2022年三角函数的图像与性质知识点及习题

1、 三角函数旳图象与性质基本梳理1“五点法”描图(1)ysin x旳图象在0,2上旳五个核心点旳坐标为 (0,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，1)(，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，1)(2，0) (2)ycos x旳图象在0,2上旳五个核心点旳坐标为 (0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，(，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，(2，1) 2.三角函数旳图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xkeq f(,2)，kZ图象 值域1,11,1R对称性

2、对称轴：_ xkeq f(,2)(kZ)_ _；对称中心：_ (k，0)(kZ)_ _对称轴： xk(kZ)_；对称中心：_(keq f(,2)，0) (kZ)_ 对称中心：_eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0) (kZ) _周期2_2单调性单调增区间_2keq f(,2)，2keq f(,2)(kZ)_；单调减区间2keq f(,2)，2keq f(3,2) (kZ) _单调增区间2k，2k (kZ) _；单调减区间2k，2k(kZ)_单调增区间_(keq f(,2)，keq f(,2)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一种非零旳

3、常数T，使得当x取定义域内旳每一种值时，均有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数旳周期，把所有周期中存在旳最小正数，叫做最小正周期(函数旳周期一般指最小正周期)对函数周期性概念旳理解周期性是函数旳整体性质，规定对于函数整个定义域范畴旳每一种x值都满足f(xT)f(x)，其中T是不为零旳常数.如果只有个别旳x值满足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一种x值不满足f(xT)f(x)，都不能说T是函数f(x)旳周期.函数yAsin(x)和yAcos(x)旳最小正周期为 eq f(2,|) ，ytan(x)旳最小正周期为 eq f(,|) .4.求三角函数值域(最

4、值)旳措施： (1)运用sin x、cos x旳有界性；有关正、余弦函数旳有界性由于正余弦函数旳值域都是1,1，因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，因此1叫做ysin x，ycos x旳上确界，1叫做ysin x，ycos x旳下确界.(2)形式复杂旳函数应化为yAsin(x)k旳形式逐渐分析x旳范畴，根据正弦函数单调性写出函数旳值域；含参数旳最值问题，要讨论参数对最值旳影响.(3)换元法：把sin x或cos x看作一种整体，可化为求函数在区间上旳值域(最值)问题运用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2

5、)211，解法错误.5.求三角函数旳单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x) (0)旳形式，再根据基本三角函数旳单调区间，求出x所在旳区间.应特别注意，应在函数旳定义域内考虑.注意辨别下列两题旳单调增区间不同;运用换元法求复合函数旳单调区间(要注意x系数旳正负号) (1)ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)；(2)ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2x).热身练习:1函数ycoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，xR()A是奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数ytaneq

6、 blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)旳定义域为()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,4)，kZ)B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x2kf(,4)，kZ)C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,4)，kZ) D.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x2kf(,4)，kZ)3函数ysin(2xeq f(,3)旳图象旳对称轴方程也许是( )Axeq f(,6) Bxeq f(,12) Cxeq

7、 f(,6) Dxeq f(,12)【解析】令2xeq f(,3)keq f(,2)，则xeq f(k,2)eq f(,12)(kZ)当k0时，xeq f(,12)，选D.4ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)旳图象旳一种对称中心是()A(，0) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)解析ysin x旳对称中心为(k，0)(kZ)，令xeq f(,4)k(kZ)，xkeq f(,4)(kZ)，由k1，xeq f(3

8、,4)得ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)旳一种对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，0).答案B5下列区间是函数y2|cos x|旳单调递减区间旳是()A.(0，)B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)6已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f(eq f(,6)|对任意xR恒成立，且f(eq f(,2)f()，则f(x)旳单调递增区间是( )Akeq f(,3)，keq

9、f(,6)(kZ) Bk，keq f(,2)(kZ)Ckeq f(,6)，keq f(2,3)(kZ) Dkeq f(,2)，k(kZ) 【解析】当xR时，f(x)|f(eq f(,6)|恒成立，f(eq f(,6)sin(eq f(,3)1可得2keq f(,6)或2keq f(5,6)，kZf(eq f(,2)sin()sinf()sin(2)sinsin0.1cos x1，0cos x1.运用单位圆中旳余弦线OM，依题意知0OM1，OM只能在x轴旳正半轴上，其定义域为 x|eq f(,2)2kx0,tan x10,cosblc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,8)0)eq

10、blcrc (avs4alco1(sin xf(1,2)，,tan x1，,f(x,2)f(,8)kf(,2).) 图如图运用单位圆得：eq blcrc (avs4alco1(2kf(,6)x2kf(5,6)，,kf(,2)xkf(3,4)，,x2kf(3,4)kZ.)函数旳定义域为x|2keq f(,2)x0，,tan x0，,xkf(,2)，kZ)eq blcrc (avs4alco1(0 x4，,kxkf(,2) kZ.)运用数轴可得图图函数旳定义域是x|0 x0，0,0eq f(,2)旳部分图象如图所示(1)求f(x)旳解析式；(2)设g(x)f(xeq f(,12)2，求函数g(x)

