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文档简介

1、线性代数及其应用单元要点总结第四章 向量空间4.1 向量空间与子空间1.证明一个 Vector Space：对加法和数乘封闭，并且 0 在其中；2.只有 0的子空间叫 zero subspace，写成0;3.R2 不是 R3 的子空间，因为 R2 甚至都不是 R3 的子集；4.R3 中不过原点的平面，R2 中不过原点的直线不是一个子空间，因为 0 不在其中；5.如果 v1vp 在向量空间 V 中，则 Spanv1vp是 V 的一个子空间；4.2 零空间，列空间，线性变换1.零空间 NulA：Ax=0 的解集2.列空间 ColA：Spana1a2，其中 a1a2 是矩阵A 的列向量3.mn 矩阵

2、A 的零空间是 Rn 的子空间，列空间是Rm 的子空间4.证明一个变换是线性变换：T(u+v)=T(u)+T(v)，T(cu)=cT(u)5.（这一节最后提到了两个不太重要的名词）kernel of T：满足 T(u)=0 的 u 集；range ofT：T(x)的集合。如果 T 为矩阵变换（T(x)=Ax），那么 kernel of T 就是 NulA，range ofT 就是 ColA4.3 线性无关集，基1.线性无关集（定义）：v1vp满足 c1v1+cpvp=0 只有平凡解，即 c1=cp=02.只有一个向量的集合是线性无关集（该向量不得为 0）；有两个向量的集合，如果其中一个是另一个

3、的倍数，则该集合为线性相关集；如果 0 在某集合中，那么该集合一定是线性相关集；3.v1vp（v10）是线性相关集4.基：=b1bp是空间 H 的基，如果满足B 是线性无关集；H=Spanb1bp5. 对于 nn矩阵In，它的各列2.如果 V 有有限集合，dimV=V 的基中向量的个数（要用定理去掉是其他向量线性组合的向量），dim0定义为 03.dim Rn=n，dim Pn=n+1（P 为多项式）4.基定理：设 V 是 p 维向量空间，则 V 中任意一个有 p 个元素的线性无关集都是 V 的基，另一种表述是，任何有 p 个元素且V 的集合都是 V 的基5.dim NulA：Ax=0 中变量的个数6.dim ColA：A 中主元列的个数4.6 秩1.行空间：ColAT=RowA2.如果 A,B 行等价，则 RowA=RowB；如果 B 是阶梯型，那么 B 的非 0 行就是 RowB（也即 RowA）的一组基，下面这个例题很好地说明了行空间、列空间、零空间的区别：3.矩阵的秩：rA=dim ColA（rAT=dim RowA）4.秩定理：rA+dim NulA=n5

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