课件及习题答案第一章chapter1

1、2022/8/24高级微观经济学I 余长林1Ch 1.2.2 效用函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林2数学基础：函数连续性函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林3数学基础：函数象与原象（inverse image） 连续性与原象2022/8/24高级微观经济学I 余长林4数学基础：函数定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image) 是紧集2022/8/24高级微观经济学I 余长林5数学基础：函数极值存在性定理 2022/8/24高级微观经济学I 余长林6数学基础：多变量函数的微分梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：（海赛矩阵）2022/8/24高级微观经济学I

2、余长林7数学基础：矩阵定义： NN矩阵M，如果 都有那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。2022/8/24高级微观经济学I 余长林8数学基础：拟凹函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林9数学基础：拟凹函数证明：充分性定理 f(x)是拟凹函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林10数学基础：拟凹函数必要性：S(y)是凸集2022/8/24高级微观经济学I 余长林11数学基础：拟凹函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林12数学基础：拟凹函数定理：连续可微函数 f （1）（2）2022/8/24高级微观经济学I 余长林131.2.2 效用函数定义1.

3、5：实值函数 是表示偏好关系 的效用函数，如果存在性唯一性2022/8/24高级微观经济学I 余长林141.2.2.1 效用函数存在性定理1.1 (P13)定义在 （二元关系）的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 它一定表示 2022/8/24高级微观经济学I 余长林151.2.2.1 效用函数存在性定理1.1证明思路先构造一个实值函数然后证明它满足效用函数的条件2022/8/24高级微观经济学I 余长林161.2.2.1 效用函数存在性构造映射2022/8/24高级微观经济学I 余长林17I、效用函数的构造0连续性是非空闭集2022/8/24高级微观经济学I 余长林

4、18I、效用函数的构造严格单调性那么都有如果那么都有如果完备性（A是有下界闭集）（B是有界闭集）2022/8/24高级微观经济学I 余长林19I、效用函数的构造而且 是唯一的。因为：假设（严格单调性）（传递性）存在唯一的 使得2022/8/24高级微观经济学I 余长林20I、效用函数的构造02022/8/24高级微观经济学I 余长林21II、 是效用函数由式得到（传递性）（严格单调性）u(x)是表示偏好关系 效用函数2022/8/24高级微观经济学I 余长林22III、 是连续函数效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象)（定义）（单调性）（传递性）是开集（因为的补集是闭集）2022

5、/8/24高级微观经济学I 余长林23III、 是连续函数定理A1.6：连续是开集，在任意开集的逆央射 在是开集连续2022/8/24高级微观经济学I 余长林241.2.2.2 效用函数的唯一性设 表示的是偏好关系 的结构。 2022/8/24高级微观经济学I 余长林251.2.2.2 效用函数的唯一性正单调变化其中在 的取值范围上是严格递增函数。2022/8/24高级微观经济学I 余长林261.2.2.2 效用函数的唯一性定理1.2：效用函数对正单调转换的不变性实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。2022/8/24高

6、级微观经济学I 余长林27效用函数与无差异曲线（水平集）无差异集：1.2.2.3 效用函数的性质2022/8/24高级微观经济学I 余长林28上等值集(Superior Set)【严格上等值集】1.2.2.3 效用函数的性质2022/8/24高级微观经济学I 余长林291.2.2.3 效用函数的性质 严格递增严格单调2022/8/24高级微观经济学I 余长林301.2.2.3 效用函数的性质 拟凹具有凸性严格拟凹具有严格凸性 2022/8/24高级微观经济学I 余长林311.2.2.3 效用函数的性质 可导性（可导必连续，比连续性假设更强）无差异曲线光滑（smooth）且连续边际效用（偏好单调

7、性）（偏好严格单调性）【几乎处处成立】2022/8/24高级微观经济学I 余长林321.2.2.3 效用函数的性质 几乎处处成立2022/8/24高级微观经济学I 余长林331.2.2.3 效用函数的性质是凹函数 拟凹 边际效用递减2022/8/24高级微观经济学I 余长林341.2.2.3 效用函数性质海塞矩阵 满足拟凹2022/8/24高级微观经济学I 余长林351.2.2.4 效用函数实例2X1X12X0X0位似偏好(homothetic preference)2022/8/24高级微观经济学I 余长林361.2.2.4 效用函数实例位似偏好效用函数如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次效用函数来表示。位似偏好：证明：2022/8/24高级微观经济学I 余长林371.2.2.4 效用函数实例位似偏好效用函数如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次函数的正单调变换来表示。2022/8/24高级微观经济学I 余长林381.2.2.4 效用函数实例拟线性偏好(quasilinear preference)偏好关系 是相对于商品1的拟线性偏好，如果其中2022/8/24高级微观经济学I 余长林391.2