3章人身保险的数理基础

1、第3章 人身保险的数理基础 寿险精算概论 利息理论 生命表和生存函数 生存年金 人寿保险保费的确定 健康和人身意外伤害保险保费的确定第3章 人身保险的数理基础3.1 寿险精算概论基本概念保险精算：运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析，为保险业提高管理水平、制定策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科。寿险精算：在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上，考虑资金投资回报率及其变动，根据保险种类、金额、期限、保险金给付方式、保险费缴纳方式及保险人对经营费用的估计等，对投保人需缴纳的保险费水平、保险人在不同时期必须准备

2、的责任准备金以及人身保险的其它方面进行的科学精确的计算。第3章 人身保险的数理基础3.1 寿险精算概论早期寿险业务的局限性承包的对象单一，限制较多业务量小缺乏严密的科学基础寿险精算的理论渊源1693年，哈雷，世界上第一张完整的生命表辛普森，据哈雷的生命表构造了保险费率表多德森，根据年龄的差异确定了更精确的保险费率表莫伊维，死亡法则，年金问题1762年，世界上第一家真正的寿险公司-英国公平保险公司的成立标志着现代寿险制度的建立第3章 人身保险的数理基础3.1 寿险精算概论寿险精算的意义人寿保险中存在着被保险人生死不确定性的风险，这些风险需通过科学的方法来预测、运用定量的方法来分析寿险经营的特性（

3、收入和支出在时间上的不配比）决定了其必须要进行大量的定量分析总之，人寿保险的科学运营客观上离不开精算，寿险精算使人寿保险的经营科学化，确保了经营的稳定性和盈利水平寿险精算的基础-概率论随机事件及其概率随机变量及其分布大数定律和中心极限定理第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论终值函数和现值函数A(0)：本金，常记为KI(t)：(0,t)时间区间内产生的利息A(t)=A(0)+I(t)=K+I(t)：终值函数 (3.2.1)a(t)=A(t)/A(0)=A(t)/K：单位货币经t时期后的价值 (3.2.2)a(0)=1A(t)=A(0)a(t)=Ka(t) ：单位货币的终值在时期之初的价值

4、：K个货币单位的资本的现值函数第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利息计算的方法：单利与复利单利法：仅对本金计息，对利息不再付息。以i表示实际利率，则其终值函数的形式为：a(t)=1+it (3.2.3)复利法：不仅对本金计息，还对产生的利息计息。以i表示实际利率，则其终值函数形式为： (3.2.4)利息的度量实际利率：计算利息的期间长度与基本的时间单位一致，则资本在该段时间内获取利息的能力就是实际利率，又称为有效利率，以i表示。 某时期内实际利率=该时期内得到的利息总额/本金第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利息的度量名义利率：当计算利息的期间长度与基本的时间单位不一致时，则原

5、来规定的以基本时间单位为基础的利率就是名义利率，以 表示，其中m表示在基本的时间单位内计息的次数。名义利率和实际利率的相互转化： (3.2.5)实际贴现率：若计算贴现额的期间长度与基本的时间单位一致，实际贴现率就是到期末的总贴现额与到期日应付额之比，以d表示。第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利息的度量名义贴现率：当计算贴息额的期间长度与基本的时间单位不一致时，则原来规定的以基本时间单位为基础的贴现率，以 表示，其中m表示在基本的时间单位内贴现的次数。名义贴现率和实际贴现率的相互转化： (3.2.6)第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利息力利息力：简称息力，是衡量在某个确切时点

6、上利率水平的指标。通常用 表示时刻t的息力， 的定义是： (3.2.7) 本质上，息力 表示在时刻t上的瞬时利息率，是时刻t时瞬时获取利息的能力，它是对利息最基本的度量。根据息力的定义，对公式(3.2.7)两边积分得第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利息力由上面的积分表达式可得 (3.2.8) 该式表明：投入单位货币的本金，在息力 已知的条件下，经过时期t后的终值a(t)可按公式(3.2.8)计算。反过来，经过时期t后的单位货币资本，在息力 已知的条件下，它在该时期之初的现值为 (3.2.9)第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论利率、贴现率和息力之间的关系 第3章 人身保险的数理

