《高等代数精读》课程教学大纲

1、高等代数精读课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学开课单位：数学计算机科学学院课程类型:专业选修课程课程代码:07491360开课学期:7学分：3学时：51核心课程:否拟使用教材：1、北京大学数学系前代数小组. 高等代数(第四版). 高等教育出版社. 2010.9国内(外)现有教材：1、丘维声. 高等代数(第三版)（上、下册）. 高等教育出版社. 2015学习参考资料: HYPERLINK /writer/%E6%AF%9B%E7%A3%8A_1.html t _blank毛磊，HYPERLINK /writer/%E5%AF%87%E5%86%B0%E7%85%9C_1.html

2、t _blank寇冰煜，HYPERLINK /writer/%E6%BB%95%E5%85%B4%E8%99%8E_1.html t _blank滕兴虎. 高等代数全程学习指导与习题精解答.东南大学出版社. 2013.32、徐仲，陆全. 高等代数考研教案. 西北工业大学出版社. 2006.1二、课程描述本课程是高等师范院校数学及应用数学专业和统计专业的一门重要的提高课程。它的任务是给学生复习线性代数和多项式理论的基本概念，基本理论，基本方法和技巧的基础上将高等代数的主要内容按问题分类，通过引例归纳各类问题的解题规律，方法和技巧。课程开设的目的是帮助有志于考研和进一步深造的同学加深理解和掌握解题

3、技巧，了解考题涉及的范围。三、课程目标1、复习与多项式相关的基本概念，熟悉一元多项式的因式分解理论。 2、熟练掌握行列式的各种计算技巧. 3、掌握求解线性方程组的有解判定准则和解的结构定理，会求解一般的线性方程组。4、理解向量组的线形相关性与线性方程组有解以及矩阵的秩之间的关系。5、掌握二次型的基本理论及与矩阵理论的对应关系，掌握正定二次型的性质和应用及将实二次型化成标准型的方法和技巧，掌握正定矩阵的证明方法。 6、复习线性空间的有关概念, 掌握线性变换的运算性质及特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算，矩阵相似的概念和判定方法，Jordan标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法，了解

4、-矩阵的性质和应用，熟练掌握初等因子，不变因子和有理标准形的求法。7、复习欧几里得空间的有关概念，Schmidt正交化方法以及实对称矩阵的基本性质，掌握将实对称矩阵化成对角阵的方法，学会将线性方程组问题，矩阵问题，线性变换问题的相互转化，“几何地”思考理解线性代数问题。四、教学要求下面所列的教与学两个方面的要求，希望授课教师和同学们一体遵循。首先罗列对授课教师的一些要求：1、同学们对授课教师有任何要求或疑问，都可以通过学习委员或者其他班干部向授课教师反映，也可以直接和授课教师交流。授课教师应虚心采纳同学们的正确意见和要求。2、授课教师将严格按照课表规定的时间、地点上课，不迟到。3、授课教师将完

5、全脱稿讲课，讲课过程中不看讲稿（少量例题除外）。4、授课教师在授课过程中，力求思路清晰、详略得当、逻辑性强、重难点突出。5、授课教师在授课过程中力戒照本宣科，帮助同学们理清思路。6、授课教师要重视对学生的学习方法指导。其次我们来谈谈对同学们的一些要求：上课时请同学们保持绝对的安静，不允许讲任何和课程内容无关的话，这是一个基本的道德，即是对其他同学的尊重，也是对老师的尊敬。尽量不迟到（如果迟到，请走教室前门并喊报告，不得偷偷溜后门进课堂）、不早退。课堂上请将手机关机或调成振动并不得玩手机。4、本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课后由授课教师统一布置一些思考题，

6、总量达到10余次，由于这些思考题有一定的难度，鼓励学生互相讨论完成。5、此课程的目标是帮助同学们考研。但当同学们遇见考研难题时，请不要集中一次给授课教师，而是要分散交给授课教师来替你们解答。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：出勤率占总成绩的20%，点到不少于3次，其中缺席1次，扣掉出勤成绩的三分之一，缺席2次，扣掉出勤成绩的三分之二，缺席3次或3次以上，出勤成绩按0分算；一般每次课后都有练习布置，练习一周交一次，所有的同学都要交练习，按批改结果占总成绩的成绩20%折算后计入总成绩；期末考试为闭卷考试，占总成绩的60%。六、课程内容第一讲：多项式理论（授课时间：第七

7、学期第一周至第三周）教学目标： 1、复习与多项式相关的基本概念； 2、掌握最大公因式的计算与证明； 3、掌握互素多项式，不可约多项式，重因式的判定与证明；4、掌握多项式函数和多项式的根之间的关系；5、掌握重要数域上多项式的因式分解。教学重点：从多项式的带余除法和整除入手，帮助同学们掌握熟悉一元多项式的。因式分解理论。教学难点：Lagrange插值公式，Eisenstein公式和牛顿公式的定义、证明和应用。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于9学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）一元多项式的因式分解理论； （2）多项式函数和多项式的根之间的关系; (3) 重要数域上多项式的因式分解

