考研数学三历年真题年

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设f(x)xcos1,若x0,的取值范围是_.x若x其导函数在x=0处连续，则0,0,（2）已知曲线yx33a2xb与x轴相切，则b2能够经过a表示为b2_.（3）设a0，a,若0 x1,D表示全平面，则f(x)g(x)而0,其他，If(x)g(yx)dxdy=_.D（4）设n维向量(a,0,0,a)T,a0；E为n阶单位矩阵，矩阵AET，BE1T，a其中A的逆矩阵为B，则a=_.（5）设随机变量X和Y的有关系数为0.9,若ZX0.4，则Y与Z的有关系数为_.（6）设总体X

2、听从参数为2的指数散布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yn1nXi2依概率收敛于_.ni1二、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，则函数f(x)g(x)x(A)在(C)在x=0处左极限不存在.x=0处右极限不存在.(B)有跳跃中止点x=0.(D)有可去中止点x=0.（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的选项是(A)f(x0,y)在yy0处的导数等于零.（）,y)在yy0处的导数大于零.Bf(x0(

3、C)f(x0,y)在yy0处的导数小于零.(D)f(x0,y)在yy0处的导数不存在.（3）设pnanan，qnanan，n1,2,，则下列命题正确的选项是22(A)若an条件收敛，则n与n都收敛.pqn1n1n1(B)若an绝对收敛，则pn与qn都收敛.n1n1n1(C)若an条件收敛，则pn与qn敛散性都不定.n1n1n1(D)若an绝对收敛，则pn与qn敛散性都不定.n1n1n1abb（4）设三阶矩阵Abab，若A的陪同矩阵的秩为1，则必有bba(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.（5）设1,2,s均为n维向量，下列结论

4、不正确的选项是(A)若对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0，则1,2,s线性无关.(B)若1,2,s线性有关，则对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0.(C)1,2,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1,2,s线性无关的必要条件是其中随意两个向量线性无关.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则事件(A)A1,A2,A3相互独立.(B)A2,A3,A4相互独立.(C)A1,A2,A3两两独立.(D)A2,A3,A4两两独立.三

5、、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在1,1上连续.2四、（本题满分8分）设f(u,v)拥有二2f2f1，又阶连续偏导数，且知足2v2ug(x,y)122),求2g2gfxy,(xyx2y2.2五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分地区D=(x,y)x2y2.六、（本题满分9分）求幂级数1(1)nx2n(x1)的和函数f(x)及其极值.n12n七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,)内知足以下条件：f(x)g(x)，g(x)f(x)，且f(0)=0,f()g()2ex.xx求F(x)所知足的一阶微分方程；求出F(x)的表达式.八、（本

6、题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在(0,3)，使f()0.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组n,an和b知足何种关系时，其中ai0.试议论a1,a2,i1方程组仅有零解；方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型f(x1,x2,x3)XTAXax122x222x322bx1x3(b0)，中二次型的矩阵A的特点值之和为1，特点值之积为-12.求a,b的值；利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量

7、X的概率密度为F(x)是X的散布函数.求随机变量Y=F(X)的散布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率散布为12，X0.70.3而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设f(x)xcos1,若x0,其导函数在x=0处连续，则的取值范围是2.0,x若x0,【解析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当1时，有显然当2时，有limf(x)0f(0)，即其导函数在x=0处连续.x0（2）已知曲线yx33a2xb与x轴相

8、切，则b2能够经过a表示为b24a6.【解析】曲线在切点的斜率为0，即y0，由此可确定切点的坐标应知足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.【详解】由题设，在切点处有y3x2320，有22.ax0a又在此点y坐标为0，于是有0 x033a2x0b0,故b2x02(3a2x02)2a24a44a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所知足的条件，同时切点还应知足曲线方程.a,若0 x1,而D表示全平面，则If(x)g(yx)dxdy=（3）设a0，f(x)g(x)0,其他，Da2.【解析】本题积分地区为全平面，但只有当0 x1,0yx1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在知足此

9、不等式的地区内积分即可.【详解】If(x)g(yx)dxdy=a2dxdyD0 x1,0yx1=a21x1dya212.0dx(x1)xdxax0【评注】若被积函数只在某地区内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的地区的公共部分上积分即可.（4）设n维向量(a,0,0,a)T,a0；E为n阶单位矩阵，矩阵AET，BE1T，a其中A的逆矩阵为B，则a=-1.【解析】这里T为n阶矩阵，而T2a2为数，直接经过ABE进行计算并注意利用乘法的联合律即可.【详解】由题设，有=ET1T1TTaa=ET1T1(T)Taa=ET1T2aTa=E(12a1)TE,a于是有12a10，即2a2a

