7一阶电路和二阶

1、第7章动态电路的时域分析7.17.27.37.47.5一阶电路的零输入响应一阶电路的零状态响应一阶电路的全响应二阶电路冲击响应一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路。NLCRC电路RL电路N7.1零输入响应(zero-intresponse)激励(独立电源)为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应。7.1.1RC电路的零输入响应S (t 0)i+RUoucRCCuCt=0：uC(0)=U0；t=0：开关S换路。i微分方程及响应：由KVL得： Ri + 0)RCuCduC uC 0(t 0)uC(0-)=U0RCdtuC (0 ) uC (0 ) U0此微分方程的特征方程为：

2、1 1 p RCp 1 0RCtuC (t) Ke(t 0)uC (0 ) Ke U00RCuC (0 ) U 01tuC (t) U 0eV (t 0)RC波形： 1 t RCuU 1 te RCi A(t 0)iC R0 e Ru (t) U 0)V (tC0uC+U0RCuCuC(0+)=U00.368U00.0.135U0tt电压、电流均从t=0+开始以同一指数规律衰减到零。电容电压在t=0连续，随时间增长下降趋于0；电容电流在t=0时发生了跳变。（电容电压在换路后突然加到电阻上的结果）。随电容电压的下降衰减直至。02iCU0/R368U0/R0时间常数：uC0在给定电压初值的情况下，

3、C越大，电容中多，放电时间越长；R越大，放电电流越小，放电时间越长；衰减快慢取决于RC乘积 RC的电荷越 RC 欧法 欧 库 欧 秒 伏伏1p 020iC368U0.360.13U0/R0/RtU08U05U0t时间常数：U00.368 U00.135 U00.05 U00.007 U0经过45，电容电压衰减至初值得0.7%，可以认为放电已经结束；p与电路的输入无关，仅取决于电路的结构和参数，称为固有频率。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。t0235tuc U0 e U0U0 e -1U0 e -2U0 e -3U0 e -5能量：i+RCuCu (0 )=U+C0w (0 ) 1

4、 CU 2t=0时刻电容的初始储能为：C02在整个过渡过程中，电阻吸收的总能量为：R(U01 t RC00Ri2dt 220w (0, ) ) dt CU2eRR电阻消耗的能量等于电容元件所的初始能量。7.1.2RL电路的零输入响应Li1Lt=0：iL(0)=I0，t=0：S：122I0RL diLRi 0t 0LdtiL (0 ) iL (0 ) I0iL特征方程：Lp+R=0RLttiL Ke iL (0 )eA(t 0)时间常数： LRtttuL RiL RI0e V (t 0)i i (0)e I eA(t 0)LL0iLtti i (0)e I0e 0)A(t-LLtRuLL RiL

5、 RI0e V (t 0)uL+uLiLI0t0.368I00.135I0t-RI0电压、电流以同一指数规律衰减。电感电流在t=0连续，随时间增长下降趋于0；电感电压在t=0时发生了负跳变。随电感电流的下降衰减直至。计算RL 电路的零输入响应关键是：电感的初始电流； 时间常数 。02例1：i (0+)=150mA。求t0时u (t) 。6i(t)+方法1：列微分方程由KVL得： 6i(t)+4i(t)+0.1u(t)=u(t)即：10i(t)=0.6u(t)0.3 di(t) 10i(t) 00.1u(t)u(t)0.5H4-10i(t) 0.6(L di(t)dti(0) 150mAdt解微

6、分方程得：100 ti(t) 150emA(t 0)3100 tdi u(t) L 2.5eV (t 0)3dt6i(t)方法2：求初值和时间常数+u(t)0.1u(t)0.5H4计算时间常数端口等效电阻为：R=50/3=L/R=3/100s-60.1u(t)R初值 i (0+)=150mA：4t100 ti(t) i(0 )e 150emA(t 0)3100 t5050u(t) i(t) 0.15eV333100 t 2.5eV (t 0)36方法3: 计算u初值和时间常数：iL(0+)+0.1u(0 )+u(0+)4-：0+时刻等效电路0.15 6 0.15 0.1u(0 ) 4 u(0

