新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 4.4.1　对数函数的概念 4.4.2　对数函数的图象和性质 课件（32张）

1、4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质1.会求简单对数函数的定义域,能用描点法画函数图象.2.掌握对数函数的性质,会解简单的对数不等式.3.知道对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为反函数及它们图象的特点.一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+).对数函数的概念定义y=logax (a0,且a1)底数a10a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x

2、对称.反函数1.函数y=log2(2x)是对数函数.()2.函数y=ax与y=logax的单调区间相同.()提示:当a1时,函数y=ax的单调递增区间为R,函数y=logax的单调递增区间为(0,+);同理当0a0,且a1)与y=logax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称.()4.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+).()提示:由对数式log3(x+1)的真数x+10可得x-1,所以函数的定义域为(-1,+).5.对于底数a1的对数函数,在区间(1,+)内,底数越大,其图象越靠近x轴.()判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .对数函数的图象及其应用1.对数型函数图象过定

3、点问题求函数y=m+loga f(x)(a0,且a1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.3.函数y=logax(a0,且a1)的图象与函数y=lox(a0,且a1)的图象关于x轴对称设f(x)=logax(a0,且a1),则y=lox=-logax=-f(x),由于函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称,所以函数y=logax(a0,且a1)的图象与函数y=lox(a0,且a1

4、)的图象关于x轴对称.4.函数图象的变换规律(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.已知a0,且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是(B)思路点拨可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单调性来判断.解析解法一:首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C,然后,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又

5、可排除D.故选B.解法二:若0a1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且ab10,则abc的取值范围是.思路点拨作出方程左边对应函数y=|lg x|的图象,找出图象与直线y=c的交点,由交点得到a,b的范围进而得到结论.解析由题意知,在x(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点,作出函数y=|lg x|的图象与直线y=c,如图所示,结合图象可知,|lg a|=|lg b|=c,又ab10,-lg a=lg

6、 b=c,ab=1,0c0,且a1)的定义域时,应首先保证f(x)0. 求对数型函数值域的常用方法(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=mf(logax)2+nf(logax)+c(m0,a0,a1)时,可以用配方法求函数的值域.与对数函数有关的定义域、值域问题(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a0,且a1)的函数值域的步骤为换元,令u=f(x),利用函数的图象

7、和性质求出u的范围;利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=.解析(1)由题意得解得x-1,且x999,函数的定义域为x|x-1,且x999.(2)由题意可得loga(4x-3)0loga(4x-3)loga1,当a1时,有4x-31,解得x1,当0a1时,有04x-31,解得1时,函数的定义域为1,+);当0a1,0a0在1,2上恒成立.当a1时,若f(x)0在1,2上恒成立,则x+11在x1,2上恒成立,即x0在x1,2上恒成立.a1,01,-20,x0,与x1,2矛盾.当0a0在1,2上恒成立,则0 x+11在x1,2上恒成立,即-1x

8、0在x1,2上恒成立.由x1,2得解得a1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0a0得x(-,-2)(4,+),令t=x2-2x-8,则y=ln t(t0).要求f(x)的单调递增区间,且y=ln t是增函数,根据复合函数的单调性可知,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间即可.x(4,+)时,t=x2-2x-8为增函数,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+),故选D.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a0,且a1).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在

9、区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.解析(1)设t(x)=3-ax,a0,且a1,t(x)=3-ax为减函数,x0,2时,t(x)的最小值为3-2a,当x0,2时,f(x)恒有意义,即x0,2时,3-ax0恒成立,3-2a0,a0,且a1,实数a的取值范围是(0,1).(2)假设存在这样的实数a. 由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.f(x)在区间1,2上为减函数,y=logat在区间1,2上为增函数,a1,又x1,2时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在

10、区间1,2上为减函数,并且最大值为1. (1)应用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同增异减”的原则判断函数的单调性或利用函数的最值解决恒成立问题.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(记作H+,单位mol/L)和氢氧根离子的物质的量的浓度(记作OH-,单位mol/L)的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-lgH+,健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间.比较对数的大小问题1.健康人体血液中lg 的范围是多少?提示:H+OH-=10-14,=1014,7.

11、35-lgH+7.45,10-7.45H+10-7.35,10-0.9=101410-0.7,-0.9lg baB.cabC.acbD.abc思路点拨不同底的对数比较值的大小时,可以找中间值0,1等比较.解析a=log23-1,b=log34-1,log23=lo33=log827,log34=lo42=log916,log827log927log916,log23log34,log23-1log34-1,即ab,log23log24=2,log23-1log33=1,log34log23-1,即ca,cab,故选B.对于底数以字母形式出现的对数的大小比较,需要对底数a进行讨论.对于不同底的对

12、数,可以估算范围,从而借助中间值比较大小.1.对数不等式的解法要点(1)根据a1或0alogab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借助函数y=logax(a0,且a1)的单调性求解;(3)形如logf(x)alogg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解.对数不等式的解法(1)已知log0.3(3x)log0.3(x+1)1,则x的取值范围为;(2)若loga,故x的取值范围是.(2)loga1,即loga1时,函数y=logax在定义域内是增函数,所以logalogaa总成立;当0a1时,函数y=logax在定义域