初一数学《二元一次方程组的应用》教案

1、二元一次方程组的应用学问内容1. 处理实际应用问题的过程；问题分析方程组求解解答抽象检验2. 列方程组解应用题的一般步骤：审题设未知数找相等关系列方程组解方程组检验答题3. 应用题常见的几种类型：（1）行程问题：基本量之间的关系：路程速度 时间解题时一般应画线段示意图；（2）工程问题基本量之间的关系：工作量工作效率 工作时间甲、乙合做的工作效率甲的工作效率乙的工作效率解题时,如工作总量是抽象的,通常把它设为单位 1；（3）浓度问题基本量之间的关系：溶液溶质溶剂（指体积或质量）溶液的浓度溶质 100% 溶液解题时应留意配制前后溶液中的不变量和变化量分别是什么？（4）利润问题：有关量的关系：利润售

2、价进价利润率售价进价 100% 进价利息本金 利率 期数解题时应留意此类问题中的一些关键词语的意义,如“ 打折” “ 个人所得税” 等等；4. 列方程组解应用题,是把“ 未知” 转化为“ 已知” 的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系；一般来说,有几个未知量就必需列出几个方程,所列方程必需满意：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（ 3）方程两边所表示的数量要相等；典型例题例 1. 在下边的 3 3 方格图中,已有 3 格分别填入 11,18,20 三数,假如设中心方格填入的数为 x,每行、每列、每条对角线上的 3 数之和都等于 y,那么试用

3、x 和 y 表示其余各格要填入的数,并求出 x、y 的值；11 18 20 x 解： 方格中应填入的数为：y11 y18 xyy2920 x x203118y11x列方程组xy29 yx20 y11xyy29xy31y即y x30 60解得x15yy45例 2. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,假如他以每小时50 千米的速度行驶,就会迟到 24 分钟,假如他以每小时75 千米的高速行驶,就可提前24 分钟到达乙地,求他以每小时多少千米的速度行驶,可准时到达；分析： 有些问题只能间接设元,懂得题意,找出题目中不变量,看已知量与不变量之间存在怎样的关系；此题中的不变量是甲、乙两地的距离和从甲地

4、到乙地的规定时间,所以应设甲地到乙地之间的距离为 S 千米,从甲地到乙地的规定时间是 t 小时,列表分析如下：速度 实际用时 路程 相等关系迟到 50 t 24 50 t 24 S 50 t 24 60 60 60早到 75 24 24 24t 75 t S 75 t 60 60 60解： 设甲、乙两地的距离为 S 千米,从甲地到乙地的规定时间为 t 小时24就 S 50 t60 ,解得 S 120S 75 t 24 t 260S经检验,符合题意,就 60 （千米 /时）t答： 他以每小时 60 千米 /时的速度行驶可准时到达；例 3. （百鸡百钱问题）公鸡 1 只值钱 5,母鸡一只值钱 3,

5、小鸡三只值钱 1,今有钱 100,买鸡 100 只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？分析： 此题中有三个未知数,只能列出两个方程；由于鸡的只数是正整数,所以此题是求不定方程组的特别解问题；解： 设买公鸡、母鸡、小鸡各xyz100 x、y、z 只,依据题意,可得方程组5 x3y1z100 x 只能为 4、8、12,从而相应3由3,得 14x8y200,即：y200814x257x4由于 x、y 为正整数,所以不难得出x 应为 4 的倍数,故y 的值分别为18、 11、4,相应 z 的值分别为78、81、 84；x4x8x12所以,方程组的特别解为y18,y11,y4z78z81z84答： 公鸡、母鸡

6、、小鸡应分别买 只、 84 只；4 只、 18 只、 78 只或 8 只、 11 只、 81 只或 12 只、 4说明： 在很多实际应用问题中,我们所构建的方程组中,未知数的个数多于方程的个数；这类方程（组）称为不定方程（组）,由于实际应用问题中有关量的实际意义,这就 需要求不定方程（组）的特别解；例 4. 已知某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑,其价格分别为A 型每台 6000元, B 型每台 4000 元, C 型每台 2500 元,我市东坡中学方案将100500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理