7、)u(0 ) 1.5 / 0.6 2.5Vt100 tu(t) u(0 )e 2.5eV (t 0)3例2：换路后电路：uC(0+)=1V。求零输入响应uC 、i1、i2。1i1i2解：+1iC2u2Ci12i1RRi1计算端口等效电阻为：R=5+uCRC=RC=5sttuc uc (0 )e e 5V (t 0) t2 tu1i2 2i1 e 5 A(t 0)i e 5 A(t 0)c R515例3：S闭合前电路处于稳态，R1=1，R2=2，R3=3，C1=1F，C2=2F，IS=1A 。t=0时k闭合，求零输入响应uC1 、 uC2 i1、i2 、i2 。R1R2i1i2i+uC2+uC1

8、C1R3IsS图(a)解:(1)求初始状态t=0-R2R1+uC1图(b)u(0)=(R +R )I =5V，C 123SR3IsuC2uC2(0)=R3IS=3Vt=0由电容电压的连续性：uC 1(0+)= uC 1(0)=5V；uC 2(0+)=uC 2(0)=3VC221i1（2）求时间常数：i2i+uC1+uCR1i11F2F1A3+u图(a)1=R1C1=1s，C1C1图(c)R2i2R=R2/R3=1.22=RC2=2.4s+uC2R3C2图(d)uc1 t tt i1 5eA(t 0)u u 5e V (t 0) 3e 2.4V (t 0)(0)eR1c1c1 t t t uc

9、23 1.5e 2.4 A(t 0) iuc 2i I uc 2 (0 )e23 2R t t i i 1 5e1.5e 2.4 A(t 0)s22零输入响应的基本性质：一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 ,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。ty(t ) y(0 )e衰减快慢取决于时间常数RC电路 = RC , = L/RRL电路同一电路中所有响应具有相同的时间常数。零输入响应是初始值的线性函数，满足：性，可加性。 tuC U0et 0U ：0 tuC KuC KU0et 0KU ：0 t t tu (U U U UU+U：)eee0102C010201027.2零状态响应(z

10、eroseresponse)电路的初始状态为零，仅由初始时刻施加于电路的非零输入激励（nonzero ints )所产生的响应。储能元件的初始能量为零。响应仅与输入有关。输入函数有常量函数、阶跃函数、正弦函数及它们的组合，不同的输入函数产生的零状态响应是不同的。7.2.1直流激励下的零状态响应一、RC电路的常量输入的零状态响应RS (t 0)RucCUsucCUsRC duCu Ut 0t=0：uC(0)=0CSdtuC (0 ) uC (0 ) 0微分方程及响应：duC uURCCS(t 0)uCdt（1）(0 ) uC (0-) 0方程的通解解答形式为：uchu非方程的特解RC duC u

11、 0方程的通解u为：chCdtt Ke(t 0)uchRC特解ucp和输入函数Us具有相同的形式，为常量，代入（1）中（t 0）ucs t RC（1）式的解为：uch Ke Us (t 0)u（2）初始条件uC (0+) =0带入（2）可解得常数K为：K=-USRiCa+uCUsCtt Us (1 e RC )V (t 0)b tduU C c RC A(t 0)ics edtRiCUS/RucuCPUs t0.368US/R0uCHt-Us0能量：iRaC tuc Us (1 e RC )(t 0)+uCUsC t duU C c dtRC (t 0)is e Rcb在整个过渡过程中，电阻吸

12、收的总能量为：US100 twR (0, ) 222Ri dt dt CUS )R(eCR2在整个过渡过程中，电容吸收的总能量为：1122Sw () CU() CUCC22在整个过渡过程中，电压源提供的能量有一半被电容吸收，一般被电阻消耗。时间常数(RC)：uC/UsiC1.00.865tu U (1 e RC )(t 0)0.632cs t u 1 e RC (t 0)c ust020.63220.86530.9540.98250.993tuC /US0+01时间常数决定了过渡过程的进程，与激励无关。响应不同，时间常数的意义不同。对于响应uc，即等于电容电压上升到稳态值63.2%所需的时间。

