高中教案圆锥曲线2

1、高中教案：圆锥曲线高中教案：圆锥曲线54/54高中教案：圆锥曲线解析几何题的解法举例课程设置针对学生的实际学习水平，对高中二年级解析几何部分做重点讲解，首先，介绍此部分的知识考察特点，达到知己知彼；其次，介绍两种常用的求曲线方程的方法和直线与圆锥曲线的地址关系的研究方法，贯通融会；再次，梳理基础知识，切莫本末倒置，打牢双基；最后，实例讲解，参透玄机。一，考察特点(1)由已知条件建立曲线的方程，研究曲线的性质.用待定系数法确定圆锥曲线的标准方程，求它们的焦点、焦距、准线、离心率等元素，研究几何性质.(2)直线与圆锥曲线的地址关系是重点考察内容之一，主要议论直线和圆锥曲线的公共点问题，求弦长、焦点

2、弦长及中点等问题.(3)相关解析几何的最值问题、曲线方程中含字母参数的范围问题以及对称问题是经常出现的内容，涉及知识面广，常用到函数、不等式和三角等方面的知识.(4)相关探索性题型，因为它拥有考察思维能力、区分度较高的功能，所以经常结合其它章节的知识点出现在试题中.(5)平面向量和解析几何结合，已成为新的热点.二，求曲线的方程的常用方法以及直线与圆锥曲线的地址关系的研究方法解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，经过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等

3、)，常用待定系数法求方程.另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所知足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.（3）参数法：经过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.（4）交轨法：动点是两条动曲线的交点组成的，由x,y知足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故友轨法也属参数法.直线与圆锥曲线的地址关系的研究方法(1)判断直线l与圆

4、锥曲线C的地址关系，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消去x)获得一个关于变量x的一元方程ax2+bx+c=0，然后利用“”法.(2)相关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求;相关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算.(3)相关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算.(4)相关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体办理.(5)相关圆锥曲线关于直线l的对称问题中，若A、A是对称点，则应抓住AA的中点在l上及kAAkl=1这两个重点条件解决问题.(6)相关直线与圆锥曲线的地址关系中的存在性

5、问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.三，熟练掌握直线、圆、及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：倾斜角的范围是：0；所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率.直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自建立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴、y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.议论点与圆、直线与圆、圆与圆的地址关系时，一般可从代数特点(方程组解的个数)或几何特点(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特点较为简捷、实用.(2)椭圆完整地理解椭圆的定义并重

6、视定义在解题中的应用.椭圆是平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2aF1F2)的动点的轨迹.还有另一种定义（圆锥曲线的统一定义）：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0e1)的动点轨迹为椭圆，（顺便指出：e1、e=1时的轨迹分别为双曲线和抛物线）.椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点是F（c,0）时的标准方程，焦点是F（0，c）的标准方程这里隐含a2=b2+c2，此关系体现在OFB(B为短轴端点)中.深刻理解a、b、c、e、的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质.(3)双曲线类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视定义在解题中的

7、运2a用，要深刻理解几何量a、b、c、e、的本质含义及其相互间的关系.c双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直2a线（参照课本）.c22xy双曲线(a0,b0)隐含了一个附加公式c2=a2+b2.此关系体现在OAB(A,B122xyab1分别为实轴,虚轴的一个端点)中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴（边）双曲线，其离22ab心率为(4)抛物线抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹（Fl）.2定义指了然抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用.抛物线方程（标准）有四种形式：y2=2px和x2=2py(p0)，

8、选择时必须判断开口与对称轴.掌握几何性质，注意分清2p,p,的几何意义.p22011年寒假圆锥曲线实例例1，设F、F2分别为双曲线122xy221(0,0)ab的左、右焦点.若在双曲线右支上存ab在点P，知足PFFF，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的212渐近线方程为（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3y0（D）5x4y0【答案】C【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题例2，已知椭圆22xyC:1(ab0)的离心率为2

