有电介质的高斯定理

1、有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场满足高斯定理：可以证明：定义：称电位移矢量则：一. 的高斯定理 7-9 有电介质时的高斯定理 电位移 的高斯定理：通过任意闭合曲面的电位移通量等于面内包围的自由电荷代数和1、电位移线：规定：1）线上各点切线方向与D方向相同2）通过任意单位垂直面元的电位移线条数等于该点电位移矢量的大小特点：起自正自由电荷（或无穷远），终止于负自由电荷（或无穷远），在无自由电荷处不会中断（无自由电荷处电位移矢量连续）讨论+ 线线 从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。+线电位移线起于正的自由电荷，止于负的自由电荷。电

2、场线起于正电荷、止于负电荷，包括自由电荷和极化电荷。电极化强度矢量线起于负的极化电荷，止于正的极化电荷。只在电介质内部出现。二. 与的关系在各向同性、均匀的电介质中即：与成正比且方向相同令：称为介质的介电常数真空中：介质中真实的场：自由电荷产生的场：束缚电荷产生的场：3.介质中高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。求:板内的场解:均匀极化 表面出现束缚电荷例1 平行板电容器上自由电

3、荷面密度为充满相对介电常数为 的均匀各向同性电介质故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布则：电场方向沿x方向上底下底由高斯定理： 内底内底底S例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d内部均匀分布体电荷密度为 求：介质板内、外的解：面对称 平板相对介电常数为r ，取坐标系如图以x=0处的面为对称面过场点作正柱形高斯面S 底面积设S00 的自由电荷均匀场例3：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。解：在介质球内、外各作半径为 r 的高斯球面。高斯面球面上各点D大小相等，I区：II区：由由高斯面例. 平行板电容器的电容已知: 平行板电容器 设

4、电容器带电量 Q求: 其电容.d, S ,r解:Q- Q 求两极板间的电势差UD两极板间的电势差 根据电容定义式计算电容LAB 设两极板面电荷线密度 分别为 +，-解:做如图高斯面lr 两极板间的电势差例. 圆柱形电容器的电容已知:圆柱形电容器R1，R2，求: 其电容. 根据电容定义式计算电容单位长度的电容 dd120rBCA+例：一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为r D1D2,1. 用高斯定理求：EE12,；3. 求此电容器之电容。SS例 . 一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S， 其中置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对 介电常数为r, 求该电容器的电

5、容C。b解：根据定义设极板面密度为、-由高斯定理可得：空气隙中 介质中与t的位置无关t、Ct=b例 .一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间 平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2 的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。 求(1)该电容器的电容C(2)两极板间的电势差U。b解：（1）等效两电容的并联左半部：右半部：电容并联相加：（2）问：Q左=Q右？左右例 . 平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V 。 均匀介质r 厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1、2两区域的 和 ；(2)介质内的极化强度 ， 表面的极化电荷密度 ；(3)1、2两区域极板上自

6、由 电荷面密度 ， 。12S解：（1）(2) 介质内的极化强度 ，表面的极化电荷密度(3) 1、2两区域极板上自由电荷面密度1、212S例题7-28 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。金属球是等势体，介质以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理求解。RQ0rPS解:高斯面：过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知：所以写成矢量式为, 所以离球心r 处P点的场强为因 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/r倍, 可求出电极化强度为电极

7、化强度 与 有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为 因为r 1，上式说明恒与q0反号，在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为 总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/r倍的原因。解：（1）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。由有电介质时的高斯定理得：例题7-29 平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，

8、电容率分别为1 和2 ，厚度分别为d1 和d2 ，电容器两板极上自由电荷面密度为。求（1）在各层电介质的电位移和场强；（2）两层介质表面的极化电荷面密度；（3）电容器的电容。 +E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22所以即在两电介质内，电位移 和 的量值相等。由于所以 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。 为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。 +E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22（2）由于介质内

9、场强即：所以q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容与电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（3）正、负两极板A、B间的电势差为电容器充电过程qqUq某时刻极板带电q两板电势差Uqdqdq此时要充入外力（电源）需作功dqAdUqdqCq充电过程结束极板带电Q两板电势差U充电全过程外力所作的功0AAdQCqdq2Q2C等于电容器充电后储存的能量We2Q2CU2C2QCU2QUQQU7-10 静电场的能量一.电容器的储（静电）能注：电容器的能量存在于两极板之间的电场中二.电

10、场能量 电场能量密度+ + + + + + + + - - - - - - - -+Q-Q电场具有能量1.定义:电场能量密度单位体积电场空间中的能量2.推导:以平行板电容器的场为特例普遍成立二.电场能量 电场能量密度3、任一带电体系的电场总能量R+Qr（球外为无限大介质）drr例 求一均匀带电球面的电场能量。求:电场空间的能量解:1)任取体积元2)小体元的能量已知：Q,R,小体元内:3)电场空间总能量例:CUK已知: C , U , d求: 1) K 断开时, W e 的变化. 2) K闭合时, W e 的变化.现将 d 增大解:1) K 断开时, Q 不变2) K闭合时, U 不变因此例7-

11、30 计算均匀带电球体的电场能量，设球半径为R， 带电量为q，球外为真空。解：均匀带电球体内外的电场强度分布为相应的，球内外的电场能量密度为在半径为r厚度为dr的球壳内的电场能量整个带电球体的电场能量例题7-31一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为0）。板极上带电 Q时所储的电能为解:（1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时所加外力应等于F ，外力所作的功A

12、=Fd ，所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为例7-32 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有5105C的电荷，大气等效为5km的另一块极板，带正电荷。如下页图所示。（1）试求这个球形电容器的电容；（2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能量；（3）已知空气的电阻率为31013，求球形电容器间大气层的电阻是多少？（4）大气电容器的电容和电阻构成一个RC放电回路，这个放电回路的时间常数是多少？（5）经研究，大气电容器上的电荷并没有由于RC回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充的结果，如果平均一个雷电向地面补充25C的电荷，那

13、么每天要发生多少雷电？解：如图为地球表面外的大气层电容模型（1）球形电容器的电容公式为地球半径电离层高度F负极板（地球表面）极板间的大气电阻正极板（大气电荷）（2）地球表面电场强度为可得地球表面的能量密度为可得电能为J/m3J（3）由于hr，大气层可简化为长为h 、截面积为 的导体，其电阻为+（4）等效回路如图所示放电回路时间常数为s（5）要补充大气电容器的电荷，必须发生雷电的次数为进一步计算表明，30分钟后电荷就只剩0.3%，近似认为放电完毕。即每30分钟要产生雷电次数为2万次，每天雷电次数为电场习题例、o2ddQ2Qr已知:+2Q , +Q 相距 3d ,导体球接地,尺寸如图求:导体球所带的净电量?金属球撤去+2Q与+Q运用高斯定理单独计算。例 点电荷-q位于圆心处，A、B、C、D 位于同一圆周上的四点如图示。 -qA=0理由：ABCD四点在等势面上。求：将q0从A移至B、C、D点，电场力的功。ABCD例 已知： q1、q2、q3 沿一条直线分布。 其中任一点电荷所受