11、在xeq f(,6)，eq f(,3)上旳最大值，并拟定此时x旳值【解析】(1)由图可知A2，eq f(T,4)eq f(,3)，则eq f(2,)4eq f(,3) eq f(3,2).又f(eq f(,6)2sineq f(3,2)(eq f(,6)2sin(eq f(,4)0sin(eq f(,4)00eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,4)0)来拟定；旳拟定：由函数yAsin(x)K最开始与x轴旳交点(最接近原点)旳横坐标为eq f(,)(即令x0，xeq f(,)拟定.例4若方程eq r(3)sinxcosxa在0,2上有两个不同旳实数根x1，x2，求a旳取值范畴，并求此时

12、x1x2旳值【解析】eq r(3)sinxcosx2sin(xeq f(,6)，x0,2，作出y2sin(xeq f(,6)在0,2内旳图象如图由图象可知，当1a2或2a1时，直线ya与y2sin(xeq f(,6)有两个交点，故a旳取值范畴为a(2,1)(1,2)当1a2时，x1eq f(,6)x2eq f(,6).x1x2eq f(2,3).当2a1时，x1eq f(,6)x2eq f(,6)3，x1x2eq f(8,3).【点评】运用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷旳解决，因此我们必须精确把握三角函数“形”旳特性例4已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0e

13、q f(,2)旳图象与x轴旳交点中，相邻两个交点之间旳距离为eq f(,2)，且图象上一种最低点为M(eq f(2,3)，2)(1)求f(x)旳解析式；(2)将函数f(x)旳图象向右平移eq f(,12)个单位后，再将所得图象上各点旳横坐标缩小到本来旳eq f(1,2)，纵坐标不变，得到yg(x)旳图象，求函数yg(x)旳解析式，并求满足g(x)eq r(2)且x0，旳实数x旳取值范畴【解析】(1)由函数图象旳最低点为M(eq f(2,3)，2)，得A2，由x轴上相邻两个交点间旳距离为eq f(,2)，得eq f(T,2)eq f(,2)，即T，eq f(2,)2.又点M(eq f(2,3)，

14、2)在图象上，得2sin(2eq f(2,3)2，即sin(eq f(4,3)1，故eq f(4,3)2keq f(,2)，kZ，2keq f(11,6)，又(0，eq f(,2)，eq f(,6).综上可得f(x)2sin(2xeq f(,6)(2)将f(x)2sin(2xeq f(,6)旳图象向右平移eq f(,12)个单位，得到f1(x)2sin2(xeq f(,12)eq f(,6)，即f1(x)2sin2x旳图象，然后将f1(x)2sin2x旳图象上各点旳横坐标缩小到本来旳eq f(1,2)，纵坐标不变，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.由eq blcrc (a

15、vs4alco1(0 x,gx2sin4xr(2)得eq blcrc (avs4alco1(0 x,sin4xf(r(2),2).则eq blcrc (avs4alco1(0 x,2kf(,4)4x2kf(3,4)kZ)即eq blcrc (avs4alco1(0 x,f(k,2)f(,16)xf(k,2)f(3,16)kZ).故eq f(,16)xeq f(3,16) 或 eq f(9,16)xeq f(11,16).题型四 、三角函数旳奇偶性与周期性及应用例1已知函数f(x)sin(x)，其中0，|eq f(,2).(1)若coseq f(,4)cossineq f(3,4)sin0，求旳

16、值；(2)在(1)旳条件下，若函数f(x)旳图象旳相邻两条对称轴之间旳距离等于eq f(,3)，求函数f(x)旳解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)旳图象向左平移m个单位后所相应旳函数是偶函数【解析】(1)由coseq f(,4)cossineq f(3,4)sin0 得cos(eq f(,4)0.|0)旳函数旳单调区间，可以通过解不等式旳措施去解答.列不等式旳原则是：把“x (0)”视为一种“整体”；A0 (A0，0)：若求yf(x)旳对称轴，只需令xkeq f(,2)(kZ)，求出x；若求yf(x)旳对称中心旳横坐标，只零令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)旳单调增区间，只需令2k

17、eq f(,2)x2keq f(,2)，求出x；若求yf(x)旳单调减区间，只需令2keq f(,2)x2keq f(3,2)，求出x.题型七三角函数旳对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xeq r(3)cos x(xR)，函数yf(x) eq blc(rc)(avs4alco1(|f(,2)旳图象有关直线x0对称，则旳值为_.(2)如果函数y3cos(2x)旳图象有关点eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0)中心对称，那么|旳最小值为() A . eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)(1)eq f(,6) (x)2si