9、2ab32，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A、B两点若，则k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，即k=，应选B.本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.例3.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）22px（p0）的准线与圆（x3）C2y216相切，则p的值为（A）12（B）1（C）2（D）4【答案】C【解析】本题考察抛物线的相关几何性质及直线与圆的地址关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为22px（p0）的准线方程为

10、p22px（p0）的准线x，因为抛物线y2p与圆（x3）2y216相切，所以4,23p2法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）22px（p0）的准线与圆（x3）p所以1,p222y216相切与点（-1,0）例4，设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22xy221(a0,b0)ab，则一个焦点为F(c,0),B(0,b)一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bcbb，()1，ac2bac220caac，解得

11、eca512.例5，设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【解析】本题考察了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考察了两条直线垂直的条件，考察了方程思想。设双曲线方程为22xy221(a0,b0)ab，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=baxbb垂直，所以12=ac，即bca2-a所以c2=ac,即e2-e-1=0,所以15e或215e（舍去）2例6，椭圆22xy221(ab)ab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P知足线段AP

12、的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）0,22（B）0,12（C）21,1（D）1,12【答案】D【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|22abccc,|PF|ac,ac于是2bcac,ac即acc2b2acc2222accac222acaccc1acc1或aa12又e(0,1)故e1,12例7，若点O和点F分别为椭圆22xy431的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为A2B3C6D8【答案】C【解析】本题考察椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考察了同学们

13、对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有22xy00143,解得2x20y03(1)，4因为FP(x1,y)，OP(x0,y0)，所以002OPFPx0(x01)y0=OPFPx0(x01)2x03(1)4=2x04x03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，所以当x02时，OPFP取得最大值224236，选C。,例8已知F、F2为双曲线C:1221xy的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=060，则|PF|PF|12(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】本小题主要考察双曲线定义、几何性质、余弦定理，

14、考察转变的数学思想，经过本题可以有效地考察考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cosFPF2=1222|PF|PF|FF|12122|PF|PF|120cos6022222PFPF22PFPF2PFPFFF1121212122PFPF22PFPF12122|PF|PF|412【解析2】由焦点三角形面积公式得：022060113Sbcot1cot3PFPFsin60PFPFFPF12121222222|PF|PF|412例9，已知抛物线2C:y2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB，则p【解析】过B作BE垂直于准线l

15、于E，AMMB，M为中点，BM1AB2，又斜率为3，BAE300，BE1AB2本题主要考察抛物线的定义与性质.，BMBE，M为抛物线的焦点，p2.2=2px（p0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相例10，已知抛物线C：y交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_【解析】本题考察了抛物线的几何性质设直线AB：y3x3，代入22ypx得23x(62p)x30，又AMMB，1xp22，解得24120pP，解得p2,p6（舍去）例11，已知以F为焦点的抛物线24yx上的两点A、B知足AF3FB,则弦AB的中点到准线的距离为_.【解析】设BF=m,由抛物线的定义知AA13m,BB1mABC中，

16、AC=2m,AB=4m,kAB3直线AB方程为y3(x1)2x与抛物线方程联立消y得31030 x所以AB中点到准线距离为x1x22153183例12，已知双曲线22xy221(a0,b0)ab的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为。【解析】本题主要考察了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。b由渐近线方程可知3a因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4又222cab联立，解得24,212ab，所以双曲线的方程为22xy4121【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程平时利用待定系数求解，注意双曲线中c最大。例13，已知F是椭圆C的一个焦

17、点，B是短轴的一y个端点，线段BF的延长线交C于点D，且uuruurBF2FD，则C的离心率为.B【解析1】本小题主要考察椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考察了数形结合思想、方OFx程思想,本题突显解析几何的特点：“数研究形，形助DD1数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.如图，22|BF|bca,作uuruurDDy轴于点D1,则由BF2FD1，得|OF|BF|2|DD|BD|3133,所以1|DD|OF|c,22即3cx,由椭圆的第二定义得D22332acc|FD|e()ac22a又由|BF|2|FD|,得23ca2a,ae33【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22xy2

