21-22版 无理数指数幂及其运算性质

1、4.1.2无理数指数幂及其运算性质第四章4.1指数1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质.学习目标伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数.世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数.从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数

2、和分数以外，还存在着一种新数.给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称为“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”.导语随堂演练课时对点练一、无理数指数幂的运算二、实际问题中的指数运算三、实数指数幂的综合运用内容索引一、无理数指数幂的运算问题阅读课本108页的探究，你发现了什么？提示可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应.知识梳理1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确定的.2.实数指数幂的运算法则(1)arasars(a0，r，sR).(2

3、)(ar)sars(a0，r，sR).(3)(ab)rarbr(a0，b0，rR).实数注意点：特别强调底数a0，如果a0)；解原式 a01.(3)解原式 .反思感悟关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母均是正数)：解原式 26m364m3.(1) ；(2)解原式 a01.二、实际问题中的指数运算例2从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体

4、积之比低于10%.4所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.反思感悟指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.跟踪训练2如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成_个.64解析经过1小时可分裂6次，可分裂成2664(个).三、实数指数幂的综合运用例3(1)已知 ，则x2x2_.7则xx13，两边再平方得x2x229，所以x2x27.(2)已知xx17，求值： ；解设m ，两边平方得m2xx12729，因为m0，所以m3，即 3.x2x2.解设n

5、 ，两边平方得n2xx12725，延伸探究本例(2)的条件不变，求x3x3的值.解由xx17平方可得x2x247，所以x3x3(xx1)(x2x21)746322.反思感悟利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.x2x2(xx1)2 2，xx1 ，跟踪训练3已知am4，an3，则 的值为1.知识清单：(1)无理数指数幂的运算.(2)实际问题中的指数运算.(3)实数指数幂的综合运用.2.方法归纳：整体代换法.3.常见误区：在运用分数

6、指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.课堂小结随堂演练12341.计算 的结果是1234A.B.C.D.12343.已知 5(x0)，那么 等于解析 527.又x0，故 .1234解析10 x3，102x9，4.若10 x3,10y4，则102xy_.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知集合A0,1,2,4，Bx|x2n，nA，则AB等于A.0,1,2 B.0,1,4C.2,4 D.1,2,4解析由题意得B1,2,4,16，又A0,1,2,4，AB1,2,4.2.对于a0，b0，以下运算正确的是A.arasa

7、rs B.(ar)sarsC. arbr D.arbs(ab)rs12345678910111213141516解析根据实数指数幂的运算性质进行判断.123456789101112131415163.下列运算中正确的是解析 ，故A错误；(a2)3a23a6，(a3)2a6，故B错误；，故D正确.123456789101112131415164.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为A.2.56厘米 B.5.12厘米C.10.24厘米 D.20.48厘米解析0.0121010.24(厘米).12345678910111213141516a2b

8、1.123456789101112131415166.(多选)已知a2a23，则aa1等于解析(aa1)2a2a225，123456789101112131415167解析原式2417.123456789101112131415168.化简_.1解析原式123456789101112131415169.已知xx13(x0)，求 的值.解因为xx13，所以x2x27，所以 x3x32(xx1)(x2x21)236220，所以 2 .12345678910111213141516123456789101112131415综合运用1611.在算式2中2国2精2神29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为A.4 B.3 C.2 D.1解析由291684124232220，可得“国”字所对应的数字为3.1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意得m0，2am,5bm，2 ，5 ，25 ，1234567891011121314151614.已知2x8y1,9y3x9，则xy_.27解析由2x8y1，得2x23y3，所以x3y3.由9y3x9，得32y3x9，所以2yx9.联立，解得x21，y6，所以xy27.拓广探究1234567891011121314151615.22k122