试题.试卷--数值分析考试题目汇编全套

1、 Ch1、引论1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：数值逼近一插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2Ch3)；数值积分与微分(Ch4)；数值代数一求解方程(组)以及特征问题的数值方法 (Ch6Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。2、数值分析的特点首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；(见例3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如 Cooley 和 Tukey1965 年提出 FFT, N2 2N l

2、ogN，N=32K，1000 倍。例1、分析用Cramer法则解一个n阶线性方程组的计算量。解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个n阶线性方程组需计算 n T个n阶行列式，而用定义计算n阶行列式需n! n-1次乘法，故总计共需n，1 n! n1二n V ! n1。此外，还需n次除法。当n =20时，计算量约为n V ! n-1 = 9.7 1020次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算 3000多年才能完成。可见，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；截断误差(方法误差)一模

3、型的准确解与数值方法准确解之间的误差；舍入误差一实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。 数值分析主要研究截断误差与舍入误差。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2n HYPERLINK l bookmark497 o Current Document Xxa例2、根据Taylor展式ex =1亠xRn(x)计算e_ (误差小于0.01)。 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2!n!解:e1 (-1)丄2!34.(-1). (-1)3!4!、1 - 1 丄

4、（截断误差）:0.3667 （舍入误差）。6241 202、误差的基本概念（1）误差与误差限设x为某量的精确值，x为x的一个近似值，则称 e = x-x为x的（绝对）误差， e； = x-xj x为x*的相对误差。用某种方法确定的误差的某个上界；称为x；的误差限，显然x-x；|兰/，即X； - e兰x兰X； + z，= E；/ X；称为x；的相对误差限。误差限取决于测量工具和计算方法。(2)函数值的计算误差设A二f(XX2,，Xn)，XXn,，人为X1 , X?,，X.的近似值，则* * * * *e A A -A = f(X1,Xn, ,Xn)-f(X1,X2, ,Xn)lj=-*rTayl

5、or 展式):f(X1 JXn) XXkR1(x1,x2, Xn)(多元函数一阶lj=-*J(X1 , X2, Xn)xk-Xk )记为 f ek，n(A；)八kT*1 / ；、 名（Xk ）。 少k 一3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例3、计算Indx（n =0,1,2,6），并做误差分析。5xn -5xn 厂1 _dx =-51心-10 x 5nX1 O-1 dx0 x 5=In:0.1823 F0i； =0.1823算法1:1，结果见下表。卩；一5鳥+ n又X X ,- In -, I -0.02619 =1；。x 556(n 1)5(n 1)2 6 75 7算法2:i

6、 ； =0.026191 n -In结果见下表。n算法1算法2准确值00.18230.18230.182310.08850.08840.088420.05750.05800.058030.04580.04310.043140.02080.03440.034350.09580.02810.02856-0.31250.02620.02435误差分析算法1:*(1厂，1UI *1u I| *.n . *=n - 丨 n=.-51 n1-一 5I n4 = 5 I njL - I n=5 I 0 _ I 05丿W丿En=5n Eo，即在计算过程中误差放大了 5n倍。算法2：*II1 n - 1 11

7、n-l；1I广_ 1 |I 0 I 055-5I；打-_5n|Eo即误差缩小了 5n倍。定义1：若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定 的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例 4、将方程 p(x) =(x-1)(x-2) (x-20) = 0，即 x20 -210 x19200改为摄动方程 x20(210；)x19 丁20! = 0，即 p(x) - x19 二 0 ,其中；=23 10。Wilk in son用精密方法计算出其根为：1.0000, , 6.0000, 6.9997,8.0073, 8.9173,10.0953 _0.6435i, 19.502

8、4 _1.9403i,20.8469。令 p(x, ；) =x20 -(210；)x1920!,其根为 x(), i = 1,2, 20 ,则当 0时，人(乞)一 i。显然dN (呂)反映了初始数据的微小摄动对Xj(E)的影响程度即问题的条件数。dx (&)因p(Xi(,三0，故且丄d名名i19Xi2011(kd-j)二(i - j)14 14 1810-10*101104101920106 109107（坏条件问题）定义2:若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病 态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。例5、分别将线性方程组10787 勺2、乍7565X2

9、231=X =86 109X333175910;宀丿I1丿的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下:10 787勺2.1 9.2、7565X222.9-12.6=X =86109X333.14.575910 丿.30.91 一1j,z1078.17.2f 、X1勺2,z-817.085.0465X223X =13785.989.899X333-34Q.994.9999.98 丿g22丿然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。这表明此方程组为病态方程组。4、算法的实现与常用的数学软件用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：（1）用Fortran、C、VB、V

