几何概型教学设计高二数学教案人教版

1、教学内容：人教版数学必修 3第三章第 3.3.1 节几何概型；学情分析：这部分是新增加的内容,介绍几何概型主要是为了更广泛地满意随机模拟 的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书 中选的例题都是比较简洁的,随机模拟部分是本节的重点内容；几何概型是另 一类等可能概型,它与古典概型的区分在于试验的结果不是有限个；本节的教学需要一些实物模型为教具 ,如教科书中的转盘模型、例 2 中的 随机撒豆子的模型等,教学中应当留意让同学实际动手操作,以使同学信任模 拟结果的真实性；几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区分是试验的 可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内匀称分布

2、,所以随机大事的概 率大小与随机大事所在区域的外形、位置无关,只与该区域的大小有关；教材的位置与作用：概率的初步学问在中学已经介绍,在选修模块的系列 2 中仍将连续学习概 率的其他内容,因此,本章在高中阶段概率的学习中,起了承前启后的作用；本章的核心是运用数学方法去讨论不确定现象的规律,让同学初步形成用 科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观看、分析讨论客观世界的态度,并 猎取熟悉世界的初步学问和科学方法；这对全面系统地把握概率学问,对于学 生辩证思想的进一步形成具有促进的作用；教学目标：学问与技能 明白几何概型的意义,会运用几何概型的概率运算公式,会求简洁的几何 概型大事的概率；过程与方法

3、通过嬉戏、案例分析,学习运用几何概型的过程,初步体会几何概型的含 义,体验几何概型与古典概型的联系与区分；情感、态度与价值观 通过对几何概型的讨论,感知生活中的数学,体会数学文化,培育同学的 数学素养；教学重点：几何概型的特点,几何概型的识别,几何概型的概率公式；教学难点：将现实问题转化为几何概型问题,从实际背景中找几何度量；122cm 、射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外向内为白色、黑色、蓝色、122cm,分析上述三个题目,回答疑题：1 如图,甲乙两人玩转盘嬉戏 , 规定当指针指向 B 区域时 , 甲获胜 , 否就乙获胜； 求甲获胜的概率 . 明显,它无法用古典概型解答,虽然它发生的可能

4、性是相同的,但试验可能的结果是无穷的；但在图（1）中,明显甲获胜的概率为1/2 ；以转盘（ 2）为嬉戏工具时,甲获胜的概率为3/5 ；事实上,甲获胜的概率与阴影所在扇形区域的圆弧的长度（面积）有关,而与阴影所在区域的位置无关；2 如图, 记“ 剪得两段的长都不小于1 m” 为大事A. 把绳子三等分 , 于是当1剪断位置处在中间一段上时, 大事 A 发生 . 由于中间一段的长度等于绳长的3,122cm1 于是大事 A 发生的概率 PA=3；3 如 图 , 记 “射 中 黄 心 ”为 事 件 B, 由 于 中 靶 心 随 机 地 落 在 面 积 为1 1 4 1222 cm2 的大圆内 , 而当中

5、靶点落在面积为 4 12.2 2 cm2 的黄1 2 12 2.4 1 2 122 心内时 , 大事 B 发生, 于是大事 B 发生的概率 PB= 4 =0.01. 设计目的：通过详细事例,让同学抽象出几何模型；通过与古典概型进 行比较,找出本节课所要讨论的模型几何概型,弄清它与古典概型的不 同之处,从而引出几何概型的概念、基本特点、概率运算公式,之后要加以说明,以便同学懂得与记忆 三、形成概念：.帮忙同学弄清其形式和本质,明确学习的目的；1、对以上三个试验做出分析 、以上三个试验共同点：全部基本领件的个数都是无限多个；每个基本领件发生的可能性都相等；三个试验的概率是怎样求得的？简洁的说所求概

