公开课：选修 直线与椭圆的位置关系 教学设计

1、PAGE PAGE 11公开课：选修2-1 教材及学情分析：本节课是选修21第二章圆锥曲线与方程中2.2.3椭圆的简单几何性质第二课时在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系在选修2-1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。“直线与椭圆的位置关系”是在学生已学过“直线与圆的位置关系”、“椭圆及其标准方程”及“ 椭圆的简单几何性质”的基础上，利用

2、椭圆的标准方程研究具体的二次曲线的几何性质的实例.从知识上讲，它是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究圆锥曲线几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了直线与椭圆位置关系的重要地位.本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想，设而不求思想等因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是研究解

3、析几何的基本问题之一；一方面使学生理解掌握直线与椭圆的位置关系，提升计算能力；另一方面直线与椭圆的位置关系从代数和几何两个角度去研究，充分体验坐标法的数形相结合思想；以及用坐标法研究曲线的性质有较强的规律性；体会如何用代数方法研究直线与曲线的位置关系问题。教学目标1知识与技能目标：掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系.(1)若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据来讨论.(2)直线与椭圆的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决能求解直线与椭圆相交弦的问题，具体有：相交弦的长，有弦长公式|AB|=.2过程与方法目标：通过对图像

4、和方程研究椭圆的几何性质，体会数形结合的思想方法，培养学生综合运用能力以及归纳能力；通过对性质的应用，体会理论用于实践、是解决问题的基础，自觉养成运算能力、动手、动脑的良好习惯。3情感态度价值观目标：通过数学与探究活动，引导学生观察、思考、合作、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过问题的处理体会到直线与椭圆的位置关系问题解决的艰辛过程和创新的乐趣，树立学习数学的兴趣和信心。重点、难点教学重点：理解直线与椭圆的位置关系的判断方法；会用坐标法解决简单的直线与椭圆关系的问题；理解弦长公式并能运用之求椭圆与直线相交时的弦长问题。 教学难点：直线

5、与椭圆相交时的弦长问题的求解教法与学法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程本节课采用“情境创设问题探究应用巩固反思提高”的课堂教学模式；并以学案引导和多媒体手段辅助教学。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。教学多媒体选择与应用：使用实物投影及多媒体辅助教学。教学过程:（一）课前准备（知识储备）1 ； ； ；2一元二次方程ax2+bx+c=0中，当0时，方程 实数根；当0时，方程 实数根；当=b24ac0时，方程有 实数根，此时设其两根

6、分别是x1，x2，那么x1x2 ，x1x2 （韦达定理）； 3. 直线（倾斜角90）经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)两点,则直线的斜率k=tan= ；线段P1P2的中点M坐标( ， )且= 。 4经过点且斜率为直线方程为 。5点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d 6两平行直线：AxByC10与：AxByC20 (C1C2)间的距离为d_ 7 ； (其中)（二）复习引入： 知识的回顾与理解：椭圆的图形和概念；两条基本线；七个基本点；四个基本量；两个标准方程。由此引入课题“直线与椭圆的位置关系”（说明本知识点是高考考查的热点和重点）复习提问1：直线与圆的位置关系

7、有哪几种？如何判定？ 直线与圆的位置关系有：相交、相离、相切三种（画出图形给予说明解释）。直线与圆的位置关系的判定方法：(1) 几何法（利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系）：则相交；相离；相切；(2) 代数法（利用直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（三）类比思考，获得新知： 问题2：直线与椭圆有怎样的位置关系？又是如何判定？1、直线与椭圆的位置关系有：相交、相离、相切2、直线与椭圆的位置关系的判定：代数法将直线方程与椭圆的方程联立成方程组；代入消元，得到关于 x(或y)的一元二次方程；求出其判别式的值；比较与0的大小关系：方程组有两解直线与椭圆有两个交点相交；方程

8、组有一解直线与椭圆有一个交点相切；方程组无解直线与椭圆无交点相离。3、直线与椭圆相交弦长的计算：直线y=kx+m与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，由消去y得，整理得，则x1,x2是上述方程的两根，(注意0的条件)0 所以 （四）例题解析，巩固新知：例1已知椭圆：，直线：，求椭圆上任一点P到直线距离的最大值。【解析】设与椭圆相切并与直线平行的直线方程为，由消去y得，化简得，所以与椭圆相切的两切线方程为。将m=6代入0所以此时椭圆与直线的相离。由图易知直线与椭圆的切点到直线的距离最大，直线与直线间距d=。所以椭圆上任一点P到直线距离的最大值为。解法二：椭圆C上任意一点P坐标可设

9、为 (2cos,3sin)，则P到直线的距离为，其中，.当时，d取得最大值，最大值为。例2 已知点A（0，-4），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为。(1)求椭圆E的方程；（2）设过点A且斜率为1的直线与椭圆E相交于B，C两点，求弦BC的长。解：(1) 由已知右焦点F(c，0) ，由条件知，得 又，所以a=4， ，故椭圆E的方程. （2）依题直线的方程为y=x-4，由消去y并整理得，解得所以，所以弦长。或设则，所以弦长变式1：求OBC的面积。变式2：过点A的直线与椭圆E相交于B，C两点，弦长，求直线的斜率。 变式3：设过点A的直线与椭圆E相交于B，C两点，当 OBC的面积

10、最大时，求直线的方程.随堂练习：已知倾斜角为300的直线过椭圆x2+2y2=4的左焦点，直线与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|。 解：依题椭圆x2+2y2=4 的左焦点为，直线的斜率k所以直线的方程为，代入椭圆方程x2+2y2=4并整理得，则，所以弦长（五）课堂小结：1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法： 位置关系：相交、相离、相切； 判定方法（代数法）：将直线方程与椭圆的方程联立成方程组，代入消元,得到关于 x(或y)的一元二次方程，求出其判别式的值，比较与0的大小关系 。2、弦长的计算方法：弦长公式：（六）课后作业，巩固提高 (学有余力的学生全做)JS2015-2016高二数学直线与

11、椭圆的位置关系校本作业班级 姓名 座号 建议完成时间50分钟1如果椭圆的弦被（1，2）平分，那么这弦所在直线方程为（ ）A、2x-y=0 B、2x+y- 4=0 C、2x+y-6=0 D、x+2y-6=02直线l：yxa与椭圆eq f(x2,4)y21相切，则a的值为()A5 B5 Ceq r(5) D.eq r(5)3当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？4已知倾斜角为的直线L过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长。*5求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.*6如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心作直线与椭圆相交于、两点，若的面积是，求该直线方程.1、B 2解析：用判别式等于零

12、求解答案：C3解：由得， 当，即时，直线和椭圆相交；当，即时，直线和椭圆相切；当，即或时，直线和椭圆相离.说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断.4解：设直线与椭圆的交点为， 由椭圆的方程知，所以所以右焦点F(，0) ，由直线L的倾斜角为，知直线的斜率为1，所以 直线L方程为由消去得，弦长5、解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能为弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，则，消去得，又为弦的中点，即，从而直线方程为（法二）设直线与椭圆的交点分别为，则，得：，为中点，即，所以，直线方程为说明：1法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系； 2法二中求中点弦的方法叫做“点差法”，该方法常用来处理与斜率有关的中点弦问题.6解：，可设所在直线方程为，（斜率不为零）由消去得：，由得，直线的方程为，即说明：此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况.附加阅读：已知椭圆，求（1）斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程.解：（1）（法一）设弦所在直线方程为，由消去得：，即，