10、C等自编程序；（2）借助于现成的数学工具软件。目前常用的数学软件约 30余个，可分为通用与专用两大类。专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。1、SAS和SPSS （统计分析）；2、Lin do、Lingo和CPLEX （运筹与优化计算）；3、Cayley和GAP （群论研究）；4、PARI （数论研究）； 5、 Origin （科技绘图与数据分析）;6、DELiA （微分方程分析）等。通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。数值计算型： Matlab、Xmath、Gauss、MLAB 和 Origin 等。解析计算型： Maple、Mathematica、Macsyma、Ax

11、iom 和 Reduce 等。其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”。Matlab意思为“矩阵实验室”，是美国计算机科学家Cleve Moler在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab最突出的特点是其带有一系列的“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab也可进行符号计算，不过它的代数运算系统是从Maple移植过来的。Mathematica是美国物理学家

12、Stephen Wolfram开发出的第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起 的数学软件，在国内较为流行，拥有广泛的用户。Mathcad是MathSoft公司在80年代开发的一个交互式数学文字软件，与Matlab和Mathematica不同的是，该软件的市场定位是：向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境， 而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题，具有面向大众普及的特点。不过，新版Mathcad的计算能力已远远超出了其早期的设计目标。Maple是加拿大 Waterloo大学符号计算研究小组于80年代初开始研发，1985年才面世的计算机代数

13、软件，起初并不为人们所注意，但Maple V release 2于1992年面世后，人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统。随着版本的不断更新，Maple已日益得到广泛的承认和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高，从1995年以后，Maple 直在IEEE的数学软件评比中居符号计算软件的第一名。目前，Maple的最高版本为 Maple V release 11。第一章上机实验目的: 1、熟悉Maple中的定义函数、解方程、积分、循环语句和列表等命令;2、通过具体问题的计算，加深对数值稳定性和病态问题的理解。实验内容:1、设 ln = xnex4dx, n= 0,1,，由 I。= 1e

14、茫0.6321, ln=1 nln_4得算法In-0.6321nx-4n-x e x ,1 1I n，取丨9、0.06839，从而e(n 1)n 1又得算法二：:0683；。分别用上述两种算法计算I 0,I1，丨9 ,根据计算结果判定Jn=（1Tn） n其数值稳定性，并给予证明。2、将方程 p(x) =(x -1)(x-2) (x -20) = 0,即卩 X20 -210 x20!= 0 改为摄动方程x20 -(210 ；)x1 20! =0，对不同的；求解此方程，观察；对解的影响程度， 判定此方程是否为病态方程。0 ： c，且测量a,b,c的误差分别215、已知三角形面积 S二丄absi n

15、c，其中c为弧度,2AS满足-a+Ab+Ac。，s|ac为：a ：b ：c，证明面积的误差证：根据零阶多元 Taylor公式：S =才 a ：a b ：b sin c：c -absinc中:：S111 lc bsinc -a asinc =babcos 3 lc2 2 2 3S a :b cos c r ：c c，S a b sin csi nxcos x n x-x，则 f x 二cos 二 xcos2 x u 12得 COS = X cos x n X ，因 ”.X Ux, 0 ： j ：1，从而 0 ： x : x n x ：2即 f x ，0。又 f 0 = 0，故 f x ，f 0

16、= 0，即 cos x :丄sin x x鬥+愕卜迴兰绍羽钳+Ch2、插值法、插值问题引例：矿井中某处的瓦斯浓度 y与该处距地面的距离 x有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(x, yj(i =0,1,2,川,10)，根据这些数据完成下列工作：(1) 寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。第一个问题可归结为已知函数在x0 , x1 , xn处的值，求函数在区间X0,Xn】内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数

17、外推插值区间外的数据会产生较大的误差。解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系f(x)，由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。定义：设目二f (x)在a, b 1中n 1个点X0 : Xi Xn处的值射=f (xj为已知，现根 据上述数据构造一个简单函数p(x)，使p(xj二yj，这种问题称为插值问题。f (x), p(x),xi, p(xj二yj分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。若p(x)为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。定理1：在插值节点x,xi，,Xn处，取给定值y,yi,yn，且次数不高于n的插值多项式

18、是存在且唯一的。证：令 p(x) =a0 yx爲*anxn，p(x0)= a。+aix + +anp(Xi) =a。+aiXi 十.+anX；f(Xn) =a +aixn + +anX：则根据插值条件 p(xj二yj有下列等式=y=yi(关于aj的n i阶线性方程组)=yn其系数行列式是范德蒙(Va ndermo nde)行列式X0XinX0nXi=Xi -Xj = 0。 n_i JnXni Xn根据克莱姆法则，此方程组存在唯一解a0,ai，an，即p(x)存在且唯一。2、Lagrange 插值1、线性插值与抛物插值线性插值XXXX记为Li(x)-y0-y yi(x) yih(x)，X。_Xi