7、由；（ 黄冈市中考题）解： 设从该电脑公司购进 可分以下三种情形考虑；A 型电脑 x 台,购进 B 型电脑 y 台,购进 C 型电脑 z 台,就（1）只购进 A 型电脑和 B 型电脑,依题意可列方程组6000 x4000 y100500 xy36,不合题意,舍去；解得x y21755775（2）只购进 A 型电脑和 C 型电脑,依题意可列方程组6000 x2500 z100500 xz36解得x z333（3）只购进 B 型电脑和 C 型电脑,依题意可列方程组4000 y2500 z100500yz36解得y z729答： 有两种方案供该校挑选,第一种方案是购进A 型电脑 3 台和 C 型电脑

8、 33 台,第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台；例 5. 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼, 每层楼有 8 间教室,进出这栋大楼共有 4 道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同,安全检查中,对4 道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过 560 名同学； 当同时开启一道正门和一道侧门时, 4 分钟内可以通过 800 名同学；（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名同学？（2）检查时发觉,紧急情形下因同学拥挤,出门的效率将降低 20%；安全检查规定,在紧急情形下全大楼的同学应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离,假设这栋

9、教学大楼每间教室最多有 45 名同学,问建造的 4 道门是否符合安全规定？请说明理由；解： （1）设平均每分钟一道正门可以通过 x 名同学,一道侧门可以通过 y 名同学2 x 2 y 560由题意得4 x y 800 x 120解得y 80答： 平均每分钟一道正门可以通过同学 120 名,一道侧门可以通过同学 80 名；（2）这栋楼最多有同学 4 8 451440（名）拥挤时 5 分钟、 4 道门能通过16001440 5 2（12080）（ 120%） 1600（名）建造的 4 道门符合安全规定；巩固试题1. 在 全国足球甲 A 的后八轮 （场） 的竞赛中, 大连实德队保持连续不败,共积分

10、20 分；按竞赛规章,胜一场得 3 分,平一场得 1 分,试问该队胜了多少场？2. 某服装厂要生产一批同样型号的运动服,已知每 3m 长的某种布料可做 2 件上衣或 3条裤子,现有此种布料 600m,请你设计一下,该如何安排布料,才能使运动服成套而不至于铺张？能生产多少套运动服？3. 某商场以每件 a 元购进一种服装,假如规定以每件 b 元卖出, 平均每天卖出 15 件； 30天共获利润 22500 元,为了尽快回收资金,商场打算将每件降价 20%卖出,结果平均每天比降价前多卖出 10 件,这样 30 天仍旧可获得利润 22500 元,试求 a、b 的值；4. 如下列图, 5 个一样大小的小矩

11、形拼接成一个大的矩形,假如大矩形的周长为 14cm,那么小矩形的周长是多少厘米？5. 某村老杨家有耕地和林地24 亩,耕地每亩纯收入为550 元,林地每亩纯收入600 元,耕地与林地的纯收入共 13700 元,为爱护生态环境,增加收入,老杨方案明年将部分耕地改为林地（改后耕、林地纯收入不变）,要使改后的纯收入为（1）老杨家原有耕地、林地多少亩？（2）老杨应将多少亩耕地改为林地？14000 元,问：6. 甲、乙两种商品的原单价和为100 元,因市场变化, 甲商品提价10%,乙商品降价5%,调价后,甲、乙两种商品的单价和比原先提高了 少元？40%,求甲、乙两种商品的原单价各是多7. 某工厂现有厂房

12、 20220m 2,方案拆除部分旧厂房,改建新厂房,且新建厂房的面积比拆除的面积的 4 倍多 2022m 2,假如要使改建后厂房总面积比改建前的面积增加 40%,问应拆除多少旧厂房？建造多少新厂房？8. 某商店将 76 件积压商品出售给 33 位顾客,每位顾客最少买 1 件,最多买 3 件；买 1件照原价不打折,买 2 件九折优惠,买 3 件八折优惠,结果相当于 76 件商品全部依据八五折优惠,问买 3 件和 2 件的顾客各有多少人？9. 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（股票每天交易终止的价格）；时间收盘价 元/股 星期一星期二星期三星期四星期五名称甲12 12.5 12.9 12.4

