中考数学复习第六单元圆滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明练习

1、滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1 .如图，00是4ABC的外接圆，AB是。0的直径，D为。0上一点，OtXAG垂足为 E,连接BD.(1)求证：BD平分/ABC(2)当/ODB= 30 时，求证：BC= OD.证明：(1) .ODLAG OM半径，CD= AD，/CBD= Z ABD.BD平分/ ABC.-. OB= OD.ZOBD= /ODB= 30 .，/ A OD= Z OBD- /ODB= 30 +30 =60又ODL AC 于 E, . / OEA= 90 .，/A= 180 /OEA /AOD= 30 .又AB为。0 的直径，/ACB= 9

2、0 .1在 RtACB 中，BC= 2AB.1又,.。氏,AB,，BC= OD.2. (2018 温州)如图，D是ABC的BC边上一点，连接 AD,作4ABD的外接圆，将 ADC沿直线 AD折叠, 对应点E落在。0上.(1)求证：AE= AB;(2)若/CAB= 90 ,cos/ADB=； 3BE= 2,求BC的长.解：(1)证明：由题意，得 AD且AADC，/AED= /ACD AE= AC. /ABD= / AED./ABD= / ACD.AB= AC,，AAB.(2)过点A作AHL BE于点H. AB= AE, BE= 2.1/ ABE= / AEB= / ADB COS / ADB=

3、3, COSZABE= cos/ ADB= 1.3BH 1 =AB 3.AC= AB= 3./BA/ 90 , AO AB, BO 3 2.3. （2018 包头）如图，在 RtACB中，/ACB= 90 ,以点 A为圆心，AC长为半径的圆交 AB于点D, BA的延长线 交。A于点E,连接CD, CE, F是。A上一点，点F与点C位于BE两侧，且/ FAB= /ABC连接 BF.(1)求证：/ BCD= /BEC(2)若 BC= 2, BD= 1,求 CE的长及 Sin /A BF的值.解：（1）证明：ACB= 90 ,/BCDF /ACD= 90 .DE是。A的直径，./ DCE= 90 .

4、/BEO /CDE= 90 .AD= AC,/ CDE= / ACD./. / BCD= / BEC. / BCD= / BEC / CBD= / EBC.BD6 BCE.，CD BD BCec= bcT BE,. BC= 2, BD= 1,BE= 4, EC= 2CD.DE= BE- BD= 3.222在 RtDCE中，DE=CD + CE=9.8吸.旧等过点F作FMLAB于点M./FAB= /ABC /FMA= Z ACB= 90 ,.AFMhABAC.-. 四=AC BA35. DE= 3,AD= AF= AC= 5 AB= 39FM=石过点F作FN BC于点N./ FNC= 90 ./

5、 FAB= / ABC 1- FA/ BC./ FAC= / ACB= 90 . 四边形 FNC端矩形.FN AC= 3, NC= AF= 3, . . B* 1. 222在 RtFBN中，BF= BlNk fN =20,在 RtAF BM中，sin /ABF=整写10.BF 50类型2与圆的切线有关的计算与证明(2018 滨州)如图，AB为。0的直径，点 COO上,ADLCD于点D,且AC平分/ DAB求证:(1)直线DC是。0的切线；(2)AC2=2AD- AO.证明：(1)连接OC.,.OA= OCOAC= / OCA. AC平分/ DABOAC= / DAC.DAC= / OCA.OC

6、/ AD.又. ADLCDOCL DC.OC为。0的半径，.DC是。0的切线.(2)连接BC.AB为A0的直径，.AB= 2AO, /ACB= 90 .ADL DC./ADG= /ACB= 90 .又. / DAC= Z CAB.DA6 ACAB.AD AC 口uo= 即 ACJ=AB- AD.AC AEAC2=2AD- AO.(2017 金华)如图，已知：AB是。0的直径，点 C在。0上，CD是。0的切线，ADLCD于点D, E是AB延长线 上一点，CE交。0于点F,连接OQ AC.(1)求证：AC平分/ DAO(2)若/DAO= 105 , / E= 30 .求/ OCE的度数；若。0的半

7、径为2平，求线段EF的长.解：(1)证明：二.直线CCOO 相切，OCLCD.y.-ACL CD AD/ OC./ DAC= / OCA.又OC OA/ OAC= / OCA./ DAC= / OAC.AC平分/ DAO.(2)AD/ OC，/EOC= /DAG 105 ,. /E= 30 , ./ OCE= 45 .过点O作OGL CE于点G 可得FG= CG.OC= 2 2, /OCE= 45 ,OG= CG= 2.FG= 2.在 RtOGE中，/ E= 30 ,GE= 2娟.EF= GE- FG= 2木2.(2018 苏州)如图，AB是。0的直径，点 C在。0上，AD垂直于过点 C的切线

