新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 4.3.1　对数的概念 学案

1、4.3对数核心知识目标核心素养目标1.理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数.2.理解并掌握对数的运算性质和对数的换底公式.3.能运用对数的运算性质和对数的换底公式进行化简、求值和证明.4.通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.1.通过对数的概念和基本性质的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.通过对数的运算性质和对数的换底公式的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.4.3.1对数的概念对数的概念,首先是由苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,15501617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天

2、文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方因此我开始考虑怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,并于1614年出版的名著奇妙的对数定律说明书中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数.探究:对数主要作用是什么?提示:简化运算.1.对数的概念实例 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,.问题1-1 那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8个,256个呢?提示:N=2x,3次,8次.问题1-2 如果已知细胞分裂后

3、的个数N,如何求分裂次数呢?提示:由2x=N可知当N已知时,x的值即为分裂次数.梳理1对数的概念(1)若ax=N(a0,且a1),则x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)ax=Nx=logaN.(3)常用对数:以10为底,记作lg N.自然对数:以无理数e2.718 28为底,记作ln N.2.对数的性质问题2-1 对数的概念中,真数N需满足什么条件?为什么?提示:真数N需满足N0.由对数的定义:ax=N(a0,且a1),则总有N0,所以转化为对数式x=logaN时,不存在N0的情况.问题2-2 对数的概念中,如果N=1,x的值是多少?N=a时呢?

4、提示:x=0,x=1.问题2-3 对数与指数之间有怎样的关系?提示:等价关系,即当a0,且a1时,ax=Nx=logaN.问题2-4 如果将对数式x=logaN代入到指数式ax=N中会得到哪个式子?提示:alogaN=N.梳理2对数的性质及对数的恒等式(1)负数和0没有对数.(2)loga1=0.(3)logaa=1.(4)alogaN=N.1.下列说法正确的是(D)(A)根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4(B)对数式log32与log23的意义一样(C)因为1a=1,所以log11=a(D)lg 10+ln e=2解析:因为对数的底数a应满足a0且a1,所以A错

5、;log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以B错;因为对数的底数a应满足a0且a1,所以C错;由常用对数和自然对数定义知lg 10=1,ln e=1,故D正确.2.若2a=b,则下列说法正确的是(B)(A)a=logb2(B)a=log2b(C)2=logab(D)2=logba解析:将指数式2a=b化为对数式,得a=log2b.故选B.3.若logx8=3,则x=.解析:由指对互化知x3=8,所以x=2.答案:24.3log32+log21+log55=.解析:因为3log32=2,log21=0,log55=1,所以原式=2+1=3.答案:3对数的概念探究角度1对

6、数式与指数式的互化例1 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.(1)log3x=3;(2)logx64=-6;(3)3-2=19;(4)( 14) x=16.解:(1)因为log3x=3,所以(3)3=x.(2)因为log x64=-6,所以x-6=64.(3)因为3-2=19,所以log319=-2.(4)因为(14)x=16,所以log1416=x.即时训练1-1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x=-12;(2)logx25=2;(3)log5x2=2;(4)2log3x=4.解:(1)由log2x=-12,得2-12=x,所以x=22.(2)由logx25=

7、2,得x2=25.因为x0,且x1,所以x=5.(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=5.因为52=250,(-5)2=250,所以x=5或x=-5.(4)由2log3x=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9. (1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的.(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a0,a1且N0时,才有ax=Nx=logaN.(3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求解.探究角度2对数的底数、真数概念的理解例2 求下列各式中x的取值

8、范围.(1)log(2x+1)(x+2);(2)lg(2x+5)log2x.解:(1)由题意得x+20,2x+10,2x+11.即x-2,x-12,x0.解得x-12且x0.所以x的取值范围是x|x-12且x0.(2)根据题意得log2x0,2x+50,即x1,x-52,x0.解得x0且x1.所以x的取值范围是x|x0且x1.即时训练2-1:求下列各式中x的取值范围.(1)lg(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).解:(1)由(x+2)20得x-2,故x的取值范围是x|xR且x-2.(2)由3x+20,1-2x0,1-2x1,解得-23x12且x0,所以x的取值范围是x|-23x0且a1,N0).1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(ACD)(A)e0=1与ln 1=0(B)log39=2与912=3(C)8-13=12与log812=-13(D)log77=1与71=7解析:对于A:e0=1可化为0=ln 1,所以A正确;对于B:log39=2可化为32=9,所以B不正确;对于C:8-13=12可化为log812=-13,所以C正确;对于D:log77=1可化为71=7,所以D正确.故选ACD.2.若x=log1216,则x等于(A)(A)-4(B)-3(C)3(D)4解析