《高等数学1》课程教学大纲

1、高等数学1,2课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12110103,12110104 课程英文名称：Higher Mathematics课程面向专业：理工类专业课程类型：必修课学分：10.5 总学时数：168 (其中理论学时：168；实验学时：0 )二、课程性质与目的高等数学课程是高等学校理工类各专业学生的一门必修的非常重要的基础理论课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习,要使学生系统地获得微积分、向量代数和空间解析几何、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的基础。在传授知识的过程中

2、，要逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，同时还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力，以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。三、课程教学内容与要求(一)函数、极限、连续1、教学内容与要求（1）理解函数、区间、邻域等概念。（2）了解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性以及这些特性各自反映在图形上的特点。（3）了解反函数的概念及其图形，掌握基本初等函数的性质及图形。（4）理解复合函数、初等函数的概念，并了解分段函数、双曲函数。（5）会建立简单实际问题中的函数关系式。（6）理解极限的概念。了解数列极限的N定义，函数极限的（X）定义。（对于给出求N 或或X 不

3、作要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。（7）了解收敛数列的有界性，极限的唯一性，了解函数极限的保号性。（8）了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系。（9）掌握极限的四则运算法则。（10）了解两个极限存在法则（夹逼法则和单调有界法则），会用两个重要极限求极限。（11）了解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系，无穷小与函数极限的关系，了解无穷小的比较。会用等价无穷小求极限。（12）理解函数在一点连续的概念。（13）理解函数在一点处左、右连续的概念以及函数在一个区间上连续的概念。（14）了解函数间断点的概念,会判断间断点的类型。（15）了解连续函数的和、差、积、商的连续性，

4、了解反函数与复合函数的连续性。了解初等函数的连续性。（16）掌握用连续性计算初等函数的极限。（17）了解在闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理和介值定理。2、教学重点函数概念、复合函数、极限概念及其计算、函数的连续性与间断点概念。3、教学难点极限精确定义、函数的连续性与间断点的讨论。（二）导数与微分1、教学内容与要求（1）理解导数的概念（包括左、右导数，高阶导数）。了解函数可导性与连续性的关系。（2）理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。（3）理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想。了解微分的几何意义及函数的可微性与可导

5、性的关系。（4）会用定义求导数（包括分段函数的导数）。（5）掌握导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）以及导数的基本公式。能熟练地求初等函数的一阶、二阶导数，会求简单函数的n阶导数。（6）掌握隐函数与参数式所确定函数的一阶、二阶导数的求法（包括取对数求导的方法），了解反函数的求导法，掌握抽象形式函数的一阶、二阶导数的求法。会解一些简单实际问题中相关变化率问题。*（7）会用微分进行近似计算。2、教学重点导数与微分的概念，初等函数的求导公式和求导法则。3、教学难点复合函数、隐函数、参数方程所表示的函数的导数计算，高阶导、相关变化率问题、微分近似计算。(三) 中值定理与导数应用教学内容与要求（1

6、）理解罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理，了解泰勒定理及用多项式逼近函数的思想，会用罗尔定理和拉格朗日定理解决一些简单问题。（2）会用罗必达法则求不定式的极限。（3）掌握函数增减性判别法。（4）理解函数极值的的概念和必要条件。掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。（5）掌握求函数的最大值和最小值方法并会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。（6）掌握函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法。（7）会利用导数描绘函数图形（包括水平和铅直渐近线）。（8）了解曲率与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。*（9）了解求方程近似解的二分法和切线法思想。2、教学重点罗尔定理与拉格朗日定理、罗必达法则

7、、极值概念、最值的应用问题。3、教学难点中值定理有关的证明问题、最值的应用问题。（四）不定积分1、教学内容与要求（1）理解原函数与不定积分的概念及其性质。（2）掌握不定积分的基本公式。（3）掌握不定积分的直接、换元、分部三种积分法。（4）会求简单的有理函数，三角函数与无理函数积分。2、教学重点不定积分的概念、不定积分的基本公式、不定积分的换元法与分部积分法。3、教学难点不定积分的换元法与分部积分法。（五）定积分1、教学内容与要求（1）理解定积分的概念、性质。（2）理解作为变上限的函数的定积分及求导方法，熟悉牛顿-莱布尼兹公式。（3）掌握定积分的换元与分部积分法。*（4）了解定积分近似计算法。（

8、5）了解广义积分的概念，会计算广义积分。2、教学重点定积分的概念、变上限函数及求导定理、牛顿-莱布尼兹公式。3、教学难点变上限函数及求导定理、广义积分的敛散性讨论。（六）定积分应用1、教学内容与要求（1）掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法。（2）会建立某些几何量（面积、体积、弧长）的积分表达方法。（3）会用定积分表达某些物理量（功、压力、引力）。2、教学重点元素法、定积分的几何应用（如求面积、体积、弧长等）。3、教学难点定积分的物理应用（如求功、水压力、引力等）。（七）空间解析几何与向量代数1、教学内容与要求（1）理解向量概念及向量的坐标表示法。（2）掌握向量运算，会用坐标表示向量的和