8、，垂足为 D, CE垂直AB,垂足为 E,延长DA交。0于点F,连接FC, FC与AB相交于点 G,连接OC.(1)求证：CD= CB(2)若AE= GE，求证： CEO是等腰直角三角形.证明：(1)连接AC.CD为。0的切线，OCL CD.又ADL CD./ DCO= Z D= 90 .AD/ OC，/DAC= Z ACO.又,. OC= OA，/CAG Z ACO./ DAC= / CAO.又. CELAR，/CEA= 90 .y D- / CEA在 CDA和 CEA中，/ DAC= / EAC AC= AC,.CDA2 ACEA(AA$S .CD- CE.(2)证法一：连接BC. CDA

9、2 ACE/A，/DCA= Z ECA. CELAG AE= EG, . . CA= CG.，/ECA= / ECG.AB是。0 的直径，/ACB= 90 .又. CEL AR./ACE= / B.又. / B= / F,Z F=Z ACE= / DCA= / ECG.又 / D-90 ,./ DCFF / F= 90 .Z F=Z DCA= / ACE= / ECG 22.5 ，/AOC= 2/F= 45 .CEO是等腰直角三角形.证法二：设/ F= x ,则/AOC= 2/F= 2x .AD/ OC ，/OAF= /AOC= 2x .，/CGA= /OAFF /F=3x .CEL AG A

10、E= EG .CA= CG.-. /EAC= Z CGA.，/DAC= /EAC= /CGA= 3x .又/DACF Z EAO /OAF= 180 , .3x +3x +2x =180 . x= 22.5.，/AOC2x =45 .CEO是等腰直角三角形.丝+ 25兀(2017 孝感)如图，00的直径 AB= 10,弦AC= 6, /ACB的平分线交。0 于D,过点D作DE/ AB交CA的延长 线于点E,连接AD, BD.(1)由AB, BD, AD围成的曲边三角形的面积是(2)求证：DE是。0的切线；求线段DE的长.ED解：(2)证明：连接OD. CD平分/ ACBACD= Z BCD.A

11、D= DB.又AB为直径，ADLDB .ADB= ,90 .，ODL AB. DE/ AB,，ODL DE.又OD为。0的半径，.DE是。0的切线.A 10, AC= 6,BC=邓百AC = 8.过点A作AH DE于点F,则四边形 AOD跳正方形, .AF= OD= FD= 5, /BA已90 . /EA斗 /CAB= 90 , / ABO / CAB= 90 , / EAF= / ABC.tan /EAF= tan Z ABC.EF AC EF 6AF= Bd 即-5 = 8，15 EF=4 .15-DE= DF+ EF= 5+7 =35了(2018 株洲)如图，已知 AB为。0的直径，AB

12、= 8,点C和点D是。0上关于直线 AB对称的两个点，连接 OC AC,且Z BOC： 90 ,直线 BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点 F,与直线AD 相交于点G,且/GAF= ZGCE.(1)求证：直线 CG为。0的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接 CH满足CB= CH.求证： CBHh AOBC求O* HC的最大值.解：(1)证明：.C, D关于AB对称，/GAF= Z CAF./ GAF= / GCE/ GCE= / CAF.,.OA= OC/ CAF= / ACO/. / GCE= / ACO.AB为直径,/ACG /OCB= 90 .ZGC

13、E- /OCB= 90 ,即/OCG 90 .又OC为。0的半径，CG为。0的切线.(2)证明：. OC= OB, CH= BC,/ OCB= / OBC / CHB= / CBH / CBH= / OBC= / OCB= / CHB.CBHh AOBC.BH BCBC2cb中aob(cbc= bo，b+ .2设 BC= x,则 CH= x, BH=-. 4.OH HC= 4x2 + x + 4=- 1(x 2)2+5.当x=2时，O* HC的最大值为 5.(2018 娄底)如图，C, D是以AB为直径的。0上的点，AC=BC,弦CD交AB于点E.(1)当PB是。0的切线时，求证：/ PBD= /DAB(2)求证：BC2C= = CE- DE(3)已知OA= 4, E是半径OA的中点，求线段 DE的长.解：(1)证明：.AB是。0的直径，/ADB= 90 ,即 / DABF / ABD= 90 .PB是。0的切线，./ABR= 90 ,即 / PBDb /ABD= 90 ./ DAB= / PBD.(2)证明：. /A= /C, /AED= Z CEB.AD曰 ACBE.DE AEBE=而即 DE- CE= AE- BE.连接OC.设圆的半径为r,则OA= OB= OC= r,则 DE- CE= AE- BE= (OA OE)(OB+ OE)= r2-OE. AC= BC,