13、经过5，电容电压至稳态值得0.993%，可以认为已经达到稳态。0US/RS/RtucuCP稳态分量与暂态分量：Us ttuc uch ucp U se Us (t 0)RC0uCH-Us稳态分量(强制)暂态分量()暂态响应 (transient response) ：方程的通解不受输入的制约，称为分量（固有响应）(natural response)。该响应随时间的增长而衰减到零，又称为暂态分量。稳态响应 (forced response) ：特解受电路输入的制约而与电路的初始状态无关，称为强制分量；电路达到稳态后，电容元件的稳态电压等于 ucp，所以ucp又称为强制分量。随时间的增长，零状态响

14、应趋近于稳态响应 (t=5) 。此时，通过电容的电流为零，电容如同开路一样。在进入直流稳态之前，电路处于过渡状态。7.2.2阶跃响应电路的初始状态为零，仅由阶跃响应。阶跃函数引起的响应称为RiL(t)+uL已知 i (0-)=0，求阶跃响应i 和u 。LLLL以iL为变量建立输入-输出微分方程：L diL Ri (t)LdtiL (0 ) iL (0-) 0求解该一阶线性非微分方程得：L di Ri (t)LLdtiL (0 ) iL Rt(0-) 0 Rt L11) (t) ) (t) AiL iLh iLp (ke(1 eLRR Rt Ldi (t)V LL dt euL求阶跃响应可视为求

15、常量输入为1的零状态响应，但在其结果表达式中应乘以（t）。U tiL S (1 e ) A(t 0)RtuL US e V (t 0)7.2.3正弦电源激励下的零状态响应电路的初始状态为零，电压源us=Umsin(t+)，开关k在t=0时闭合，此时的响应由正弦输入电压源引起。K(t=0)例：C以uc为变量建立输入-输出微分方程：RC duC uUmsin(t )CdtuC (0 ) uC (0 ) 0+Rius-u (0 ) 0CCduC uC Umsin(t )RC(t 0)uCdt(0 ) uC (0-) 0uchu解答形式为：RC duC u 0方程的通解u为：chCdttt ke st

16、 ke ke(t 0)uRCch特解和输入函数具有相同的形式，设ucp= Ucmsin(t+ ) ，代入方程中得：umucm(RC ) 2 1 tan 1 RC t于是：um sin( t tan1 RC )u kec(RC ) 2 1代入初始条件，求出k： tuu m sin( tan 1 RC )ec(RC ) 2 1umsin( t tan 1 RC )(RC ) 2 1正弦稳态下电路的响应(uc)为与输入具有相同角频率的正弦量tuc Us Use RCV (t 0)7.2.4零状态响应的线性特性与时不变特性1、线性特性零状态响应是激励的线性函数，满足：性，可加性。若激励源增大k倍，则零

17、状态响应也增大k倍。满足性。当有多个独立电源作用于电路，相应的响应为每个输入产生的响应的叠加，满足可加性。tuc Us (1 e )(t 0)uC kuC kUs (1 e )(t 0)US：tkUS ：t )US1+US2： uc (U s1 Us 2 )(1 ett Us1 (1 e ) Us 2 (1 e )(t 0)2、时不变特性对任一线性时不变电路，若输入延迟t0秒，则它产生的零状态响应也延迟t0秒。RiL例： Us+uL若us= （t）+2 （t-1），求iL。L R令us = （t），则)，由us引起的iLR根据线性时不变特性R：1)3、微分或积分特性对任一线性时不变电路，若输入

18、x（t）引起的零状态响应为y（t）。当输入改变为x（t）的微分或积分时，它产生的响应为原响应y（t）的微分或积分。y(t)dy(t)x(t)：dx(t) :dtdttty(t)dtx(t)dt :00例4：L1=1mH，L2=2mH，R=3k，US=3V，t=0时K闭合，求零状态响应uL1与uL2。+ uL1iKL1R+uL2US解：求时间常数L=L1+L2=3mH L 1106 s R求初值和稳态值（特解）L2 USi (0 ) i (0-) 0 1mAipRi 1 e106 t A(t 0) L di e106 tV (t 0) uL11dt L di 2e106 tV (t 0)uL22