7、基础3.2 利息理论现金流的现值与终值的计算现金流：在不同时点上发生的一系列的资本流出或流入已知利息率，求a(t)。设本金为1，经过时期t后终值为：单利：复利：实际利率：名义利率： 其中t既可以是整数也可以是分数。第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论现金流的现值与终值的计算已知利息率，求 。设时期t之末的终值为1， 表示时期t之初的现值，则：单利：复利：实际利率：名义利率： 其中t既可以是整数也可以是分数。第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论现金流的现值与终值的计算已知贴现率，求a(t)。 单贴现率：复贴现率：实际贴现率：名义贴现率： 其中t既可以是整数也可以是分数。第3章 人身保

8、险的数理基础3.2 利息理论现金流的现值与终值的计算已知贴现率，求 。 单贴现率：复贴现率：实际贴现率：名义贴现率： 其中t既可以是整数也可以是分数。第3章 人身保险的数理基础3.2 利息理论确定年金年金：在一定时期内在相等的时间间隔上所作的一系列给付。并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定量确定年金：年金的一种形式，只要事先约定，就必定支付的年金。 仅与利率有关，而与人的生死无关分类：期初付年金、期末付年金 即期年金、延期年金第3章 人身保险的数理基础3.3 生命表和生存函数生命表生命表：又称死亡表，生命表所考察的一群人是一个特定的生存集合，根据是否

9、考虑人数的随机波动，可分为随机生存组和确定性生存组。 几个基本栏目： x：被观察的人口年龄 ：生存数，指x岁的生存人数 ：死亡数，指x岁的人在一年内死亡的人数 ：年生存率，指x岁的人在一年后仍生存的概率 ：年死亡率，指x岁的人在一年内死亡的概率第3章 人身保险的数理基础3.3 生命表和生存函数生命表生命表的选择 类型按对象：国民生命表、经验分布表按性别：男子表、女子表、男女混合表按测定死亡率时观察期间的取法：选择表、综合表、截断表按业务：寿险生命表、年金生命表不同寿险业务的精算，应结合不同分类，选择适当的生命表作为预定死亡率的基础选择生命表作为精算基础时，应考虑生命表人群的死亡状况与计算对象的

10、死亡状况接近。第3章 人身保险的数理基础3.3 生命表和生存函数生存函数保险领域常用的死亡法则 Abraham de Moivre 死亡法则： 为极限（最终）年龄 Gompertz 死亡法则： 令 ，对上式积分得 （C为常数）Makeham 死亡法则： （A、C为常数） 第3章 人身保险的数理基础3.4 生存年金生存年金：年金的一种形式，以人的生存作为年金支付的条件，按期作一连串的给付。生存年金与确定年金的联系和区别联系：都为年金的一种形式，有年金的特点和性质区别：生存年金以特定的人的生存为给付条件；确定年金与特定的人或年金受领人的生死无关。生存年金的给付期间或给付次数，事先无法确定；而确定年

11、金的给付期间或给付次数，事前可以确定。生存年金的有关计算，除考虑利息率外，还必须考虑特定的人或年金受领人的生存率；而确定年金中的计算，一般只考虑利息率。第3章 人身保险的数理基础3.4 生存年金生存年金的分类： 终身年金：生存中终身均予给付定期生存年金：以某一特点期间为限+仍生存延付年金：生存一定期间或到达一定年龄后+仍生存即时年金：从订约年度开始+生存生存年金的例子：投保人或被保险人分期缴付的保险费退休年金：从退休之日开始每隔一定时期所作的一系列给付第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定保费的概念和构成： 保费：保险人为履行一定的保险责任向投保人收取的实际金额，通常称为“毛保费

12、” 纯（净）保费：恰能满足保额支付 开业费用、代理手续费，法律纠 纷费、行政管理费、死亡调查费 风险加成 税收 利润费用负荷毛保费第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定保费的支付方式： 趸缴保费：一次性付清定期缴纳均衡保费：定期缴纳固定款额定期缴纳非均衡保费：定期缴纳可变款额 保费的计算特点和原则：计算特点：在过去资料的基础上，形成对未来的预期原则：充足性：收入和成本持平公平性：视被保险人的情况区别对待适量性：制定保费时应同时考虑双方的利益第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定精算中：期望收支平衡原则（期望损失为零原则） 纯保费的精算现值=保额的精算现值费用负荷毛保

