2018年高考数学考点一遍过专题38抛物线文

1、PAGE PAGE - 26 -考点38抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.一、抛物线的定义和标准方程1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线2抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；

2、（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p0的错误.二、抛物线的几何性质1抛物线的几何性质标准方程图形几何性质范围对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点准线方程顶点坐标原点(0，0)离心率2抛物线的焦半径抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F

3、的直线与抛物线所成的相交弦焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径对于抛物线，由，可得，故抛物线的通径长为2p4必记结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2p2，x1x2eq f(p2,4).（2）|AB|x1x2p，x1x2p，即当x1x2时，弦长最短为2p.（3）eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)为定值eq f(2,p

4、).（4）弦长ABeq f(2p,sin2)(为AB的倾斜角)（5）以AB为直径的圆与准线相切（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90.考向一抛物线的定义和标准方程1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化典例1已知抛物线C:x2=2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,则p,m的值分别为Ap

5、=1,m=2Bp=1,m=2Cp=,m=2Dp=,m=2【答案】D【解析】由抛物线的方程得其准线方程为y=-p2,根据抛物线的定义可知,4+p2=174,解得p=,所以抛物线的方程为x2=y,将A(m,4)代入抛物线的方程,解得m=2. 典例2已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为A(x0)B(x0)C(y0)D(y0)【答案】D的椭圆.A,B在抛物线上,焦点F不在x轴上,故抛物线的焦点的轨迹方程是(y0).1已知点F是抛物线y 2 = 4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则

6、MN中点的横坐标为AB2CD3考向二求抛物线的标准方程1求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3若点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为43,则该抛物线的方程是Ay2=xBy2=3xCy2=23xDy2=x【答案】A【解析】根据对称性,可知ABx轴,由于正三角形OAB的面积是43,故AB2=43

7、,故AB=4,正三角形OAB的高为23,故可设点A的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p,解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程（1）过点；（2）焦点在直线上当焦点为时，此时抛物线的方程为；当焦点为时，此时抛物线的方程为.故所求抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.2已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程.考向三焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定

8、，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例5过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为,因此点M到抛物线准线的距离为.典例6已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.（1）求该

9、抛物线的方程;（2）O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.（2）因为p=4,所以4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2. 3已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，则的面积为A18 B24C36 D48考向四抛物线中的最值问题1.抛物线中经常

10、根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值.典例7如图,已知点Q(22,0)及抛物线上的动点(x,y),则y+|Q|的最小值是A2B3C4D22【答案】A典例8已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】(-2)20)的焦点坐标是A(,0)B(,0)C(0,-2p)D(0,-p)2以x轴为对称轴,通径长为8,顶点

11、为坐标原点的抛物线方程是Ay2=8xBy2=-8xCy2=8x或y2=-8xDx2=8y或x2=-8y3已知抛物线y2=2px（p0）上一点Q(6,y0),且Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是A4B8C12D164已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是AB3CD25设F为抛物线C:x2=12y的焦点,A、B、C为抛物线上不同的三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=A3B9C12D186已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的两个动点A,B始终满足AFB=60,过

12、弦AB的中点H作抛物线的准线的垂线HN,垂足为N,则的取值范围为A(0,B,+)C1,+)D(0,17若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x24y2=1的右顶点重合，则p=_.8已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，则点到抛物线的焦点的距离是_9已知过抛物线x=4y2的焦点F的直线交该抛物线于M、N两点,且|MF|=,则|MN|=_.10已知抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,点A(0,1),射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=13,则实数a的值为_.11已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F,准线方程是x=-1.(1)求此抛物线的方程;(2)设点M在

13、此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求的面积.12已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是抛物线y2=2px(p0)上的三个点,且它们到焦点F的距离|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,求证:2y22=y12+y32.13如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.若水位下降1m后，水面宽为多少？14设A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,且满足OAOB(O为坐标原点).求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值;(2)直线AB经过一个定点.1（2016四川文科）抛物线y2=4x的焦点坐标是A(0,2) B (0,1)C(2,

