考研资料试题(线性代数部分)

1、考研试题（线性代数）部分汇编05 年一、选择题（）设1, 2 是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是1 ,2，则 1,A( 12)线性无关的充分必要条件是（）。（A） 10（B）20（C）1 0（D） 20（）设 A 为(n 2)阶可逆矩阵，交换的第一行与第二行得到矩阵B，*ABA , B分别是矩阵的伴，随矩阵，则（A）交换C）交换二、填空题）。A*的第一列与第二列得B*（ B）交换 A*的第一行与第二行得B*A*的第一列与第二列得B*（ D）交换 A*的第一行与第二行得B*（） 设1 , 2 , 3 是三维列向量， 记矩阵 A(1 ,2, 3)，B ( 123 , 12243,1

2、 3293 ) ，如果 A1，则 B。三、解答题（）已知二次型f ( x1 , x 2 , x3 ) (1 a) x12(1a ) x 22 2x322(1a) x1 x 2的秩为求 a 的值；求正交变换 X QY ，把二次型f ( x1 ,x 2 , x3 ) 化成标准形；求方程f (x1 , x2 , x3 )0 的解123（）已知阶矩阵A 的第一行是 (a,b,c) ，a,b,c 不全为零， 矩阵 B246 （ k 为常数），且 AB0 ，36k求线性方程组AX0 的通解年一、选择题（ 11）设 a1, a2 ,L, a, 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（ A）

3、若 a1 , a2, L, a, 线性相关，则Aa1, Aa2 ,L, Aa, 线性相关 .（ B）若 a1, a2, L, a, 线性相关，则Aa1, Aa2 ,L, Aa, 线性无关 .（ C）若 a , a , L, a, 线性无关，则Aa1, Aa2 ,L, Aa, 线性相关 .12（ D）若 a1, a2 ,L, a, 线性无关，则Aa1, Aa2 ,L, Aa, 线性无关 .【】（ 12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第2列得C，考研110记 P 010，则001（A） CP 1AP （B） C PAP1（C）

4、CPT AP（ D） C PAPT【】二、填空题（ 4）点 (2,1, 0) 到平面 3x4y5z0 的距离 z =（数一）（ 4）已知 a , a为 2 维列向量，矩阵A(2 a1 a2 , a1a2 ) ， B(a1, a2 ) 。若行列式|A| 6，12则|B|=（数四）（ 5）设矩阵 A21， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足 BAB 2E，则 B=.12三、解答题x1x2x 3x 4120 已知非齐次线性方程组4 x13x 25x3x 41 有3个线性无关的解ax1x23 x3 bx41 证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA2 求 a,b 的值及方程组的通解 （数一）20设 4 维向

5、量组TTTTa1(1a,1,1,1)，2(2, 2a, 2, 2)， a3(3, 3, 3a, 3)， 4(4, 4, 4, 4 a)，aa问 a 为何值时 a1, a2 , a3 , a4 线性相关？当 a1a2 a3 a4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。 （数四）21 设 3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3, 向量1,2,T0,T11 , 21,1 是线性方程组 A x =0的两个解 , ( ) 求 A 的特征值与特征向量( ) 求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QTAQ.年一、选择题（ 7）设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组线性相关

6、的是（）（A） 12 , 23 ,31 （ B）12 , 23 , 31 （C） 122,223 , 32 1（D）122,223,32 1 211100（）设矩阵A121 ， B010则 A 与（）112000（ A）合同，且相似（ B）合同，但不相似（ C）不合同，但相似（ D）即不合同，也不相似考研二、填空题01000010（）设矩阵 A00，则 A3 的秩为010000三、解答题x1x2x30（）（分） 设线性方程组x12x2ax30与方程 x12 x2x3a 1x14 x2a2 x30有公共解，求a 的值及所有公共解（）设阶对称矩阵A 的特征值 11,2 2,32，1(1,1,1)

7、是 A 的属于特征值1 的一（分）T个特征向量，记B A54 A3E ，其中 E 为阶单位矩阵 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量求矩阵 B年一、选择题（ 5） 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若A30 ，则（）。（ A）EA 不可逆， EA 不可逆（ B）EA 不可逆，E A可逆（ C）EA可逆， EA 可逆（ D）EA可逆， EA 不可逆x（）设 A 为阶实对称矩阵，如果二次曲面方程( x , y, z) A y1在正交变换下的标准方程的图形如图，z则 A 的正特征值个数为（）（图形为单叶双曲面）（ A） （ B） （C） （ D）（数一