6、率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比,详细的说,就是把基本领件空间懂得为一个区域,不妨记为 ,而大事A 可以懂得为它的一个子区域,而所求的概率就是用子区域 积、体积）比上区域 的几何度量；A 的几何度量（长度、面我们把满意上述条件的试验称为几何概型,参照上述三个试验请给出几 何概型的定义；2、几何概型的定义、运算公式与特点（1）定义：大事 A 懂得为区域 的某一子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比,而与 足以上条件的试验称为几何概型；（2）在几何概型中,大事的概率运算公式为A,A 的概率只与子区域 A 的位置和外形无关；满PA A其中表示区域的几何度量,A 表示区域 A 的几何度

7、量；（3）特点：试验中全部可能显现的结果（基本领件）有无限多个；每个基本领件发生的可能性都相等；3、古典概型和几何概型的比较全部基本领件的个古典概型几何概型A有限个无限个数每个基本领件发生等可能等可能的可能性概率的运算公式PAmPA n4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题 ,解题的关键是要建立模型大事相对应的几何区域 ,把问题转化为几何概率问题,找出随机大事与全部基本 ,利用几何概率公式求解 . 利用几何概型的定义判定该问题能否转化为几何概型求解； 把基本领件空间转化为与之对应的区域 ； 把随机大事 A 转化为与之对应的区域 A； 利用几何概型概率公式运算；5、说明：内随机取点是指：该点

8、落在区域内任何一处都是等可能的,落在 区域 任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其外形位置无关其中“ 几何度量” 的意义依确定,当分别是线段,平面图形,立体图形时,相应的“ 几何度量” 分别是长度,面积和体积设计目的：通过对比、归纳将新的学问建构到旧的学问系统,完成学问的延 伸. 四、实际应用1、模型应用例 1：在 500ml 的水中有一只草履虫,现从中随机取出ml 水样放到显微镜下观看,求发觉草履虫的概率. 分析：草履虫在这ml 水样中的分布可以看做是随机的（符合几何概型）,于是发觉草履虫的概率等于取出水的体积与全部水的体积的比 . 解：取出 2mL 水,其中“ 含有草履虫” 这一

9、大事记为 A,就P A 取出水的体积 2全部水的体积 =500 =0.004答：发觉草履虫的概率是 0.004. 例 2：取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率 . 分析：由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型） ,于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比 . 解：记“ 豆子落入圆内”为大事 A,就P A 正方形面积 圆面积4 a a2 24答：豆子落入圆内的概率为 4 . 变式训练 1：在边长为 2 的正方形 ABCD中, E、F、G、H 分别是四边中点,将米粒随机撒在正方形中,如米粒落在以下3

10、 个图中阴影部分区域的概率分别是 P1、P2、P3 . 就其大小关系是 P 2 P 1=P3 D F C D F C D F C G E G E G H E A B B A H B A H 例 3：某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他 等待的时间不多于 10 分钟的概率；分析：他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,由于收音机每一小时报一次,可以认为此人打开收音机的时间正处于两次报时之间,即处于 0,60的任意 一点,于是概率等于等待时间段的长度与两个整点之间长度的比；解：记“ 等待的时间不多于1011就 P

11、（A）=60=6610 分钟” 记为大事 A,1答：等待的时间不多于10 分钟的概率为6. 变式训练 2：某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站 ,求某一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率（假定车到来后每人都能上）. 解：设上一班车离站时刻为 a,就某人到站的一切可能时刻为 =a,a+5,记“等车时间少于 3 分钟 ”为大事 A,就他到站的时刻只能为 =a+2,a+5中的任一3时刻 ,故 PA=5. 设计目的：1）分别从三个测度体积、面积、长度来表达几何概型的求解方式；2）经受将一些实际问题转化为几何概型的过程,探求正确应用几何概型 的概率运算公式解决问题的方法；2、归纳总结 怎样求几何