14、0) D(1,0)2（2016新课标全国II文科）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=AB1CD23（2015新课标全国I文科）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=A3 B6C9 D124（2017浙江）如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（1）求直线AP斜率的取值范围；（2）求的最大值5（2016新课标全国III文科）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的

15、面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.变式拓展1【答案】B【解析】由题意得F(1,0),令M(x1,y1),N(x2,y2)，由抛物线的几何意义得| MF | + | NF | = 6=x1+1+x2+1，可得x1+x2=4，所以MN中点的横坐标为.选B.法二：由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y2mx(m0).又抛物线的焦点到顶点的距离为5，m20.所求抛物线的方程为y220 x或y220 x. 3【答案】C【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直，所以线段AB是抛物线的通径，则，所以，又点P到AB的距离为，所以的面积为.故选C.4【答案】C【解析】点P到抛物线y2=4

16、x的准线的距离d1等于点P到抛物线y2=4x的焦点的距离|PF|，则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离由抛物线y2=4x得F(1,0)，故选C.5【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则点B的坐标为(,).设隧道所在的抛物线方程为x2=my(m0),则()2=m(),解得m=-a,所以抛物线的方程为x2=-ay.将点(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=.欲使卡车通过隧道,应有y-()3,即a4-0.82a3,由于a0,故a12.21,所以a应取的最小整数值为13.考点冲关1【答案】B【解析】抛物线方程的标准形式为y2

17、=x(p0),则焦点坐标为(,0).2【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.3【答案】B4【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x=，当MQx轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.5【答案】D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为A、B、C为抛物线上不同的三点,则A、B、C可以构成三角形.抛物线C:x2=12y的焦点为F(0,3),准线方程为y=-3.因为FA+FB+FC=0,所以利用平面向量的相关知识可得点F为的重心,从而有x1+x2+

18、x3=0，y1+y2+y3=9.又根据抛物线的定义可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3,所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+3+y2+3+y3+3=y1+y2+y3+9=18.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质,向量的相关知识.解题的关键是判断出点F为的重心.解题时,先根据抛物线的方程得抛物线的焦点坐标和准线方程,再根据FA+FB+FC=0,判断出点F为的重心,进而可得y1+y2+y3=9,最后根据抛物线的定义求解.6【答案】D,当且仅当a=b时等号成立,故的取值范围为(0,1.故选D.7【答案】4【解析

19、】由双曲线x24y2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则,所以p=4.8【答案】【解析】由题意可设，因此，因此点到抛物线的焦点的距离是.9【答案】14【解析】抛物线x=4y2可化为y2=14x,其焦点为F(116,0),准线方程为x=-116,|MF|=,点M到抛物线的准线的距离为,点M的横坐标为116,故直线MF垂直于x轴,|NF|=|MF|=,|MN|=14.10【答案】2【解析】依题意得焦点F的坐标为(a4,0),设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|MN|=13,所以|KN|KM|=221,又,kFN=-|KN|KM|=-

20、22,所以=22,解得a=2.由抛物线定义知，得x0=2.由在抛物线上,满足抛物线的方程y2=4x,知，所以的面积为.12【解析】抛物线的准线方程为x=.由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,2|BF|=|AF|+|CF|,2x2=x1+x3.又y2=2px,故2y22=y12+y32.13【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x02=6，x0=6.水面宽|CD|26m.14【解析】(1)设A(x1, y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2.OAOB,x1x2+y1y2=0.y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2),y1y2=-4p2,x1x2=4p2.即A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值.y=2py1+y2x-2py1+y2y122p+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2.又y1y2=-4p2,y=2py1+y2x-4p2y1+y2=2py1+y2(x-2p).直线AB过定点(2p,0).直通高考1【答案】D【解析】的焦点坐标为，故选D.【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是