2013年暨南专业课高等数学考研真题

1、2013年招收攻读学位入学试题*学科、专业名称：理论物理、凝聚态物理、光学、生物医学工程（理学）研究方向：科目名称：高等数学（副卷）科目：高等数学共 4页，第 1 页考生注意：所有必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。本试卷满分为 150 分，时间为 3 小时。一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把填在题中横线上1cos2 x 1 lim22 .x0 sin xxarcsin ex2 exdx .3. 函数u ex y ln(1 y2 ) 的全微分是du .4. 曲面 x2 2 y2 3z2 2 在点 P(1, 2, 2) 处的法线方程是.5微分方程 x d

2、y y x3 的通解为.dx6设 D (x, y) x 0, y2 2 x ，则 y3d .D二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内1 设 f (x) 有任意阶导数，且 f (x) f (x)2 ， f (0) 2 ，n 2 ，则 f (n) (0) （）A 2n nB. 0,C n!2n1 ,D. 22考虑二元函数下面性质 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处连续； f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可微 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处的两个偏导数都存在；

3、 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续则下面结论正确的是（）A B C D 3. 行列式 A 不等于零的充分条件是-（）A A 的所有元素非零；B A 至少有 n 个元素非零C A 的任意两行元间不成比例D以 A 为系数行列式的线性方程组有唯一解4已知两直线 x y 2 z 1 和 x 1 y 3 z 1 相平行，则数n -（-）2214n2A 4B 4C2D.25方程 dy 2 y (0 y ) ，过点(0, 0) 有-()dxA. 一个解B 两个解C 无数个解D 三个解6函数u xy ez 在(1,1, 0) 处沿l 1, 1,1 的方向导数以及u 在该点的梯度分

4、别 是（）A 1 ,i j k ，B 1 ,i j k33C 2,i j k ，D 2,i j k科目：高等数学共4页，第2页科目：高等数学共4页，第3页三 、计算题（本题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）过 P(1, 0) 作抛物线 y x 2 的切线，求该切线与抛物线及 x 轴围成图形绕 x 轴旋转体的体积.已知 lim ( x2 x 1 ax b) 0 ，求常数a, b.x设 A 是 n 阶矩阵，有特征值1, 2, n ，求 8E 2 A .求通过点(3, 0, 0) 和点(0, 0,1) 且与 xOy 平面成 角的平面方程.3 (1)n xn求级数n 2x 1 的收敛域.n1四 、计算题（本题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分） 1求坐标原点到曲线x2 y2 z2 1C : 2x y z 1的最短距离，并问：原点到 C 有没有最大距离？为什么？2已知二次型 f () (1 a)x2 (1 a)x2 2x2 2(1 a)x x 的秩为 2，31231 2求a 的值；求正交变换 x Qy ，把 f3 ) 化成.3求微分方程 y 2 y 3y ex 的通解.科目：高等数学共 4 页，第 4 页五、证明题 （本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）设 f (x) 在0,1