8、）（）设 A12，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）21（ A）21（ B）21（ C）21（ D）12（数四）12121221二、填空题（ 1）设 A 为阶矩阵，1,2 为线性无关的二维列向量，A 10，A 22 12 ，则 A 的非零特征值为（数一）（ 2）设阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式A0，则 r ( A)（数四）（）设阶矩阵A 的特征值1， 2，2，则 4 A 1E（数三）三、解答题（） （分） ATT ，,是三维列向量，T 是 的转置，T 是 的转置证r(A)2 ；若，线性相关，则 r(A)2. （数一）考研2a1（分）a22aOT，（）设矩阵 AO2a1，现矩阵 A 满足方

9、程 AX B ，其中 X (x1, x2 ,L , xn )a22an nB(1,0,L ,0)T 求证：A(n1)an ；a 为何值时，方程组有唯一解，求x1 ；a 为何值时，方程组有无穷多解，求通解（数一）（数四的题）（）（分 设 A 为阶矩阵，1 ,2 为 A 的分别属于，的特征向量，向量3满足A323 证明 1, 2,3 线性无关；令 P(1, 2,3)，求 P1AP （数四的题）年数学一一、选择题（5） 设 1, 2,3 是三维向量空间R3 的一组基，则由基1, 12 , 13 到基2312 ,23 ,31 的过渡矩阵为（）。111111101120244222111111（A）22

10、0（B） 02 3（ C）（ D）246444033103111111246666（）设A, B均为 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若A ， 3，则分块矩阵62A , BA, B2 BOA 的伴随矩阵为（）BO（A）O3B（ ）O2B（ ）O3A（D）O2A2 AOB3AOC2BO3BO二、填空题（13）若3维向量， 满足T2，其中T 为 的转置，则矩阵T的非零特征值为。三、解答题1-1-11（20）（ 11分）设 A -111，-10-4-22求满足 A 21，A 231的所有向量2，3 ；考研对中的任意向量2， 3，证明1，2， 3线性无关 。（ 21）（ 11分）设二次型 f (x1, x2

11、 , x3 )ax12ax22( a 1)x322x1 x2 2x2 x3（）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（）若二次型f 的规范形为 y12y22，求 a的值 .数学二一、选择题（）设A, B均为 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若A ， 3，则分块矩阵72A , BA, B2 BOABO的伴随矩阵为（）（） O3B（ ） O2B（）O3 A（） O2 AA2 AOB3AOC2BOD3BO100（8）设 ， 均为 阶矩阵，PT为 的转置矩阵，且TAP010，若P (1,2,3),A P3PP002Q ( 12, 2, 3),则QTAQ为（ ）210110200100（A）1 1 0（B）1 2

12、0 （C）0 10 （D）020002002002002二、填空题（14）若3维向量， 满足T2，其中T 为 的转置，则矩阵T的非零特征值为。三、解答题1-1-1-1（22）（ 11分）设 A -111， 1求满足 A21，A 231的所有向量2， 3；0-4-2-2对中的任意向量2， 3，证明1，2， 3线性无关 。（ 23）（ 11分）设二次型 f (x1, x2 , x3 )ax12ax22( a1)x322x1 x22x2 x3（）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（）若二次型f 的规范形为 y12y22，求 a的值 .数学三一、选择题考研（ ）设A, B均为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若A ， 3，则分块矩阵52A , BA, B2 BOABO的伴随矩阵为（）（A） O3B（B） O2B（C）O3A（D） O2 A2AO3AO2BO3BO100（6）设 ， 均为 阶矩阵，PT为 的转置矩阵，且PTAP010，若P (1,2,3),A P3P002Q ( 12, 2, 3),则QTAQ为（ ）210110200100（A）1 1 0（B）1 20 （C）0 10 （D）020002002002002二、填空题300（13）设TT,若矩阵T 相似于000，则 。(1,1,1) ,(1,0,k )k000二