12、概型的概率对于复杂的实际问题 ,解题的关键是要建立模型大事相对应的几何区域 ,把问题转化为几何概率问题,找出随机大事与全部基本 ,利用几何概率公式求解,详细分以下四个步骤 : 利用几何概型的定义判定该问题能否转化为几何概型求解； 把基本领件空间转化为与之对应的区域-3 ；-1 0 2 把随机大事 A 转化为与之对应的区域A； 利用几何概型概率公式运算；设计目的：通过归纳总结,得出这类问题的解决方法,将感性思维上升为理 性思维；3、当堂练习1 1 在数轴上,设点 x -3,3 中按匀称分布显现,记 件 A,就 P（A）=（ C ）a -1,2 】为事A、1 B 、0 C 、1/2 D、1/3 ,

13、12 的长度31P（A）=3,3 的长度6=22 一海豚在水池中自由游弋,水池长为 刻海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率30m,宽 20m 的长方形,求此 30 米解：大事 A=“ 海豚嘴尖离岸边不超过2m ”20 米3020600 m2A302026162 184 mPA A184236007523答：海豚嘴尖离岸边不超过 2m的概率是75 . （3）在 1 万平方千米的海疆中有 40 平方千米的大陆架贮存着石油 , 假设在海疆中任意一点钻探 , 钻到油层面的概率是多少？分析：石油在 1 万平方千米的海疆大陆架的分布可以看作是随机的,而40 平方千米可看作构成大事的区域面积 , 由几何概型公

14、式可以求得概率 . 40 解：记“ 钻到油层面” 为大事 A, 就 PA=10000 =0.004. 答：钻到油层面的概率是 0.004. 设计目的：通过练习,强调在解决问题的时候留意看问题的角度（基本领 件）；4、当堂检测（1）在区间 1 ,3 上任意取一数,就这个数不小于 1 1.5 3 1.5 的概率是多少？（ 2）在高产小麦种子1 . 3,5 的长度31 5.1.5P=,1 3 的长度31=2=0.75 100ml 中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出3ml,求含有麦锈病种子的概率是多少？P A 取出带锈病小麦种子的体积3=0.03全部小麦种子的体积=100（3）在墙上挂着一块边长为

15、16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m 之外向此此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问：（1） 投中大圆内的概率是多少？（2） 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3） 投中大圆之外的概率是多少？大圆的面积 36 9P1= 正方形的面积 256 EMBED Equation.3 64大圆的面积 小圆的面积 36 16 5P2= 正方形的面积 256 EMBED Equation.3 64大圆的面积 9P3=1- 正方形的面积 1-64设计目的：通过检测,检查同学对几何概型概率模型的把握与公式的应用,加强对几何概

16、型的把握；5、课后拓展 1 在等腰直角三角形 ABC中,在斜边 AB上任取一点 M,求 AM小于 AC的概率 .分析 : 点 M随机地落在线段 AB上（符合几何概型）,故线段 AB为区域 D.当点 M位于右下图中线段 AC内时, AMAC,故线段 AC即为区域 D. 解 在 AB上截取 AC=AC于是PAMAC=PAMACACEMBED ABAC2Equation.DSMT4 AB2 . 2答: AM 小于 AC的概率为 2 . 2 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线 ,把一枚半径 ra 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 .解：把 “硬币不与任一条平行线相碰”的

17、大事记为大事 A, 为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为 M, 如右图所示 ,这样线段 OM 长度（记作 OM）的取值范畴就是 0,a,只有当 rOMa 时硬币不 r , a 的长度 a r与平行线相碰 ,所以所求大事 A 的概率就是 P（A）= 0 , a 的长度 a . 3 两人相约 8 点到 9 点在某地会面 , 先到者等候另一人 20 分钟 , 过时就可离去, 试求这两人能会面的概率 . 解：设甲、乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达 , 就样本空间为 ：x,y|0 x60,0 y60, 画成图为一正方形 如下图 . 以 x,y 分别表示两人的到达时刻 , 就两人能会面的充要条件为 阴影标出（如下列图） ,|x- y| 20, 而能会面的点的区域用阴影的面积6024025. 所求概率为 P= 正方形的面积6029设计目的：通过拓展练习,让同学们体验,长度,面积,体积,角度,弧长之间在求几何概型中的重要应用；（1）几何概型的概念及基本特点；