18、21ab，设Dx2,y2，F分BD所成的比为2，02x33b2y3yb30bb22cxxxc;yy，代入c2cc2122212222229c1b224a4b1，e332y2x例14，在平面直角坐标系xOy中，双曲线1上一点M，点M的横坐标是3，则412M到双曲线右焦点的距离是_解析考察双曲线的定义。42MFe，d为点M到右准线x1的距离，d=2，MF=4。d2例15，（本题满分15分）已知m1，直线2ml:xmy0，椭圆22x2C:y12m，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.（）当直线l过右焦点F时，求直线l的方程；2（）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAFF，VBF1F2的12重心分别为

19、G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的地址关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（）解：因为直线l:2mxmy0经过22F2(m1,0)，所以2m21m,得222m，又因为m1，所以m2，故直线l的方程为22x2y02（）解：设A(x,y),B(x,y)。1122由xmy2x2m2y2m21，消去x得2m22ymy104则由228(1)280mmm，知428m，且有2mm1yy,yy。1212282由于F1(c,0),F2(c,0),，故O为F1F2的中点，由AG2GO,BH2HO，xyxy可

20、知(1,1),(2,1),Gh3333GH222(x1x2)(y1y2)99xxyy设M是GH的中点，则(12,12)M，66由题意可知2MOGH,即22x1x2y1y2(x1x2)(y1y2)224()()6699即x1x2y1y20而22mmx1x2y1y2(my1)(my2)y1y22222m1(m1）()82所以21m820即24m又因为m1且0所以1m2。所以m的取值范围是(1,2)。例16（本小题满分12分）设F，F2分别为椭圆1C22xy:122ab(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23.（）求椭圆C的焦距；

21、（）如果AF22F2B,求椭圆C的方程.解：（）设焦距为2c，由已知可得F到直线l的距离3c23,故c2.1所以椭圆C的焦距为4.（）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y10,y20,直线l的方程为y3(x2).y3(x2),联立22xy22ab1得22224(3ab)y43by3b0.解得223b(22a)3b(22a)y,y.1222223ab3ab因为AFFB所以yy222,122.即223b(22a)3b(22a)2.22223ab3ab得22a3.而ab4,所以b5.故椭圆C的方程为22xy95例17，（本小题满分12分）设椭圆C：22xy221(0)abab的左焦点为F

22、，过点F的直线与椭圆C相交于A，Bo,AF2FB.两点，直线l的倾斜角为60(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.解：设A(x,y),B(x,y)，由题意知y10，y20.1122（）直线l的方程为y3(xc)，其中ca2b2.y3(xc),联立22xy22ab1得22224(3ab)y23bcy3b0解得223b(c2a)3b(c2a)y,y1222223ab3ab因为AF2FB，所以y12y2.即223b(c2a)3b(c2a)222223ab3ab得离心率eca23.6分（）因为1AB1yy，所以2132243ab153223ab4.由ca23得5ba.所

23、以3515a，得a=3，b5.44椭圆C的方程为22xy951.12分例18（本小题满分12分）设椭圆22xyCab1:221(0)ab，抛物线22C2:xbyb。（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），5Q33，,又M、N为4C与C2不在y轴上的两个交点，若AMN1的垂心为3B0，b，且QMN的重心在4C上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。2【解析】考察椭圆和抛物线的定义、基本量，经过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb，由2c122222abcce2,有。2a22(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设M(x,y),N(x

24、,y)(x0),由AMN的垂心为B，有1111132BMAN0 x(yb)(yb)0。1114由点N(x,y)在抛物线上，11b22xbyb，解得：y1或y1b(舍去)114故55b5bbxb,M(b,),N(b,)，得QMN重心坐标(3,)1224244.由重心在抛物线上得：2b1123b,所以b=2，M(5,),N(5,)，又因为M、422N在椭圆上得：216a，椭圆方程为322xy16431，抛物线方程为224xy。【规律总结】关于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为22xy221ab，根据题目知足的条件求出ab，得椭圆方程，这一问平时比较简单；（2）关于角平分线问题，利用角平分线的2,22