9、与内、外积。（3）掌握向量夹角求法及垂直平行条件。（4）掌握平面方程与直线方程的求法，会用平面、直线的相互关系解决有关问题。（5）理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。（6）了解常用二次曲面方程及图形，绕坐标轴旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面。（7）掌握空间曲线在坐标面上投影曲线。2、教学重点向量概念与计算，平面与直线方程，常见二次曲面的方程与图形。3、教学难点外积，常见二次曲面围成立体图形的画法，空间曲线、曲面、立体在坐标面上的投影的表示法。（八）多元函数的微分法及应用1、教学内容与要求（1）理解二元函数的概念，掌握定义域求法，了解平面区域概念。（2）了解二元函数极限、连续性

10、及有界闭区域上连续函数性质。（3）理解偏导数概念及计算方法。（4）理解全微分概念，并会利用全微分求函数偏导数。（5）了解方向导数与梯度的概念和计算方法。（6）掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数(包括抽象形式的函数)。（7）会求隐函数的一阶偏导数。（8）了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线。并会求出它们的方程。（9）理解二元函数极值的概念，会求函数的极值、了解条件极值的概念，了解用拉格朗日乘数法求条件极值方法、会求解一些较简单的最大值最小值应用题。（10）了解函数的连续、偏导数存在、全微分存在、偏导数连续之间的关系。2、教学重点偏导数与全微分的概念与求法、复合函数求导法

11、、曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线、极值问题。3、教学难点抽象复合函数的二阶偏导、方程组式隐函数偏导、条件极值的应用。(九) 重积分1、教学内容与要求（1）理解二重积分、了解三重积分的概念，了解重积分的性质。（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会求简单三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）。（3）会用重积分表达一些几何量和物理量（如曲面面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力等）。2、教学重点二重积分的概念与计算。3、教学难点三重积分的计算法。（十）曲线积分与曲面积分1、教学内容与要求（1）理解两类曲线积分的概念，了解其性质。（2）掌握两类曲线积分的计算方法，了解它们之间的联系

12、。（3）掌握格林公式，掌握平面曲线积分与路径无关的条件。（4）了解两类曲面积分的概念及其性质，了解它们之间的联系。（5）掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式计算两类曲面积分，了解散度的概念与计算等。*（6）了解斯托克斯公式，环流量和旋度。（7）能用曲线、曲面积分表达一些几何量和物理量（如弧长、曲面面积、质量、重心、功、流量等）。2、教学重点两类曲线、曲面积分的计算、格林公式、高斯公式。3、教学难点对坐标的曲面积分与空间曲线积分的计算、斯托克斯公式、散度、旋度概念。（十一）无穷级数1、教学内容与要求（1）理解级数敛散性概念及级数和，了解级数收敛的必要条件与基本性质。（2）熟悉几何级数和级数的

13、敛散性。（3）了解正项级数的比较判别法，掌握比值判别法，了解根值判别法。（4）了解交错级数的莱布尼兹定理，了解截断误差估计。（5）了解绝对收敛与条件收敛的概念，及绝对收敛与条件收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛域、和函数。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法。（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（求导、求积、求极限）,会用来求和函数。（9）了解函数的台劳展开的充要条件。（10）熟悉 、的马克劳林展式。并能用这些展式将一些简单函数展开成幂级数。（11）了解用幂级数进行一些近似计算的思想。（12）了解函数展成傅立叶级数的充分条件。（13）掌握傅立叶系数公式，并能将以为周期的周期函数

14、（或延拓后成为以为周期的周期函数）展成傅立叶级数，了解将以为周期的周期函数展成傅立叶级数。（14）了解用三角函数逼近周期函数的思想。（15）了解奇偶函数怎样展成正弦、余弦级数。2、教学重点级数收敛性概念与判别、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的求法、函数间接展开法、周期为2的函数展成傅立叶级数。3、教学难点比较判别法、幂级数求和、以2为周期的函数展成傅立叶级数。（十二）常微分方程1、教学内容与要求（1）了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。（2）会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努利方程和全微分方程。（3）熟练掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解

15、法，会解全微分方程。（4）会解齐次方程，并从中领会用变量代换解微分方程的思路。（5）会用降阶法求解下列三种高阶方程： （6）理解二阶线性方程解的结构。（7）掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。（8）会求自由项为多项式与指数函数的乘积的二阶常系数非齐次线性方程的特解、了解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数乘积的二阶常系数非齐次线性方程的解法。（9）会用微分方程解决一些简单的实际问题。2、教学重点变量可分离方程、一阶线性方程、二阶常系数线性方程。3、教学难点一阶微分方程类型的识别、二阶常系数非齐次方程求解、应用问题。注：带*号的部分为教学选用内容。四、学

16、时分配学时分配表序号教学内容学时课堂讲授实验课习题课讨论课其它1函数、极限、连续1422导数与微分1223微分中值定理与导数应用1244不定积分825定积分826定积分应用827空间解析几何与向量代数1228多元函数微分法及其应用1629重积分12210曲线积分与曲面积分14211无穷级数14212常微分方程122小计14226比例85%15%合计168五、教学环节与教学要求教学环节含四个方面：课堂讲授、习题课、辅导答疑、作业布置与批改。课堂讲授：采用启发式教学，引导、激发、调动学生主动学习的积极性，部分教师采用多媒体教学。习题课：方式灵活多样，可老师讲，可学生讲，可师生讨论，力争将所学单元知识系统化、明朗化，并适当加深加宽知识面。辅导答疑：每个