19、Xi_X其中l0(x),li (x)称为线性插值的基函数。抛物插值设 L2(x)二 A(x -xj(x - x2) B(x x0)(x- x2) C(x - x()(x - xj，分别令x = x0,x ,x2，即得X0.50.60.7f(x)-0.693147-0.510826-0.356675x 为x 0.6x x0 x0.5l(x) =-10 x +6,h(x)二0 =10 x5， x10.5 0.6xi x00.6 0.5解:例1、已知函数In x的数据如下，分别用线性插值和二次插值求In(0.54)的近似值。y。yiy2A,B,C ,，(x0 1)()x2)(x1 x0)(x1 x2

20、 )(x2 x0)( x2 x1 )故L2(X)讣旦込2力 UX2)(x0 x1 )(x0 x2)(x1 冷)(x1 - x2)(x x )(x x )记为y2、1、= yl(x) y1h(x)yzUx)，(x2 - x0 )(x2 _ x1 )其中I。(x),li (x)2 (x)称为抛物插值的基函数。2、Lagrange插值多项式定义：对n 1个插值节点x0,x1，xn，令lk(x)= HgxJx-XkJgXn) , k=0,1, n， (Xk X。)(Xk Xk)(Xk XkG (Xk Xn)则显然I k (xi) = *1 k = in0 k 知。此时，Ln(X)恋 yklk(x)满足

21、(H ,n)称k=0之为Langrange插值多项式,lo(x), h(X),ln (x)称为Lagrange插值的基函数。1 n/XX Xjn1 i于Xj -Xi 丿yj。Jn编程时宜用Ln(x)=vj=03、插值公式的余项定理2:设f(n)(x)a,b上连续，在(a,b)内可导，则以插值多项式Ln(x)逼近f (x)的截断误差(即余项)f (n北化)R(X)二 f(X)- -(X)二 丿n(n 1)止八)，5)。L1(xy0l0(x) y1l1(x) =1.823210 x-1.604752ln(0.54)：丄(0.54) = 0.62021860ln (0.54)0.6161861396

22、二06 七0750 x2 _65x 210.5 - 0.6 0.5 - 0.7li(x)二(x -x)(x -X2)(xi x0)(xi x2)100 x2 120X-35l2(x)= (X-X0)(X-Xi)(X2 Xo)(X2 Xi)x-0.5 x-0.60.7-0.5 0.7-0.6-50 x2-55x I50.6-0.5 0.6-0.7L2(x)二 y0l0(x) yili(x) y2l2(x)二-i.408500 x2 3.37256CX - 2.027302In(0.54)：丄2(0.54) = -0.6I6838200ln(0.54) - -0.6I6I86I396、逐次线性插值

23、法对插值节点xo,xi,及对应的函数值 y,yi,yn，用ik,k=0,i,2表示个非负整数序列，将k i个节点，xik所确定的不高于k次的插值多项式记为Po，ii； ,ik（x），则R ii (X) p i，i (x)icii ,ik_2,iki0,i1, k Pih(X)= Rc J (X)X-Xj，X10 二 P(x)Xi11 = P (x)10.7143 讥(x)X212 二 P2(x)10.6819 二10.7228 二 P0i2(x)Xik Xik例2、根据下表近似计算1 kCik-1k -1k =0k =1k =2k = 3Xyo = R (x)Xiyi 二 Pi (x)P0i(

24、x)X2y2 二 P2（x）P02 ( X)P012 (x)X3y3 =P3(x)P03 ( X)P013(X)P0123(X)即k次插值多项式可以用两个 k -1次插值多项式通过线性插值获得一逐次线性插值。Aitken 算法：y二f （x）在x =115处的值。X3 13 二 P3 (x)10.6522 二 P03 (x)10.7221 二卩阴(x)10.7223 二 Po (x)F0i(x) =P(x).R(x)-P(x)X1 x0X -xo =1011-10121-100115-100 =10.7143同理可得 P2(x), P03 (x)。P2(x) - F01(x)10.6819-1

25、0.7143 “F012(x)二 P)1 (x)- 一 x-X1 =10.7143115-121 = 10.7228x2 捲144 121类似可得P013(x)。P013 (x) P012 (x)P3123 (X) = P12(x)亠 竺 x - X2 =10.7236,X3 X2故、115 =10.7238。4、均差与牛顿插值公式1均差(差商)及其性质定义：f X,X1丨=f-X0称为f (X)关于X0, X1的一阶均差;X0 X1f X,X1,X2 1 =f X0, X11- f &1,X2X0 _X2称为f (x)关于X0 , X1, X2的二阶均差;类似地可定义n阶均差X?八n0,X1