13、5 12.75 乙13.5 13.3 13.9 13.4 13.75 某人在该周内持有如干甲、乙两种股票,如依据两种股票每天收盘价运算（不计手续费、税费等） ,该人账户上星期二比星期一多获利200 元,星期三比星期二多获利1300 元；试问该人持有甲、乙股票多少股？10. 某工程由甲、乙两队合做6 天完成,厂家需付甲、乙两队共8700 元；乙、丙两队合作 10 天完成,厂家需付乙、丙两队9500 元；甲、丙两队合做5 天完成全部工程的2,厂3家需付甲、丙两队共 5500 元；（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）如工期要求不超过 请说明理由；15 天完成全部工程, 问可由哪队

14、单独完成此项工程花钱最少？11. 某工厂现有库存某种原料 1200t,可以用来生产 A、B 两种产品；每生产 1t A 种产品需这种原料 2.5t,生产费用 900 元；每生产 1t B 种产品需这种原料 2t,生产费用 1000 元,可用来生产这两种产品的资金为 和资金恰好用完？53 万元；问 A、B 两种产品各生产多少吨才能使库存原料12. 一批货物要运往某地,货主预备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车； 已知过去两次租用这两种货车的情形如下表；第一次 其次次甲种货车辆数（单位：辆）2 5 乙种货车辆数（单位：辆）3 6 累计运货吨数（单位：t）15.5 35 现租用该公司 3 辆甲种货车及

15、 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货,假如按每吨付运费30 元运算,问：货主应对运费多少元？13. 某牛奶加工厂现有鲜奶 9t；如在市场上直接销售鲜奶,每吨可猎取利润 500 元；制成酸奶销售,每吨可猎取利润 1200 元；制成奶片销售,每吨可猎取利润 2022 元；该工厂的生产才能是：如制成酸奶,每天可加工 3t；制成奶片,每天可加工 1t；受人员限制,两种加工方式不行同时进行；受气温条件限制,这批牛奶必需在 4 天内全部销售或加工完毕；为此,该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好 4 天完成；你认为挑选哪种方案

16、获利最多,为什么？14. 小明家预备装修一套新住房,如甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；如甲公司单独做 4 周,剩下的由乙公司来做,仍需 9 周完成,需工钱 4.8 万元,如只选一个公司单独完成,从节省的角度考虑,小明家选甲公司仍是乙公司？请说明理由；15. 王丹同学想知道一块铁的质量,但他只有一个不等臂天平；他先把铁块放在天平的左盘中,称得它的质量为 0.4kg ,再把铁块放在天平的右盘中,称得铁块的质量为 0.9kg,由此,你知道这块铁的实际质量吗？请说明理由；16. 某农场 300 名职工耕种51 公顷,方案种植水稻、棉花和蔬菜；已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人

17、数及投入的设备资金如下表：农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金水稻 4 人 1 万元棉花 8 人 1 万元蔬菜 5 人 2 万元已知该农场方案投入 67 万元,应怎样支配这三种作物的种植面积,才能使全部职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用？17. 世界杯足球赛,韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格是：一等席 300 美元,二等席 200 美元,三等席 125 美元；某服装公司在促销活动中,组织获得特等奖,一等奖的36 名顾客到韩国观看 世界杯足球赛四分之一决赛,除去其他费用后,方案买两种门票,用完 5025 美元,你能设计出几种购票方案给该服装公司挑选？并说明理由；18. 项王故里

18、的门票价格规定如下表：购票人数150 人51100 人100 人以上每人门票价 5 元 4.5 元 4 元某校初一甲、乙两班共 103 人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里,假如两班都以班为单位分别购票,就一共需付 486 元；（1）假如两班联合起来,作为一个团体购票,就可以节省多少钱？（2）两班各有多少名同学？19. 北京和上海都有某种仪器可供外地使用；其中北京可供应 10 台,上海可供应 4 台；已知重庆需要 8 台,武汉需要 6 台,从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示；有关部门方案用 8000 元运输这些仪器,请你设计一种方案,使武汉、重庆能得到所需仪器,而且运费正好