19、dt例5：R1=1，R2=2，C=3F，iS=1A，K打开前电路为零状态。t=0时K打开，经过6秒后，K又闭合，求t0时的uC 。R1+uCiS解：CR2K图(a)0t6s ：R1R R / R 2 +uC(2)2=RC=2s123CR2图(c) tR(1)1uC (6 ) 2(1 e 2(1 e) 1.26 V6 )t 6u(2) (6 ) u(1) (6 ) 1.26 VCC t6 t6(2)(2) uC(6 )e2 1.26eVt 6uC2uC(V)1.6t(s)26(2)uC(1)uC7.3全响应(completeresponse)在非零初始状态的动态电路中，由输入激励与原始状态共同作

20、用产生响应称为电路的全响应。全响应=零输入响应+零状态响应。全响应=暂态分量+稳态分量，这是由电路的输入输出方程直接求解的结果。全响应的稳态分量等于零状态响应的稳态分量；全响应的暂态分量等于等于零状态响应的暂态分量与零输入响应之和。一、一阶电路的全响应及其两种分解方法7.3.1RC电路的全响应电路的初始状态为uC (0-)=U0，开关在t=0时闭合，求uc 。S(t=0)R+uCC以uc为变量建立输入-输出微分方程：duC u uRCCS(t 0)uCdt(0 ) uC (0-) u0+USduC u uRCCS(t 0)uCdt(0 ) uC (0-) u0微分方程的通解为：ttuch ke

21、A ke Us (t 0)uRCRC带入初始条件uC(0+)=U0得：k=uC(0+) -Us所以：uc uC (0 ) - Uset Us (t 0)RC7.3.2全响应的分解：(1)全响应 =强制分量(稳态解)+分量(暂态解)tuc uC(0 ) - Use Us (t 0)RCuc稳态分量ucU0全响应t0uCh暂态分量U0 -US(2)全响应= 零状态响应 + 零输入响应ttuC US (1 e ) Uc (0 )e(t 0)R零状态响应零输入响应+uC+CUSuC(0-)=U0RR+uC+uC+CCUSuC(0-)=U0uC (0-)=0=ttuC U S (1 e零状态响应) U

22、0 e(t 0)零输入响应0tUSU0uC全响应零状态响应零输入响应7.3.3求解一阶电路的三要素法a d yd tbyc一阶电路的数学模型是一阶微分方程：ty (t ) y p K e其解答一般形式为：y(0 ) ypK令 t = 0+0K y(0 ) yp y(0 ) yp0yp y()对于常量输入，则ty (t ) y ( ) y (0) y ( ) e(t 0 )ty (t ) y ( ) y (0) y ( ) ey ( )稳态解起始值时间常数 y ( 0)三要素 三要素的确定时间常数: =R0C 或=L/R初始值y（0+）：用电压为uC（0+）的直流电压源代替电容活用电流为iL（0

23、+）的直流电流源代替电感，画出t= 0+时刻的等效电路计算y（0+）稳态值y（ ）：用开路代替电容、短路代替电感画出t=时刻的等效电路，计算y（ ）例1已知： t=0时合开关求换路后的uC(t) 。2+1uC3F-1A解：uC (0 ) uC (0 ) 2V1）、求初始值：C 2 3 2 s2）、求时间常数： R等32u () 1 0.667V3）、求稳态值：C2 1 tuc (t ) uc () uc (0 ) uc ()e 0.667 (2 0.667)e0.5t 0.667 1.33e0.5tt 0例2: 计算 uc （ t0）.微分方程法:duC uC 10 11+uc-t 01A10

