eq f(an,n)有最小值eq f(21,2)。答案：B7数列an满足an1eq f(1,1an)，a82，则a1_。解析：将a82代入an1eq f(1,1an)，可求得a7eq f(1,2)；再将a7eq f(1,2)代入an1eq f(1,1an)，可求得a61；再将a61代入an1eq f(1,1an)，可求得a52；由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7eq f(1,2)。答案：eq f(1,2)8已知数列an满足a1eq f(1,2)，an1aneq f(an1an,nn1)(n2)，则该数列的通项公式an_。答案：eq f(n,3n1)9如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n2)行的第2个数为_。13356571111791822189解析：由题意可知：图中每行的第二个数分别