统计学概论第6章假设检验

1、第6章 假设检验主要内容6.1： 假设检验概述6.2： 总体均值的检验6.3： 总体比例的检验6.4： 总体方差的检验郭国庆主编假设检验在统计方法中的地位统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验学习目标假设检验的基本思想和原理 假设检验的步骤总体均值的检验总体比例的检验总体方差的检验6.1 假设检验概述6.1.2 假设检验的步骤6.1.3两类错误和假设检验的规则郭国庆主编6.1.1 假设检验的基本思想什么是假设? 对总体参数的具体数值所作的陈述总体参数包括总体均值、比例、方差等分析之前必需陈述什么是假设检验? (hypothesis test)先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用

2、样本信息判断假设是否成立的过程有参数检验和非参数检验逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理假设问题的提出例：假如雪碧瓶的标签上标明的容量为500毫升，如果你从市场上随机抽取25瓶，测得其平均含量为499.5毫升，标准差为2.63毫升。据此，可否断定饮料厂商欺骗了消费者？（假定饮料的容量服从正态分布） 分析: 样本平均含量低于厂商声称的平均含量，其原因不外乎有两种：一是由抽样误差引起的。如果样本平均数与总体平均数之差不大，未超出抽样误差范围，则可认为两者之差就是由抽样误差引起的，饮料厂商不存在欺诈行为。二是由饮料厂商短斤少两引起的，即饮料厂商存在欺诈行为。在这种情况下，样本平均数与总体平均数之差

3、就会超出抽样误差范围，因为其差异是厂商的有意行为。 假设检验的基本依据小概率原理: 小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。如果对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的小概率事件A在一次试验中是几乎不可能发生的；如果在一次试验中事件A竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。假设检验基本原理小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。假设检验的基本思想前提：承认原假设小概率事件发生大概率事件发生拒绝原假设不拒绝原假设进行一次实验假设的表达式：原假设与备择假设郭国庆主编原假设(null hypothesis)又称“0假设”，研究者想收集证据予以反对的假设统计语言是用

4、一个等式或不等式表示问题的原假设。3. 表示为 H0H0 ： = 某一数值 指定为符号 =， 或 例如, H0 ： 20cm研究者想收集证据予以支持的假设也称“研究假设”总是有符号 ,或 ;表示为 H1H1 ： 某一数值，或 某一数值例如, H1 ： ”或“”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed test)备择假设的方向为“”，称为右侧检验 双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验(假设的基本形式)假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0 : m = m0H0 : m m0H0 : m m0备择假设H1 : m m0H1 : m m06.1.3两类错误与显著性水平郭国庆主

5、编假设检验中的两类错误第类错误(弃真错误)原假设为真时拒绝原假设第类错误的概率记为被称为显著性水平第类错误(取伪错误)原假设为假时未拒绝原假设第类错误的概率记为(Beta)H0: 无罪假设检验中的两类错误(决策结果)陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪有罪H0 检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1 a)第类错误(b )拒绝H0第类错误(a )正确决策(1-b )假设检验就好像一场审判过程统计检验过程错误正确错误正确对于一定的样本容量n ，不能同时做到两类错误的概率都很小。如果减小错误，就会增大犯错误的机会；若减小错误，也会增大犯错误的机会。使、 同时变小的办法就是增大样本容量。

6、一般地说，哪一类错误所带来的后果越严重，危害越大，在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要的控制目标。但在假设检验中，一般均首先控制犯错误概率。两类错误关系显著性水平 (significant level)1.假设检验中发生第类错误的概率2.原假设为真时，拒绝原假设的概率被称为抽样分布的拒绝域当原假设正确时，检验统计量落在拒绝域的概率3.表示为 (alpha)常用的 值有0.01, 0.05, 0.104.由研究者事先确定统计量与拒绝域郭国庆主编根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量标准化的检验统计量 对样本估计量的标准化依据原假设H0为真点估计量的抽样分布

7、 检验统计量(test statistic)拒绝域1、能够拒绝原假设的检验统计量的所有可能取值的集合。2、是由显著性水平所围成的区域。 3、根据显著性水平确定的拒绝域的边界值，称为临界值。显著性水平和拒绝域(双侧检验 )抽样分布0临界值临界值a/2 a/2 样本统计量拒绝H0拒绝H01 - 置信水平显著性水平和拒绝域(双侧检验 )0临界值临界值a /2 a /2 样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域(双侧检验 )0临界值临界值 a /2 a /2 样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域(双侧检验 )0临界值临界值a /2 a /2

8、样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域( 左侧检验 )0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域(左侧检验 )0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1 - 置信水平观察到的样本统计量显著性水平和拒绝域(左侧检验 )0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域(右侧检验 )0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1 - 置信水平显著性水平和拒绝域(右侧检验 )0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1 - 置信水平观察到的样本统计量显著性水平和拒绝域(右侧检验 )0临界值a样本统计量抽样分布1 - 置信水平拒绝H0决策规则

9、给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或z/2， t或t/2将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较作出决策双侧检验：I统计量I 临界值，拒绝H0左侧检验：统计量 临界值，拒绝H0利用P值进行决策 p-值是一个概率值，它是用于确定是否拒绝H0的另一种方法。如果假定原假设H0为真，那么所得样本结果出现实际观测结果那么极端的概率，称为p-值，也称为观察到的显著性水平。 指在某个总体的多个样本中，某一类数据出现的经常程度。当原假设正确时，得到所观测的数据的概率5-41 假设检验的P值（右侧检验中） P值表示所观察到的样本对原假设的支持程度。 P值越小，说明拒绝原假设的证据越强检验统计量的观察值值05