24、V1Ft 0-dt duC1u 11CdtuC (0 ) 10V uC (0 )tuC ke11tuC (10 11)e11Vt 0三要素法 11 1suC () 11VuC (0 ) 10V1tuc (t) uc (0 ) uc ()e uc ()C+1H例3: 计算 uab（ t0）.iLt=iL (0 ) iL (0 ) 1A1ab 0.5s+uLc1Ai () 0.5AL2tiL (t) 0.5 (1 0.5)eA1H(0 ) u(0 ) 3VuCCiL C 2suC () 2V1Fcbacu (t) 2 (3 2)e0.5t V+-ucC1A1Auab (t) 1 (1 iL ) u

25、C (2.5 0.5e2t e0.5t )V0F-例4：US=6V，R1=R2=1，C=0.5F，原K1、K2打开，C上无电荷；t=0时K1闭合，求uC (t)，又当t=2s时，K2又闭合，求uC(t)。R1K1C+ uC 解：UsK2R2图(a)0t2 等效电路如图b所示计算三要素：uC（）=US=6V，R1C+ uC u(0 )=u(0)=0，C+CUsR21=C(R1+R2)=0.52=1suc uc () uc (0 ) uc ()e 6(1 et )V (0 t 2)图(b)tR1R1K1CC+ uC+ uC UsK2UsR2图(a)图(c)uC(2-)t2等效电路如图c所示：uC(

26、2-)=6-6e-2=5.19 V计算三要素：uC （） = US =6V，t2u(2 )=u(2 )=5.19 V，uc uc () uc (2 ) uc ()eC+C-2=R1C=0.5st2 6 0.81eV (t 2)全响应与激励和初始值的关系零输入响应是初始值的线性函数：性 可加性零状态响应是激励的线性函数：可加性性全响应不是激励的线性函数全响应=零输入响应+零状态响应7.4二阶电路二阶电路及能量能用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路，有两个独立的储能元件。iu0+u+u0CCCCLLLCLdi 0电容放电电容充电初始时刻，与初始时刻相同。dt电容电压为0，电流为最大值，能量存入电感

27、电流增长电流减小u（0 -） uci（L 0 -） 00uL+ii+u0CCCCCL由电容和电感两种不同储能元件场和磁场之间往返转移.的电路中, 储能在电电流和电压不断改变大小和极性, 形成周而复始的震荡.这种由初始储能引起的震荡是等幅的.如果电路中存在电阻, 则振幅不可能相等, 幅度将逐渐衰减而趋于0.如果电阻过大, 储能在初次转移时被电阻吸收, 则不会产生震荡.u0L+uL+iL+uL7.4.1RLC串联电路零输入响应(t=0)uC(0-)=U0i(0-)=0已知iR+uL+求uC(t) , i(t) , uL(t) .ucLCi C duC2 uCL d id解Ri uu 0 LCuLL

28、C2dtd td td2uduRCu 0LCC dt 2C dtCUC (0) U0 dU RCP 1 0LCP 2特征方程为1CC i(0) 0dtt 0RC 4LCR2C 2RR1P )2(1,22LC2L2LLC-R( R )2 1R( R )21p p 122L2LLC2L2LLC根的性质不同，响应的变化规律也不同LCR 2二个不等负实根称为过阻尼情况；LCR 2二个相等负实根称为临界阻尼情况；LCR 2称为欠阻尼情况；二个共轭复根L(t=0)R 2一 .p,p不等的负实根12CiR+uL+uC K1eK2ep tp tucL12CuC (0 ) U0 K1 K2 U0duC(0 )

29、0 p Kp K 01122dtp2p pK1 Up102121U0up ep( p ep tt )12C21p p21-U0up ep( p ep tt )12C21p p21设 |p2| |p1|uc|S1|小0p2 p1U0t0p2 p1|S2|大U0u( p ep t p ept )(t=0)12C21p p21iR+uL C duC CU0 p1 p2+ep(ep tt )iuL12CcL( p p )dt21t=0+t=iL=0 ,iL=0uci设 |p | |p |U210t = tm 时i 最大tmtd i L=0可解得i 达到极值的时间t为：令Lmd t1ln p1t=mp-