26、，XnfX0 _Xn定理:殳0,为,，Xn 心。，即n阶均差可表i=0 (Xi X0 T (Xi Xi_j (Xi Xi41(Xi Xn )示为f(xj的线性组合，从而 n阶均差与节点的排列次序无关。证：当 n=1 时，右=f(x0)-心)=很0必=左X。X1 X1 -X0X0 X1不妨假设n -1成立，则0,为，Xn,X1 , Xn 4X0fL f “1,X2,Xn 12,1X0 Xnf (Xi)Xi -XXinXn f (Xi)(Xi X1 厂(Xi Xn ) 1iiXoXnf (Xo) *f (Xi) Xn)i=1 (Xi Xo 厂(Xi Xn(Xi Xi 广(Xi Xn )f (Xn)

27、Xn - Xi XnXn)?f(Xo)Xo Xn1X。-Xnn Az伪X。广(Xi XnJ(Xi Xnf(X ) X - Xn丫f(Xi)(XiXo)乙(人Xo % Xi广(人Xnf(Xo)Xn - Xo .：.Xn - Xi ! I Xn Xn Jni =9f (Xi)Xi XoX XiX Xi 1 X Xn2、牛顿插值公式设插值节点Xo，N，Xn上的插值多项式为p(x) =aoai(x-Xo)a2(x - Xo)(xXi)an(x-Xo)(x - xn)。分别令X =Xo,Xi,Xn，则有P(xo) = 0) = f (xo)；p(Xi) =aai(Xi - Xo) = f (Xi)；:-

28、 ;从而 af(xo), ai(Xi)-f(Xo) = fxo,Xi 1，Xi -Xoa2 八 二 fXo,Xi,X2 an = f Xo,Xi,，Xn 1, 故 p(x)二 f Xo 1 f o,Xi !x Xo f Xo,Xi,X2 -Xo XXi 亠 亠 f Xo,Xi/ ,Xn -Xo X-Xi X-Xn4 牛顿插值公式。例 3、P34K=oK=iK=2K=3K=4K=5o.4oo.4io75o.55o.578i5i.ii6ooo.650.69675i.i86ooo.28oooo.8oo.888iii.27573o.35893o.i9733o.9oi.o2652i.384ioo.433

29、48o.2i3ooo.o3i34i.o5i.25382i.5i533o.52493o.22863o.o3i26-o oooi2fX,x3%4黑罕 “60。,x0 x1f Xo,Xi,Xf-X0 , X1LflxiQ 1.116 - 1.18628ooo。0.40 - 0.65N4(x) =0.41075 1.116(x 一 0.4) 0.28(x 0.4)(x 一 0.55)0.19733(x -0.4)(x-0.55)(x -0.65)0.03134(x -0.4)(x -0.55)(x -0.65)(x -0.8)f (0.596) ： N4(0.596) =0.63195。、差分与等距节

30、点插值公式1差分及其性质二 Xo kh, (k 二 0,1,n)，记 fk = f (xj。向前差分：fk向后差分：5中心差分：fk二阶差分：2fkn阶差分：Tfk不变算子I与移,由fk二fk 1 -k(1)差分类似于微分的性质定义：对等距节点xkkd ；二 f (Xk) - f (Xk) = fk .1k:f2 - 2 f k 1 fk ； nJ k 1 一E，即IfkEfkfk 二 Efk - Ifk= (E-I)fk，:fk gk = fk Qk gk 1 %d f g = fdg gdfn 4、fk9k = fngn 一 fog。v gk ,fkk =0k =0(2)函数值与差分可相互

31、线性表示Tfk = E -1 n fk 八(-1CnEn4fk 八(T)cn fn kJb-gdfai =0i =0nfn -k 二 E“ fk 二 | 亠| fk = 7 C： J fk(3)差分与均差的关系1 1f I.Xk,Xk iJI|,Xk mm mfk，m=1,2,川 n。m! h证：m = 1时,fkh_ f (xk 1 ) - f (xk )xk+ _xk假设m -1时成立，则f Xk,Xk .1,Xk，m|f Xk 1 ,Xk .m 1 - f Xk ,Xk1Xk m Xk11.mJ11. m J fm fk 1mfk(m1)! h(m1)! h兀 m 一 xk1 1(m-1

