行列式的展开定理

1、线性代数第二章 方阵的行列式1 第3讲 行列式的展开定理与克莱姆法则主要内容：1. 代数余子式2. 展开定理3. 伴随矩阵与矩阵求逆4. 克莱姆法则22.3.1 行列式按一行（列）展开行列式定义n!项分为n组，Aij待定32.3.1 行列式按一行（列）展开考虑三阶行列式Aij是否也是一些带有正负号的n-1阶行列式呢？42.3.1 行列式按一行（列）展开 aij的余子式n-1阶行列式Aij= (-1)i+j Mijaij 的 代数余子式定义2.5 余子式与代数余子式52.3.1 行列式按一行（列）展开引理2.1引理2.2定理2.4 设n阶矩阵A=(aij)，则行列式等于它的任一行（列）元素与其代

2、数余子式的乘积之和62.3.1 行列式按一行（列）展开 证明72.3.1 行列式按一行（列）展开推论行列式一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零i 行s 行例 设Aij是n 阶行列式det(aij)相应元素的代数余子式，82.3.1 行列式按一行（列）展开综合定理2.4和推论例1 计算行列式 92.3.1 行列式按一行（列）展开例2 计算行列式 解 按第n行展开 102.3.1 行列式按一行（列）展开例3 范德蒙德(Vandermonde)行列式 (1)每列(行)为某个数的不同方幂.(2) 幂次从0递增到n-1.(3) 结果为所有可能的差xi-xj的乘积.n阶范德蒙德行

3、列式的特点：112.3.1 行列式按一行（列）展开例4 计算行列式 解 加一行加一列12计算行列式常用方法：(1)利用定义.(2)利用性质化为三角形行列式.(3)行列式按行（列）展开原则.(4)递推法.(5)数学归纳法. (7)每行和为常数，列相加，再提取公因子. (6)加边法.(8)相邻两行依次相减，化简行列式.(9)利用已有的结论.2.3.1 行列式按一行（列）展开132.3.2 伴随矩阵与矩阵求逆定义2.6 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵. 伴随矩阵的性质:142.3.2 伴随矩阵与矩阵求逆证明 必要性：充分性：定理2.5 方阵A可逆的充要条件是|A|0

4、,且 若A可逆，则AA-1=E.等号两端取行列式得注：方阵A的伴随矩阵A*总是存在的，而A的逆阵不一定存在.152.3.2 伴随矩阵与矩阵求逆例5解若a11不为零，|A|=?162.4 克莱姆法则172.4 克莱姆法则(简记为Ax=b)n个变量，n个方程的线性方程组系数行列式(2.15)182.4 克莱姆法则定理2.6(Cramer法则)若n元线性方程组(2.15)的系数行列式D0,则方程组有唯一解：证明：若D=A0,则A可逆.此时方程组有唯一解:另一方面,将Dj按第j列展开,得因此192.4 克莱姆法则注：用克莱姆法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数.(2)系数行列式不等于零

5、.定理2.7 如果线性方程组(2.15)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组b1,bn不全为零b1,bn全为零非齐次线性方程组考虑线性方程组202.4 克莱姆法则定理2.8 如果齐次线性方程组(2.16)的系数行列式D0,则方程组只有零解. (2.16)定理2.9 如果齐次线性方程组(2.16) 有非零解,则它的系数行列式必为零.212.4 克莱姆法则例5 设f(x)=c0+c1x+cnxn，用克莱姆法则证明：若f(x)有n+1个不同的根，则f(x)是一个零多项式 证明：设a1，a2，an，an+1是f(x)的n+1个不同的根，即这是以c0，c1，c2，cn为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为方程组只有唯一零解c0=c1=c2=cn =0.故f (x)是一个零多项式222.4 克莱姆法则小结：Aij= (-1)i+j Mij系数行列