13、费的精算现值=保额的精算现值+费用的精算现值毛保费的精算现值=纯保费的精算现值+附加保费的精算现值预期比率：利息率、死亡率及费用率人寿保险纯保费的确定： 趸缴纯保费的计算原则 趸缴纯保费的精算现值=保额的精算现值第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定人寿保险纯保费的确定：自然保费和均衡保费：自然保费是指每期按被保险人当期的出险频率计算的保费；均衡保费是指每期缴纳相同的保费。均衡纯保费的计算：根据等值方程可知，对保额、保险期限确定的同一险种来说，趸缴纯保费的精算现值与均衡纯保费的精算现值应相等，都等于保额的精算现值，所以我们可以利用已求出的趸缴纯保费来计算定期缴纳均衡纯保费。即 均

14、衡纯保费的精算现值=趸缴纯保费的精算现值=保额的精算现值第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定：费用负荷毛保费的计算 费用分析按经营过程各环节的费用分类：承保费（发行费）：一般按保单来收取维持费（揽收费）：与费用负荷毛保费成比例理赔费：一般与保额成比例一般费用：其他费用都归于此类 按费用是否与保费或保额有关分类：第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定：费用负荷毛保费的计算 费用分析 按费用是否与保费或保额有关分类：每保单固定费用：一般为常数与保费相关的费用：设成保费的一定百分比与保额相关的费用：设成保额的一

15、定百分比其他费用通常假设均衡的费用负荷毛保费第3章 人身保险的数理基础3.5 人寿保险保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定：费用负荷毛保费的计算 均衡费用负荷毛保费的计算方法：直接根据等值方程来计算费用负荷毛保费，遵循“收支平衡原则”，计算公式即为：费用负荷毛保费的精算现值=保额的精算现值+费用的精算现值通过对利率和死亡率采用较稳健的假设而在“纯保费”中设置不明显的费用负荷，从而得出费用负荷毛保费。毛保费的计算：“收支平衡原则”； 风险和利润加成第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定健康保险保费的厘定健康保险保费的影响因素发病率、利率费用率、保单失效率营销方法、

16、核保理念理赔方针整体理念与目标法律状况经济状况国家的社会保障制度医院的管理和医务水平第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定健康保险保费的厘定健康保险费率厘定的方法 统一费率法（the flat-rate basis）阶梯费率法（the step-rate basis）一年定期法（one-year term basis）其中常用的基本方法是赔付率法（loss ratio method） 赔付率=已发生的赔付成本/已赚得的保费均衡保费法（equilibrium rate basis）平均年净赔付成本=年赔付频数平均赔付金额 第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意

17、外伤害保险保费的确定健康保险保费的厘定以发病率为例：初探健康保险费率的厘定过程 搜集发病率的统计资料新公司：年净赔付成本本公司对被保险人的资料记录行业出版物，如经验数据的年度报告人寿保险的丧失工作能力收入附加特约等经验数据团体健康保险的经验数据对搜集到的经验数据进行分析、修正和有选择的使用 医疗费用的变化保险前期的赔付较大保单的实效率较高第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定健康保险保费的厘定以发病率为例：初探健康保险费率的厘定过程 估计赔付频数和平均赔付金额，确定年度净赔付成本，计算均衡纯保费总保费：纯保费+费用+意外准备金对一定金额的某保险金，按被保险人的年龄、

18、性别、职业、地区发病率、费用、保单失效率和利率给出总保费的估计值对估计值用现实的经验数据测试、调整，最终确定总保费第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定人身意外伤害保险保费的厘定意外伤害保险费率 =纯费率+附加费率计算意外伤害保险费率的一般方法首先根据被保险人的危险程度分类1年期意外伤害保险：职业分类极短期意外伤害保险：按被保险人所从事的活动性质在对被保险人分类的基础上，依有关统计资料计算费率纯费率的计算附加费率的计算第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定人身意外伤害保险保费的厘定意外伤害保险费率 =纯费率+附加费率计算意外伤害保险费率的一般方法纯费率的计算计算原理：被保险人交纳的纯保险费与其所能获得的保险金额的数学期望值相等：P=E(X) 第3章 人身保险的数理基础3.6 健康和人身意外伤害保险保费的确定人