32、)! hmJ匕心(兀)mhm!hm m rfk2、等距节点插值公式令 x = x0th，则 x - x0 = th， x - = x -(x0 h) = (t - 1)h,，x - xk a = x - X0 (k -1) h I - t -(k -1) h。代入牛顿插值公式得nf(x)二 f x,X1, , Xk ,Xo XX1 XXkk=aJ fokk=o k!ht(t-1) t-(k-1)hk，)二 fo t ：fok =ok!t(t - 0. 2 f 一 一一 t(t _) (t _ n 0. n2! on!、Runge现象与高次插值的讨论1、Runge 现象12i例4、 f(x)2,

33、 -1乞x1，节点Xj二1,i=o,1，1o，求插值多项式1+25x1oP(x)。n #n 解：p(x)二 f(Xi)lj(x)10次 Langrange 插值多项式结果如下：10-5 98-8-5 7-220.9417439 x -.12 10 x 1.000000000 494.9095054 x -.20 10 x .22 10 x-16.85520363 x2 -381.4338247 x6 .11 10-6x3 -.7 10-6x5 123.3597288 x42、讨论节点的增多固然能使插值函数 p(x)在更多的地方与f(x)相等，但在两个节点之间 p(x) 不一定能很好地逼近 f(

34、X)，有时差异很大，所以在实际中，高次插值( 7次以上)很少使 用；可将a,b 1分成若干小区间，在小区间内用低次(二次，三次)插值，即分段低次插值， 如样条函数插值。7、三次样条插值分段低次插值：(1)分段线性插值(连续)；(2)分段Hermite插值(导数连续)；三次样条插值(二阶导数连续)。1三次样条插值函数能够逐段表示成三次多项式且二阶导数连续(具有二阶光滑度)的函数。定义：设s(x) C2 a,b】，且在xxii =0,1,n-1上为三次多项式，其中 = x0 :捲：Xn = b，则称s(x)为a, b 1上的三次样条函数。若对给定的yi = f(xj (i =0,1,n)， s(x

35、)满足s(xj = %，则称s(x)为三次样条插 值函数。边界条件: 第一种边界条件：S(Xo) = f(Xo), S(Xn)二f (Xn)固支梁条件;第二种边界条件：S (Xo) = f (Xo), S g 二f (Xn)简支梁条件。 特别地，S (Xo)= f (Xn)=0时的样条称为自然样条。2、三弯距方程与三次样条的计算记s (Xj)rMj (i =0,1, n)弯距，因s(x)在Xi, Xi 1 1上为三次多项式，故 S(X)为一次多项式，可令X丄一XX XS(X)= M i M j 彳Lagrange 线性插值。Xi 卑 一XiXi* Xi对S(X)积分两次并代入s(Xi) =yi

36、, S(Xi 1)1，得如MT MM i hi2 fx“ 一 XMi訥八y _Q 6丿hi%卅一a6丿(xXi 3 丄i1-6hTx-xhi其中h =Xj卅一人 i =0,1，n 1。对s(x)求导得S (x), x Xi, Xi 1，从而可得hihiyi 1 - yis (Xi 0) M i M i TOC o 1-5 h z 6hi HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 类似可得 s(Xi -0)=hklMiJ hkMi丛63hj _i HYPERLINK l bookmark235 o Current Document 利用 s (xi -

37、 0) = s (xi0)得UMi2Mi 皿彳 7 (i =1,2, n-1)，hihi 4hi, d6fX,XiJ-fXi-,Xilh 4 hihid hi对第二种边界条件，M。二f,Mn二fn，则关于弯距 Mi(i =0,1，n)的矩阵方程_2 九 1M。11厶八0IVI 0u0气2M1d12+ +*m2=d22n X厶M n 4dnx-An2 一1Mn 一1 1dn 一其中，o = 0, do =2fo , Jn - 0, dn =2fn。上述方程称为三弯距方程， 其系数矩阵为三对角， 可用追赶法求解。求出M i代入s(x)即可得每个lxi, xi勺1上的s(x)表达式。例5、求 6例中

38、的三次样条插值函数 s(x)(自然样条)。解：s(x)表达式如下： TOC o 1-5 h z .46831329311.113272173x1.025130627x2.3417102091x3x： -.8.75070624172.172245728x2.348847570 x2.8932589351x3x: -.6 HYPERLINK l bookmark607 o Current Document 23.73842152052.110822123x2.246474895x.8363852265xx: -.41.5430214278.145321403x17.33272309x213.408

39、25872x3x: -.2-8231. +.3 10 x -23.39388391 x -54.46941962 xxc08231.十.3 10- x -23.39388391 x +54.46941952 xxc .21.543021424 -8.145321358 x 17.33272289 x2 -13.40825849 x3x： .4.7384215449 -2.110822260 x 2.246475147 x2 -.8363853770 x3x： .6 HYPERLINK l bookmark803 o Current Document 23.7507062252 -2.17224