19、够用；又能否修改方案,降低整个运费？起点运费表单位：（元 /台）终点武汉重庆北京400 800 上海300 500 参考答案1. 设该队胜 x 场,平 y 场,x y 8,依据题意,得3 x y 20 x 6解得y 22. 设生产上衣和裤子的布料分别为 x（m）, y（m）,x y 600,依据题意,得2x3y,3 3x 360解得y 240运动服的套数为 2x 2360 2403 3（点拨：上衣的件数应与裤子的条数相等,一件上衣和一条裤子配成一套运动服）3. 依据题意,得ba153022500,3022500120%ba1520解得a50b100（点拨：每件服装的利润每件服装的实际售价每件服

20、装的进价）4. 设小矩形的长、宽分别为x（ cm）, y（cm）；14由题意有,得x2y3 x8yx 2解得y 1小矩形的周长为 2 （ 21） 6（cm）5. （1）设老杨家原有耕地 x 亩,林地 y 亩,x y 24,依据题意,得550 x 600 y 13700 x 14解得y 10（2）设应将 m 亩耕地改为林地,依据题意,得 14m 55010m 60014000解得 m66. 设甲、乙两种商品的原单价分别是x 元、 y 元,依据题意,得xy10015%y100110%x 14%解得x60y407. 设应拆除旧厂房x m 2 ,建造新厂房y m 2 ,依据题意,得y4x20224%y

21、x20220解得x2022y10000（点拨：厂房增加的面积应为新建厂房的面积减去拆除旧厂房的面积,不是新建厂房的面积；）8. 设买 3 件的顾客有x 人,买 2 件的顾客有y 人,商品原价为a 元,依据题意,得08a3x0 9a2ya 33xy085a763x2y33xy76化简方程组,得7 x4y1582 xy43解得x14y15（点拨：此题中商品的实际价格都与商品原价有关,虽然商品的原价是未知数,但它不影响此题的结果）9. 设该人持有甲、乙两种股票分别为 x 股、 y 股, 12 5 12 x 13 3 135 . y 200,依据题意,得 12 9 12 5 . x 13 9 13 3

22、 . y 1300 x 1000解得y 150010. 设甲、乙、丙各队单独完成这项工程分别需 x 天、 y 天、 z 天661,111b 元,丙队单xyxy6依据题意,得10101,即111yzyz10552,112xz3xz15x10a 元,乙队单独完成这项工程每天需解得y15z30设甲队单独完成这项工程每天需独完成这项工程每天需c 元；6 ab 8700依据题意,得10 bc 95005 ac 5500a800解得b650c300z30（天）,丙队单独做不能按工期完成任务；甲队独做这项工程需10 天,总费用为800 6 4800（元）；乙队独做这项工程需15 天,总费用为650 1597

23、50（元）；应选甲队独做这项工程最省钱；11. 设生产 A 种产品 x（t）, B 种产品 y（t）,依据题意,得2 5 . x2y1200（元）900 x1000 y530000解得x200y35012. 设甲种货车每辆运货x（t）,乙种货车每辆运货y（t）,依据题意,得2x3y1555x6y35解得x4y2 5.货主应对运费为30 3 x5y3034525 . 73513. 方案一：总利润为4 2022（ 94） 50010500（元）方案二：设4 天内加工酸奶x t,加工奶片y t,xy9依据题意,得xy431解得x75y15所以总利润为1200 7.52022 1.512022（元）1050012022,所以挑选方案二获利多；14. 设甲公司单独完成需x 周,需工钱a 万元,乙公司单独完成需y 周,需工钱b 万元,661依据题意,得xy,491xy解得x10y155 2于是有6a 10b154ab 154 8910解得a6b464,故应选乙公司单独做省钱；15. 设天平左、右臂长分别为 x、y,铁块实际重量为 m kg ,mx 04 y 由杠杆原理,可得my 09 x 由 得 m 06.16. 设应种植水稻 x 公顷,棉花 y 公顷,蔬菜 z 公顷,x y z 51依据题意,得 4 x 8 y