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1、大学 20092010 学年第二学期高等数学 C（二）（A 卷）参考与评分标准一、 填空题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1 351363A ( n 1)2.只有零解3.4.5.328二、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1D2.D3.B4A.5.D三、计算题（本题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）zz1. ln y xln y1 , xln y ln x 1xyydz z dx z dy ln y xln y1dx xln y ln x 1 dyxyy2. D ( x, y) | 0 x y,0 y 1121yDye dxdy dyye

2、 dx =xx003. 设抛物线 y 2 4x 上一点(x, y) 到直线 x y 4 0 的距离d 最短。则d 。由题意，构造日函数如下2L (x y 4)2 ( y2 4x) 2(x y 4) 4 Lx求偏导L 2(x y 4) 2y ，解得唯一驻点(1,2) 。yL y2 4x32所以d 。24. 因为1 ，2 ，3 线性无关，所以， 1,2,3 0 ，11031b2 a 2b 1 0即 a11x y 4x y 41t401 的矩阵为 t0) 2t5.解法一： f (12因为二次型正定，所以顺序主子式均大于零A1 1 1 0 ， 1t4 (2 t)(2 t) 0 ，所以 2 t 2A2t

3、1t401A t0 4 2t 2 0 ，所以2 t 2312综上， 2 t 2 。解法二：利用初等变换 1t 24 10 2 t400400 21t1 0 040 t t002 12 02 02因为 1 t 0 ，所以2 t 2 。24 1 ，收敛域(1,1)6.收敛半径limn设在收敛域上， nxn1 S (x)n 1x逐项积分有 S (t)dt ntdt xxn 1xntdt xn 1n 1= 1 xn000n 1n 11xx所以， S (x) () ( S (t)dt)。1 x(1 x)20四、综合分析题（共 10 分）3 ) 是对应特征值 1的特征向量，T设 (则( ,1) 0 。32

4、anan 1解得2 (1,1,0) ， (1,0,1) 。TT3构造矩阵 P , , ，由实对称矩阵性质知： P1AP diag(2,1,1)123 21 10131 A Pdiag(2,1,1)P 1101五证明题（本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1、( A E)( A2 3A 3E) 4E所以( A E) 可逆，且( A E)1 1 ( A2 3A 3E)42、 E A ( 2)( 1)( 1) ，矩阵 A 的特征值为2,1,1，所以 A 相似于对角矩阵diag (2,1,1) .同理 E B ( 2)( 1)( 1) ，矩阵 B 的特征值为2,1,1，所以 B相似于对角矩阵diag

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