40、5660 x +2.348847480 x -.8932588956 xx c .8.4683133011 -1.113272197 x +1.025130651 x2 -.3417102171 x3 otherwise3、三次样条插值的存在唯一性定理：三弯矩方程中的系数矩阵A是可逆的，即三次样条插值存在、唯一。X0 证：设x: 为Ax = b的解，r满足xr = max Xj ，i br 兰2xr - Pr xrJl -九r xr申2xr即 max Xj max b 。若A不可逆，则Ax=O有非零解x，由前所证，应有 maxxj 0，即 | f |，s(x)二阶导数 s“(x)的范数最小。第

41、二章上机实验目的：3、熟悉Maple中的一般插值、样条插值和序列等命令；4、通过对具体数据做高次插值、样条插值，加深对龙格现象以及样条插值优越性的理解与 认识。实验内容：对数据X125678101317f(x)3.0 3.7 3.94.25.76.67.16.74.54、将p(x)与f(X)、S(X)与f(X)分别做图对照，观察高次插值的危害性以及样条插值的优越性。1矩形区域二元函数的分片线性插值已知平面上一矩形域内四个顶点顶点(xi,yj, (x2,yj, (x2, y2),(xy2)处的函数值分别为 f1 , f2, f3, f4。分两片的函数表达式如下：第一片(下三角形区域)：(x,y)

42、满足y乞1 一儿(x-xj 比，插值函数为：Xi* Xf(X, y)二f1( f2-fl)(x -xi )( f3-f2)( y yj)。第二片(上三角形区域)：(x,y)满足y . yj/| yj (x xj yj，插值函数为：Xi*xif(x,y)二 t 代 一 fj(y 詔)亿 - f4)(x -xj o2 矩形区域二元函数的双线性插值双线性插值函数的形式如下：f (x, y) =(ax b)(cy d)，它是分片空间二次曲面。禾U用该函数在矩形的四个顶点(插值节点)的函数值，得到四个代数方程，可以确定四个待定系数。双线性插值函数可按下方法计算。已知平面上一矩形域内四个顶点顶点(石，),

43、(为，y2), (x2,y1), (x2, y2)处的函数值分别为彳，乙2, Z21, Z22，求函数P(x, y)二ax by cxy d，使其满足条件：P(xi,yj =Zn, P(xi,y2)=乙2, P(X2, yj =Z2i, P(X2,y2)=Z22。人x 一咅y % 口士X2 - Xiy2 - yiP(x,y)討i(1-u)(1-v) Z2iU(1-v) 2(1-u)vZ22UV oCh3、函数逼近与计算、引言1引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三 角函数以及其它初等函数。设计要求x在区间a,b 中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某

44、一指定的正数；o由于插值法的特点是在区间a,b中的n 1个节点处，插值函数Pn(x)与被插值函数f(x)无误差，而在其它点处Pn(x) ：、f (x)。对于X = Xi , Pn (x)逼近f (x)的效果可能很好，也可能很差。在本问题中要求 Pn(x)在区间a,b 1中的每一点都要“很好”地逼近f (x)，应用一般的插值方法显然是不可行的， 龙格现象就是典型的例证。 采用样条插值固然可以在 区间的每一点上满足误差要求。但由于样条插值的计算比较复杂， 需要求解一个大型的三对 角方程组，在芯片中固化这些计算过程较为复杂。可以采用泰勒展式解决本冋题。将f(x)在特殊点X。处做泰勒展开f (x) =

45、 f (Xo) f (Xo)(X - X。)n!4(x(n 1)!取其前n1项作为f (x)的近似，即,f (n)(X0)nPn(X)= f(X。)* f (X)(X -X。)(X-X。)： f (X)n!但泰勒展式仅对xo附近的点效果较好，为了使得远离X。的点的误差也小于；，只好将项数n取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。因此，从数值计算的角度来说，用 泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数 Pn(x)，比如说，它仍然是一个n次多项式，Pn(x)不一定要在某些点处与f (X)相等，但Pn(x)却在区间a,b】中的每一点处都能“很

46、好”地、“均匀”地逼近f (x)。2、逼近问题对f (x) Ca,b，求一个多项式 p(x)，使f(x)_ p(x)在某种衡量标准下最小。一致逼近(均匀逼近)无穷范数：| f (x) p(x) = max f(x)_ p(x)最小00 a童査)平方逼近(均方逼近)欧氏范数：| f (x) - P(x)|2 = f(x) 一 P(x)Fdx 最小。3、维尔斯特拉斯定理定理：设f (x) Ca,b,则对任意；0 ,有多项式p(x)，使f (x) - p(x)：；在a,b】上 一致成立。本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式Bn(f,X)J f k C：Xk(1-X)2k=o _n