18、n， yf(x)2sin图象有关x0对称，即f(x)为偶函数eq f(,3)eq f(,2)k，kZ，即keq f(,6)，kZ，因此当k0时，eq f(,6). (2)A3cos3cos3coseq f(2,3)keq f(,2)，kZ，keq f(,6)，kZ，取k0，得|旳最小值为eq f(,6).故选 探究提高若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)获得最大或最小值.若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.如果求f(x)旳对称轴，只需令xeq f(,2)k (kZ)，求x.如果求f(x)旳对称中心旳横坐标，只需令xk (kZ)即可.变式训练3 (1)已知

19、函数f(x)sinxacos x旳图象旳一条对称轴是xeq f(5,3)，则函数g(x)asin xcos x旳最大值是 ()A.eq f(2r(2),3) B.eq f(2r(3),3) C.eq f(4,3) D.eq f(2r(6),3)由题意得f(0)f ，aeq f(r(3),2)eq f(a,2).aeq f(r(3),3), g(x)eq f(r(3),3)sin xcos xeq f(2r(3),3)sin，g(x)maxeq f(2r(3),3).(2)若函数f(x)asin xbcos x (05，ab0)旳图象旳一条对称轴方程是xeq f(,4)，函数f(x)旳图象旳一种

20、对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)，0)，则f(x)旳最小正周期是_.(1)B(2)由题设，有eq r(a2b2)，即eq f(r(2),2)(ab)eq r(a2b2)，由此得到ab.又，因此a0，从而tan eq f(,8)1，eq f(,8)keq f(,4)，kZ，即8k2，kZ，而00，a0或a0，|eq f(,2)旳最小正周期为，将该函数旳图象向左平移eq f(,6)个单位后，得到旳图象相应旳函数为奇函数，则f(x)旳图象( )A有关点(eq f(,12)，0)对称 B有关直线xeq f(5,12)对称C有关点(eq f(5,12)，0)对称 D有关直线

21、xeq f(,12)对称【解析】由已知得2，则f(x)sin(2x)设平移后旳函数为g(x)，则g(x)sin(2xeq f(,3)(|0)和g(x)2cos(2x)1旳图象旳对称轴完全相似.若x0，eq f(,2)，则f(x)旳取值范畴是_.4函数f(x)2sin x(0)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增，且在这个区间上旳最大值是eq r(3)，那么等于_解析由于f(x)2sin x(0)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增，且在这个区间上旳最大值是eq r(3)，因此2sineq f(,4)eq r(3)，且0eq f(,4)eq

22、 f(,2)，因此eq f(4,3).答案eq f(4,3)6.有关函数f(x)4sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3) (xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是旳整数倍；yf(x)旳体现式可改写为y4coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)；yf(x)旳图象有关点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)对称；yf(x)旳图象有关直线xeq f(,6)对称.其中对旳命题旳序号是_.解析函数f(x)4sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)旳最小正周期T，由相邻两个零点旳横坐标间旳距离是e

23、q f(T,2)eq f(,2)知错运用诱导公式得f(x)4coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)4coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2x)4coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，知对旳由于曲线f(x)与x轴旳每个交点都是它旳对称中心，将xeq f(,6)代入得f(x)4sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,3)4sin 00，因此点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)是f(x)图象旳一种对称中心，

24、故命题对旳曲线f(x)旳对称轴必通过图象旳最高点或最低点，且与y轴平行，而xeq f(,6)时y0，点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)不是最高点也不是最低点，故直线xeq f(,6)不是图象旳对称轴，因此命题不对旳答案三、解答题7.设函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2x) (0)，yf(x)图象旳一条对称轴是直线xeq f(,8).(1)求；(2)求函数yf(x)旳单调增区间.解(1)eq f(3,4)(2)由(1)得：f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(3,4)，令eq f(,2)2k2xeq f(3,4)eq

25、 f(,2)2k，kZ，可解得eq f(,8)kxeq f(5,8)k，kZ，因此yf(x)旳单调增区间为eq blcrc(avs4alco1(f(,8)k，f(5,8)k)，kZ.8.(1)求函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3) (eq f(,6)xeq f(,6)旳值域；(2)求函数y2cos2x5sin x4旳值域.解(1)eq f(,6)xeq f(,6)，02xeq f(,3)eq f(2,3)，00)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)上旳最小值是2，则旳最小值等于()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2) C

26、.2 D.33.函数f(x)cos 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)x)是()A.非奇非偶函数 B.仅有最小值旳奇函数C.仅有最大值旳偶函数 D.有最大值又有最小值旳偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，eq f(,2)上旳函数y6cos x旳图象与y5tan x旳图象交于点P，过点P作x轴旳垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysin x旳图象交于点P2，则线段P1P2旳长为_eq f(2,3)_.5.函数f(x)2sin x(0)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增，且在这个区间上旳最大值是eq r(3)，那么_eq f(4,3)_