8、。学习方法：小组讨论、实际运算。课后作业：完成教材上的相关练习题（随堂布置）并在相应课前提交。第二讲：行列式、线性方程组、矩阵及线性相关性（授课时间：第七学期第四周至第七周）教学目标： 1、熟练掌握行列式的各种计算技巧及clamer法则的应用；2、掌握含参数的线性方程组和抽象线性方程组的求解，求2个线性方程组的公共解，线性方程组有解的判定与证明；3、掌握向量组的线性相关和线性无关的证明，深刻理解向量组的线形相关性与线性方程组有解以及矩阵的秩之间的关系以及它们的相互转换，掌握向量由向量组线性表示的判定和证明，会利用初等变换去求向量组的秩和极大线性无关组；4、掌握求抽象矩阵的行列式，求方阵的幂，求

9、抽象矩阵的逆矩阵，求解矩阵方程，一些涉及伴随矩阵的计算和证明，矩阵秩的证明等。教学重点：线性方程组有解的判定与证明、伴随矩阵的计算和证明、求向量组的秩和极大线性无关组。教学难点：向量组的线性相关性的判定，矩阵秩的计算和证明，求抽象矩阵的逆矩阵。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于12学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）行列式的各种计算技巧； （2）线性方程组的求解; (3) 向量组的线性相关和线性无关； （4）矩阵的计算和矩阵的秩。学习方法：小组讨论、实际运算。课后作业：完成教材上的相关练习题（随堂布置）并在相应课前提交。第三讲：二次型（授课时间：第七学期第八周至第十周）教学目

10、标： 1、掌握求(证明)矩阵的特征值和特征向量，方阵可对角化的判定，计算及应用；2、掌握由特征值和特征向量反求矩阵中的参数，由特征值和特征向量反求矩阵；3、掌握相似矩阵和正交矩阵的判定和证明；4、掌握正定矩阵的判定与证明，由正定矩阵证明其他结论；5、掌握由正交变换化二次型为标准型，实对称矩阵的标准正交化，二次型的几何应用等。教学重点：矩阵的特征值和特征向量，方阵的对角化，正定矩阵。教学难点： 二次型的几何应用，由正定矩阵证明其他结论。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于9学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）矩阵的特征值和特征向量； （2）方阵可对角化; (3) 正定矩阵的判定与证

11、明； （4）实对称矩阵的标准正交化。学习方法：小组讨论、实际运算。课后作业：完成教材上的相关练习题（随堂布置）并在相应课前提交。第四讲：线性空间与线性变换（授课时间：第七学期第十一周至第十三周）教学目标： 1、复习线性空间与线性变换的一些基本概念；2、会求线性(子)空间的基与维数，子空间的交与和的基与维数，掌握子空间直和的判定与证明。3、会求线性变换的矩阵，掌握线性变换的运算与矩阵的运算之间的关系；4、掌握求线性变换的值域与核，线性变换的不变子空间的证明；5、熟练掌握行列式因子，初等因子，不变因子的求法和他们之间的关系以及有理标准形的求法；6、会求矩阵的若当标准形和有理标准形，掌握它们的实际应

12、用；7、掌握最小多项式的求法及有关证明，最小多项式的应用，Hamilton-cayley定理的应用。教学重点：线性变换与矩阵之间的关系，矩阵的若当标准形，最小多项式，线性变换的值域与核。教学难点：最小多项式的求法，矩阵的有理标准形的求法， Hamilton-cayley定理的应用。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于9学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）(子)空间的基与维数； （2）矩阵的若当标准形和有理标准形; (3) 行列式因子，初等因子，不变因子； （4）线性变换的值域与核。学习方法：小组讨论、实际运算。课后作业：完成教材上的相关练习题（随堂布置）并在相应课前提交。第五讲：欧氏空间（授课时间：第七学期第十四周至第十六周）教学目标： 1、复习欧氏空间的一些基本概念；2、掌握标准正交基的求法。3、掌握正交补空间的计算和证明；4、掌握正交性变换与对称变换的判定与证明；5、会化简对称变换的矩阵；教学重点：正交基和Schmidt正交化方法以及实对称矩阵的基本性质，掌握将实对称矩阵化成对角阵的方法。教学难点：Schmidt正交化方法。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于9学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）欧氏空间； （2）矩阵的若当标准形和有理标准形; (3) 标准正交基的求法。学习方法：小组讨论、实际运算。课后作业：完成教材上的相关