47、/他证明了 lim Bn(f,x)二 f (x)(。乞 x1)。n :伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用。但它有一个致命的缺点，就是收敛 太慢。要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的。切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题。 他不让多项式的次数 n趋于无穷，而是先把n 固定。对于f (x) Ca,b，他提出在n次多项式集合中，寻找一个多项式Pn(x)，使Pn(x) 在a,b上“最佳地逼近” f (x)。2、正交多项式一、正交多项式的概念及性质定义1设区间(a,b)上非负函数r(x)满足nbx P(x)dx (n = 0,1,2)存在；(2)对非负连续函数 f(x),若

48、f(x)P(x)dx = 0，贝yua在(a,b)上f (x)三0,则称r(x)为区间(a,b)上的权函数。定义2：设f(x),g(x) Ca,b，：、(x)为b,b 上的权函数，则积分f,g 二f (x)g(x) r(x)dx 称为 f (x)与 g(x)在 a,b上的内积。La定义3 :设fn(x)为a,b 上的n次多项式，若 1fn(x)l n=0,1,2， 满足fj(x),fj(x)=P(x)fj (x) f j (x)dx =、j，则称fn(x)为la,b】上关于权函数P(x)的正交多右Aj项式系。定理：a,b 1上的正交多项式fn(x)在a,b内有n个不同的实零点。二、Legend

49、re 多项式R(X)=11 dnPng ! :dnl.2 n! dxx2-1nx I-1,11, 称为Legendre多项式。2、性质 TOC o 1-5 h z 0n m HYPERLINK l bookmark301 o Current Document (1)正交性：J；Pn(X)Pm(X)dX = :-)，即Tn(x)最高项系数为2n。3、最佳平方逼近1问题对f（x） ca,b丨，在。，匚亠生成的子集 G二span：0,1中求一函数(x)=迟 ai(x)，使 | f (x) -s (x) 2 最小。2、求解* 2F(a,ai, a.) = f (x) -s*(x) 22bn=a P(x

50、) f(x)瓦 ai(x) dx，-7=0, k = 0,1，n， a得 2 P(xf(x)送 ai(x) Lk(x)dx = 0，n打 a r(x)k(x) l(x)dx a： = a Ux)f(x)k(x)dx，n即v , ：i a f, , k =0,1，n，也可改写为下列矩阵形式i =0_(%0(叩0他理nja。（f,0$（仁叫）ai法方程。n,0；：n, I-n,nL（f，Z02(2k+1)3、用正交多项式做最佳平方逼近若取-spaJpR,，巳，因（Pk,R A*(f R ) 2k +1 iPk,Pk由法方程可得 ak一二一-,4 f (x)Pk (x)dx, k=0,1,2，n从而

51、s* (x)二akPk(x)即为s(x)的最佳平方逼近多项式。k=0Sk Hi若取门二 spa n：T,Ti,，Tn因 Tk,二二 k=i=0,: 2k=i = 0f T i1111由法方程可得 a00f (x)dxf (cost)dt(T0,T。)兀JJ1x2H0akf ,Tk2Tk ,TkJ(x)Tk(x) dx 二JInro f (cost)cosktdt, k1,2，n从而s* (x) =： aJk(x)即为s(x)的最佳平方逼近多项式。k 3例1、用正交多项式求 f (x) =ex在1-1,11上的三次最佳平方逼近多项式。解：用Chebyshev多项式，1：；, costa。ecos

52、tdt =1.2660，兀02 让 costak(k =1,2,3) =0 ecost cosktdt =1.1303, 0.2715, 0.0443， 0故 ex =1.2660T0(x) 1.1303T；(x) 0.2715T2(x) 0.0443T3(x)= 0.1772x30.5430X20.9974x 0.9945。用Legendre多项式1 2k +1ak(k =0,1,2,3) = *Pk(x)exdx =1.1752,1.1036, 0.3578, 0.07053故ex 八 akPk(x) =0.9963+0.9980 x+0.5367x2 +0.1761x3。k=0a t说定

53、义：. v akTk(x)称为切比雪夫级数或广义傅立叶级数,2心其中ak根据切比雪夫多项式的性质，切比雪夫级数的部分和Sn(X)二n+ Z akTk(x)可作为f (x)的近似最佳一致逼近多项式。2k生a0T0例2、将f (x)=arcsi nx在丨-1,11上展成切比雪夫级数。解:因f (x)为奇函数，从而一f(x)T2k(x)也为奇函数，故77a2k弓;黑乎0a2k = 2 o arcsin(cos)cos(2k 1尸 d-,7171 -日 icos(2k +1)日 d日=4212k 1 24 一从而 arcsinx (x)壮L皿.9.T2k1(X)(2 k 1)2,x 1-1,1注：f