30、 pp212-U0u( p ep t p ept )(t=0)12C21p p21iR+uL C duC CU0 p1 p2+ep(ep tt )iuL12CcL( p p )dt2U01u L di P e p( P e p tt )u (0)=U12L12P )L0dtuc i( PuL()=0210 t 0t tm设 |p2| |p1|U0i 减小,uL 2tmuL 衰减加快ln( p1)2由 du/ dt =0可确定u 为极小值的时间 tp2LL 0t 2tm2p t2p tp ep e12p2 p112-能量转换关系uciU0uC(0+)=U0i(0+)=0tm0t0 t tmuc减

31、小，i 减小.RR+CCLL-非振荡放电过阻尼L二. R 2特征根为一对共轭复根C0RR1 2LLC2p1,2()2LdR1R )2 2令220-(d2LLC2L衰减因子 固有振荡角频率（阻尼振荡角频率）0 无阻尼振荡角频率p2 jd则：p1 jduC的解答形式：u e t ( A cos )C1d0u e t ( A cos)C1dd由初始条件 U0u (0 ) UA1 A UCduC010 AU(0 ) 0 A 0A201d2dtd(cos t sin u e tUt)C0dddU0 e t(cost sin t)dddd tan1 dU0 e t 2 sin(t )2ddde t U00

32、sin(t ) Ke tsin(t )dddu Ke t sin(t )sin t tan1 d Cdi C duC U0etLU00ddtK u L di 0U esin( t )tL0dtuc Kesin( t )tU0uCtKei+2-2-t0uLKetuC零点： t = -，2-. n- ， uC 极值点为i零点。i 零点： t =0, ，2. n， i 极值点为uL零点。uL零点： t = ,+，2+ . n+能量转换关系 t - uC减小，i 减小- t |uC |增大，i 减小0 t 0+ )电路列写微分方程求特征根，由根的性质写出求强制分量（稳态分量）分量（积分常数待定）全解=

33、分量+强制分量将初值f (0+ )和f （0+ )代入全解，定积分常数求响应物理过程，画出波形7.5冲击响应冲激函数激励下电路中产生的零状态响应1 .分二个时间段来考虑冲激响应0-0+0+例1.电容充电零输入响应+iiCtsuCRC- uC(0-)=0C duc uc (t )(1). t 在 0-0+间dtRuc 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立du0dt C0cdt=1=01Cu (0 ) u (0 ) 1u (0 ) u (0 )cccCC电容中的冲激电流使电容电压发生跳变0 uc dt0R0 (t )dt0ic+uc(2).t 0+零输入响应 （RC放电）RC t1-uc t 0

34、1eRCu (0)CcC tu1u c t 0ieRCC1cR1RCC tteRC (t )ucC0iC(1) tRC (t )1ei (t ) cRCt1RC例2R在 0-0+间(1).ti+(t )-+LuLdiL (t )LL RiLi 不可能是冲激-Ldti (0 ) 0diL000 (t )dtdt dt LRiLLdt000010LdiL 1iL (0 ) LuL (t )定性分析：(0) 100i (0 ) i 1uLdtLLLL110i L (0 ) i L (0 ) L 0 uLdt LRiL(2).t 0+RL放电+i (0 ) 1uLL- LLR t1iiL t 0Le1

35、LL tRuL iL R t 0e0utLLt1 (t)e (t )iLLttRRuL (t ) e (t )LL2.由阶跃响应求冲激响应e(t )R(t)阶跃响应s(t)阶跃 (t)冲激 (t)冲激响应h(t) (t) d (t)dh(t ) s(t )dtdt零状态证明： (t ) (t )s(t)h(t)f(t)f (t ) 1 (t ) 1 (t )1t11 1 s(t ) s(t )h(t ) lim 1 s(t ) s(t ) ds(t)dt0注意：s(t)定义在（- ，）整个时间轴零状态零状态例1u (0 ) 0已知：c+iiCsu求： i(t)为冲激时电路响应sCRC-uC(t)和 iC (t)is (t)= (t ) = RC) (t )先求uC(