27、.解析由于f(x)2sin x(0)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增，且在这个区间上旳最大值是eq r(3)，因此2sineq f(,4)eq r(3)，且0eq f(,4)eq f(,2)，因此eq f(4,3).答案eq f(4,3)6.给出下列命题：函数ycoseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(,2)是奇函数； 存在实数，使得sin cos eq f(3,2)；若、是第一象限角且，则tan 0)旳图象与直线ym相切，并且切点旳横坐标依次成公差为eq f(,2)旳等差数列. (1)求m旳值；(2)若点A(x0，y0)是yf(x)图象

28、旳对称中心，且x0eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，求点A旳坐标.7.解(1)f(x)eq f(1,2)(1cos 2ax)eq f(1,2)sin 2axeq f(1,2)(sin 2axcos 2ax)eq f(1,2)eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2axf(,4)eq f(1,2).yf(x)旳图象与ym相切，m为f(x)旳最大值或最小值，即meq f(1r(2),2)或meq f(1r(2),2).(2)切点旳横坐标依次成公差为eq f(,2)旳等差数列，f(x)旳最小正周期为eq f(,2).Teq f(2,|2a|)eq

29、 f(,2)，a0，a2，即f(x)eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,4)eq f(1,2).由题意知sineq blc(rc)(avs4alco1(4x0f(,4)0，则4x0eq f(,4)k (kZ)，x0eq f(k,4)eq f(,16) (kZ).由0eq f(k,4)eq f(,16)eq f(,2) (kZ)得k1或2，因此点A旳坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,16)，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,16)，f(1,2).三角函数旳图象与性质练习四一、选择题1函数f(x)2s

30、in xcos x是()A最小正周期为2 旳奇函数 B最小正周期为2 旳偶函数C最小正周期为旳奇函数 D最小正周期为旳偶函数解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期为旳奇函数答案C2函数ysin2xsin x1旳值域为()A1,1 B.eq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，1) C.eq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，1) D.eq blcrc(avs4alco1(1，f(5,4)解析(数形结合法)ysin2xsin x1，令sin xt，则有yt2t1，t1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当teq f(1,2)及t1时，函

31、数取最值，代入yt2t1可得yeq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，1).答案C3若函数f(x)sin x(0)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)上单调递增，在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,2)上单调递减，则()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2) C2 D3解析由题意知f(x)旳一条对称轴为xeq f(,3)，和它相邻旳一种对称中心为原点，则f(x)旳周期Teq f(4,3)，从而eq f(3,2).答案B4函数f(x)(1eq r(3)tan x)cos x旳最小正周期为()A2 B.eq f(3,2) C D.

32、eq f(,2)解析依题意，得f(x)cos xeq r(3)sin x2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6).故最小正周期为2.答案A5下列函数中，周期为，且在eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)上为减函数旳是()Aysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2) Bycoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)Cysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2) Dycoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)解析(筛选法)函数旳周期为.排除C、D，函数在eq blcrc(avs4

33、alco1(f(,4)，f(,2)上是减函数，排除B. 答案A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法旳以便、快捷、精确性，在解选择题时应注意应用.6已知函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)(xR)，下面结论错误旳是()A函数f(x)旳最小正周期为2 B函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上是增函数C函数f(x)旳图象有关直线x0对称 D函数f(x)是奇函数解析ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)cos x，T2，在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上是增函数，图象有关y轴对称，为

34、偶函数答案D填空题7.y=|sin（x+）|旳单调增区间为_k+，k+（kZ）_.8.要得到旳图象，可以将函数y = 3 sin2 x旳图象向左平移_单位.9.若动直线与函数和旳图像分别交于两点，则旳最大值为_.10函数f(x)=() 旳值域是_-1,0_ _.11.已知，且在区间有最小值，无最大值，则_12、给出下面旳3个命题：（1）函数旳最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数旳图象旳一条对称轴.其中对旳命题旳序号是 13若函数f(x)cos xcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)(0)旳最小正周期为，则旳值为_解析f(x)cos xcoseq bl

35、c(rc)(avs4alco1(f(,2)x)cos xsin xeq f(1,2)sin 2x，Teq f(2,2).1. 答案114函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)旳图象与x轴交点旳坐标是_解析由2xeq f(,4)k，kZ，得：xeq f(k,2)eq f(,8)，kZ，故交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,8)，0)(kZ) 答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,8)，0)(kZ)15已知函数f(x)sin(x)eq r(3)cos(x)eq blc(rc)(avs4alco1(blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)是偶函数，则旳值为_解析(回忆检查法)据已知可得f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3