54、(x) = arcsi nx的泰勒展式为arcsinx八：咅型心(2k)!1(2k 1)x2k1bo2k 1八 b2kMk=0ix ix 11 -x2arcsinx 二a2k 1b2k 14(2k)!二(2k 1)!4 广(sinx)2k*dxT 0八(亠1)心-k 1) _x2, (2k-1)!x2kk!7 (2k)!dx j：(2k-1)!1 2k 1x 一1X2y (2k)! 2k 1n为奇n为偶(n 1)!兀2 . nn!sin xdx = 1(n 1)! n如对arcsinx要达到10位有效数字,n!2即切比雪夫展式可用较小的项数达到泰勒展式的精度,泰勒展式要25项，而切比雪夫展式仅

55、要 10项。5、离散数据的拟合与最小二乘法1离散数据的拟合问题引例1：矿井中某处的瓦斯浓度y与该处距地面的距离 x有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(xi, yj(i =0,1,2,川,10)，根据这些数据完成下列工作：(1) 寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。根据所学内容，分别给出解决上述问题的方法，并说明理由。对于第一个问题，可根据已有瓦斯浓度数据(Xj,yJ(i =0,1,2,| ,10)，求出其样条插值函数p(x)，由p(x)即可较为准确地求得从地面到井下500米之间任意一

56、点处的瓦斯浓度。但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500米处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系f(x)，由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。引例2：在某化学反应中，根据实验测得生成物浓度y与时间x的关系如下表，求浓度 y与时间x的对应函数关系y = f (x)，并据此求出反应速度曲线。时间x12345678910浓度y4.006.408.008.809.229.509.709.8610.0010.2011121314151610.3210.4210.5010.5

57、510.5810.60 显然，从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中仅由离散数据(x，yj (i =1,2,1山n)是不可能得出y二f (x)的精确表达式的，只能寻找y = f (x)的一个近似表达式y = X)，这种问题称为离散数据的曲线拟合问题。曲线拟合需解决如下两个问题: (1) ：(x)线型的选择；(2) (X)中参数的计算。2、线型的选择通常主要根据专业知识和散点图确定(x)的线型，常见的线型有:(1)线性函数：y = a bx ；可化为线性函数的非线性函数，如y =ae(a, b 0)bxy =ae(a, b 0)2 口 .-yi 最小,y =a b/x (a,b 0)(3

58、)非线性函数。3、计算线性拟合的最小二乘法做数据x , y (i =1,2/ n)的散点图，若近似为直线，则可用线性函数 y = (x) = a bx拟合。对于本问题通常采用最小二乘法，即所求参数a,b使得(x)在xi处的值二(xi)与yi之差的平方和2送(Xi) yi )=送(a +bxi m将上式视为关于a,b的二元函数F(a,b)，对F(a,b)分别关于a,b求偏导并令其为零解:F*=2送(a+bx % )=0:a ij一，即n穿先（a+byJO解上方程组得nnan b，片=、yinb Xii 4a Xiynnnn2、Xi yi -、 X,Xiyii 4 i4i -1i -4-.a =亍

59、，b工n2 Xi2i 4n2i 4nl2n-zi 4nX, yii 4on Xi2 -jyi 42i时间t00.91.93.03.95.0距离s010305080110例1、观测物体的直线运动，得出以下数据，求运动方程。100-込60：40;加61n :亠ii#i金D：a ：n 6 n7厂空 xy#= 280, 謂 i壬3 *2n迟Xii呈卜20：6、Xi2 =53.63,S.8556 . xi y 仝 1078i =1所求运动方程为 *t）22 254t. .7.855可用相关系数 PXY=EX 二 E(X)_Y 二 E(Y)、D(X) ., D(Y)量数据线性化程度，本例中相关系数xy =

60、0.98818，这表明数据的线性相关性较好。拟合运动方程与数据点对照图4、可线性化的非线性拟合 拟合运动方程与数据点对照图4、可线性化的非线性拟合 例2、根据本节引例中的数据拟合出生成物浓度解：y与时间x的近似表达式。1O-6-511111 I r 111O 12141 呂数据(x, yj的散点图用双曲线型1. y =a bt拟合令1 y = y1,1-x= x，贝U y1 = a bx为线性函数。0.08066X 0.01617经计算 a =0.08066, b =0.01617，从而 y =(2)用指数线型y = ae X拟合 b两边取对数In y = In a - ，令y2 = In y