25、,2几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.例19（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.）已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线C的离心率5e.2（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点M(x,y)的直线l1：x1x4y1y4与过点N(x2,y2)11（其中xx）的直线l2：x2x4y2y4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的21两条渐近线分别交于G、H两点，求OGOH的值.例20（本小题满分14分）如图，已知椭圆22xy221(ab0)ab过点.2(1,)2，离心率为22，左、右焦点分别为F、1F.点P为直线l:xy2上且不在x轴

26、上的任意2一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2.（i）证明：13kk122；（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、k、kOD知足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有知足条件的点P的坐标；若OC不存在，说明原因.例21，（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，离心率是63，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）

27、设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（）因为ca63，且c2，所以22a3,bac1所以椭圆C的方程为2x321y（）由题意知p(0,t)(1t1)yt由2x321y得2x3(1t)所以圆P的半径为23(1t)解得3t所以点P的坐标是（0，232）（）由（）知，圆P的方程2()23(12)xytt。因为点Q(x,y)在圆P上。所以222yt3(1t)xt3(1t)设tcos,(0,)，则2t3(1t)cos3sin2sin()6当3，即1tx0y2.2例22，（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜

28、率之积等于13.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原因。（I）解：因为点B与A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).设点P的坐标为(x,y)由题意得y1y11x1x13化简得2324(1)xyx.故动点P的轨迹方程为2324(1)xyx（II）解法一：设点P的坐标为(x,y)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN).00则直线AP的方程为y10y1(x1)x10，直线BP的方程为y10y1(x1)x104yx3令x3得00yMx102yx3，00y

29、Nx10.于是PMN得面积21|xy|(3x)000S|yy|(3x)PMNMN022|x1|0又直线AB的方程为xy0，|AB|22，点P到直线AB的距离|xy|00d.2于是PAB的面积1S|AB|d|xy|PAB002当SS时，得PABPMN2|xy|(3x)000|xy|002|x1|0又|xy|0，00所以2(3x)=052|x1|，解得|x0。03因为22x03y04，所以y0339故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x,y)00则11|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sin

30、MPN.22因为sinAPBsinMPN,所以|PA|PN|PM|PB|所以|x1|3x|00|3x|x1|0即22(3x)|x1|，解得x00053因为22x03y04，所以y0339故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.例23（本小题满分12分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明原因.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察

31、平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设P(x,y)，则221(x2)y2|x|2化简得x22y3=1(y0)4分(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x222y3=1联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2)，4kxx122k23则24k3xx122k32(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4y1y2kk2(2(224k38k22k3k34)29k2k3因为x1、x21y所以直线AB的方程为y1x11(x1)13y因此M点的坐标为(1,22(x1)1)FM33y1(,)22(

32、x1)133y,同理可得2FN(,)22(x1)2因此FMFN39yy212()22(x1)(x1)12281k423k2294k34k4(1)22k3k30当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)13AB的方程为yx1,因此M点的坐标为(22,33同理可得FN(,)223332因此FMFN()()0222)，FM33(,)22综上FMFN0，即FMFN故以线段MN为直径的圆经过点F12分例24，（本小题满分14分）22xy已知椭圆221（ab0）的离心率e=ab32，连接椭圆的四个极点获得的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，

33、已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若42|=，求直线l的倾斜角；AB5（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求y0的值.【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考察用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考察综合解析与运算能力.满分14分.（）解：由e=ca32，得223a4c.再由222cab，解得a=2b.由题意可知122a2b4，即ab=2.a2b,ab2,解方程组得a=2，b=1.2x所以椭圆的方程为421y.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.yk(x2),于是A、B两点的坐标知足方程组2x42y消去y并整理，得2222(14k)x16kx(16k4)0.由216k42x1214k，得228kx1214k.进而4ky1214k.所以|AB|2222228k4k41k