10、-42 P值的计算单侧检验中，P值通常为统计量分布曲线从检验统计量的观察值到拒绝区域这一侧的面积。 设检验的统计量为z，zc是计算得统计量的值。 左侧检验时，P值= Pz zc 右侧检验时，P值= Pz zc 双侧检验中，P值=单侧P值的2倍。即： P值=2Pz zc，当 zc在右侧时; 或 P值=2Pz zc ，当 zc 在左侧时。 若p-值 ,不拒绝 H0;P值拒绝原假设的最小显著性水平； 观察到的显著性水平（实测的显著性水平)检验的显著性水平是事先设定的拒绝原假设时所犯错误的概率的最大允许值。 P值是根据观察样本实际计算的拒绝原假设时所犯错误的概率值。利用 P 值进行决策5-44 P值与

11、的关系显著性水平（图）“统计量的实现值比临界值更极端”“p值小于” 5-45 假设检验的P值（例-右侧 ）H0: ；H1:检验统计量:结论：由于P值小于给定的显著性水平0.05，所以应该拒绝H0 P值 = PZ2.5 =0.00620.05 0检验统计量的观察值5-46 t 检验中P值的计算（左侧） 例，H0: ；H1: 检验统计量:结论: P值小于给定的显著性水平0.01，故应拒绝H00.01 0检验统计量的观察值P值= P t -7.303 =0.0009355-47 假设检验的P值（双侧 ）（1）H0: ；H1: 检验统计量:结论：P值 402检验统计量: 拒绝H0结论：该企业职工平均奖

12、金本月比上月有明显提高。决策:z0拒绝H00.051.645解：已知，0 =402， = 0.05， n = 50，总体均值的检验 (大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ： m =m0H1 ： m m0H0 ： m m0H1 ： m m0统计量 已知： 未知：拒绝域P值决策拒绝H0总体均值的检验(小样本)1.假定条件总体服从正态分布小样本(n 30)检验统计量 2 已知： 2 未知：总体均值的检验 (小样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ： m =m0H1 ： m m0H0 ： m m0H1 ： m m0统计量 已知： 未知：拒绝域P值决策

13、拒绝H0总体均值的检验 (例题分析)【例】抽取某地区粮食样品9个，测得其中六六六的平均值为0.325mg/kg，标准差为0.068mg/kg，国家卫生标准规定，粮食中六六六残留量应不大于0.3mg/kg。假定粮食中六六六残留量服从正态分布，问该地区粮食中六六六残留量是否超标？H0 ： 0.3H1 ： 0.3检验统计量: 结论：样本提供的证据还不足以推翻原假设。即没有足够的证据说明该地区粮食中六六六残留量超标 .决策：不拒绝H0解：已知，0 = 0.3， = 0.05， n = 9，郭国庆主编6.3 总体比例检验假定条件总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)检验的 z 统计量 0为假设的总

14、体比例总体比例的检验(检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0： = 0H1： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量拒绝域P值决策拒绝H0例题分析【例】在过去的一年内，某公司的生意有30%是赊账交易，70%是现金交易，最近一个含有100笔交易的样本显示有40笔是赊账交易，若取显著性水平为0.05，问该公司的赊账交易政策是否有所变化？ 双侧检验H0 ： = 30%; H1 ： 30%检验统计量:拒绝H0结论：即认为该公司的赊账交易政策已经有所变化 .决策:由于:解：已知， 0 = 30%， = 0.05， n = 100，查表求临界值：总体比例的检验 (例题分析)【例】 某公司负责人

15、发现开出去的发票有大量笔误，而且断定这些发票中，错误的发票占20%以上。随机检查400张，发现错误的发票占25%。这是否可以证明负责人的判断正确（显著性水平为0.05）？ 单侧检验H0 ： 20%; H1 ： 20%检验统计量:拒绝H0结论：即负责人的判断是正确的。 决策:由于:解：已知， 0 = 20%， = 0.05， n = 400，查表求临界值： 6.4 总体方差的检验检验的意义：方差或标准差也是正态总体的重要参数，它是研究产品质量波动程度，生产稳定性等的重要标志，所以对总体方差或标准差的推断也具有其实用价值检验的基本思路：考虑到样本的修正方差S2 是总体方差2的无偏估计量，若原假设

16、H0: 2 = 02 为真， 则（S2 / 02 ） 的取值应该在1附近；如果该比值显著地不等于1，则判定原假设不成立。因此，可根据该比值的抽样分布来进行此项检验。总体方差的2检验对给定的显著性水平，可查得 2分布表中自由度为（n-1)所对应的临界值。 单侧检验时，临界值为 2 1-(n-1) 或 2(n-1) 双侧检验时，临界值为2 1-/2(n-1) 和 2/2(n-1) 检验统计量:提出假设:对给定的显著性水平，可查得 2分布表中自由度为（n-1)所对应的临界值。 单侧检验时，临界值为 2 1-(n-1) 或 2(n-1) 双侧检验时，临界值为2 1-/2(n-1) 和 2/2(n-1) 20/2拒绝域 接受区域 拒绝域/2【例】某厂生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求该机器装一瓶1000ml的饮料误差上下不超过1ml，如果达到设计要求标明该机器稳定性很好。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，测得结果如下表，试以=0.05 的显著性水平该机器的性能是否达到设计要求？正态总体方差检验在=0.10的水平上不拒绝H0，即没有证据推翻原假设检验统计量：决策和结论： 解： = 0.05 n-1=25-1=24 提