10、10，解得a1,a1.由于A0,故a=-1.a2（5）设随机变量X和Y的有关系数为0.9,若ZX0.4，则Y与Z的有关系数为0.9.【解析】利用有关系数的计算公式即可.【详解】因为=E(XY)0.4E(Y)E(Y)E(X)0.4E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)=cov(X,Y),且DZDX.于是有cov(Y,Z)=cov(Y,Z)=cov(X,Y)DYDZDXDYXY0.9.【评注】注意以下运算公式：D(Xa)DX，cov(X,Ya)cov(X,Y).（6）设总体X听从参数为2的指数散布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n1n2依概率收敛于1.时，YnXi2ni1【解析】本

11、题考察大数定律：一组相互独立且拥有有限希望与方差的随机变量X1,X2,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学希望的算术平均值：【详解】这里X12,X22,Xn2知足大数定律的条件，且EXi2DXi(EXi)2=1(1)21，因此根据大数定律有422Yn1nXi2依概率收敛于1nEXi21.ni1ni12二、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，则函数f(x)g(x)x(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃中止点x=0.(C)在x=0处右极

12、限不存在.(D)有可去中止点x=0.D【解析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行议论即可.【详解】显然x=0为g(x)的中止点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有limg(x)limf(x)limf(x)f(0)f(0)存在，故x=0为可去中止点.x0 x0 xx0 x0【评注1】本题也可用反例除去，比方f(x)=x,则此时g(x)=x1,x0,可排x0,x0,除(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在xx0处连续，则limf(x)Af(x0)0,f(x0)A.xx0 xx0（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取

13、得极小值，则下列结论正确的选项是(A)(x0,)在yy0处的导数等于零.（）,y)在yy0处的导数大于零.fyBf(x0(C)f(x0,y)在yy0处的导数小于零.(D)f(x0,y)在yy0处的导数不存在.A【解析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy(x0,y0)0，即f(x0,y)在yy0处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考察了偏导数的定义，f(x0,y)在yy0处的导数即fy(x0,y0)；而f(x,y0)在xx0处的导数即fx(x0,y0).【评注2】本题也可用除去法解析，

14、取f(x,y)x2y2，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有f(0,y)y2，可除去(B),(C),(D),故正确选项为(A).（3）设pnanan，qnanan，n1,2,，则下列命题正确的选项是22(A)若an条件收敛，则pn与qn都收敛.n1n1n1(B)若an绝对收敛，则pn与n都收敛.qn1n1n1(C)若an条件收敛，则pn与qn敛散性都不定.n1n1n1(D)若an绝对收敛，则pn与qn敛散性都不定.n1n1n1B【解析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若an绝对收敛，即an收敛，自然也有级数an收敛，再根据n1n1n1pnanan，qn

15、anan及收敛级数的运算性质知，pn与qn都收敛，故应选22n1n1(B).abb（4）设三阶矩阵Abab，若A的陪同矩阵的秩为1，则必有bba(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.C【解析】A的陪同矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可确定a,b应知足的条件.【详解】根据A与其陪同矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有abbbab(a2b)(ab)20，即有a2b0或a=b.bba但当a=b时，显然秩(A)2,故必有ab且a+2b=0.应选(C).【评注】n（n2)阶矩阵A与其陪同矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设1,2,

16、s均为n维向量，下列结论不正确的选项是(A)若对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0，则1,2,s线性无关.(B)若1,2,s线性有关，则对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0.(C)1,2,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1,2,s线性无关的必要条件是其中随意两个向量线性无关.B【解析】本题波及到线性有关、线性无关观点的理解，以及线性有关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks,都有k11k22kss0，则1,2,s必线性无关，因为若1,2,s线性有

17、关，则存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得k11k22kss0，矛盾.可见（A）成立.(B):若1,2,s线性有关，则存在一组，而不是对随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0.(B)不可立.(C)1,2,s线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组1,2,s的秩为s，则1,2,s线性无关，因此(C)成立.(D)1,2,s线性无关,则其任一部分组线性无关，自然其中随意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.比方，原命题：若存在一组不全为零的数k1,k2,ks，使得k11k22kss0成立，则1,2,s线性有关

18、.其逆否命题为：若对于随意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k11k22kss0，则1,2,s线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则事件(A)A1,A2,A3相互独立.(B)A2,A3,A4相互独立.(C)A1,A2,A3两两独立.(D)A2,A3,A4两两独立.C【解析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再查验是否相互独立.【详解】因为P(A)1，P(A2)1，P(A3)1，P(A4

19、)1，12224且P(A1A2)1，P(A1A3)1，P(A2A3)1，P(A2A4)1P(A1A2A3)0，4444可见有P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(A1A3)P(A1)P(A3)，P(A2A3)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)P(A2)P(A4).故A1,A2,A3两两独立但不相互独立；A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是平均的，否则结论不一定成立.三、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在1,1上连续.2【解析】只需求出极限limf(x)，然后定义f(1)为此极限

20、值即可.x1【详解】因为limf(x)=lim111xsinxx1x1(1x)=11lim(1x)sinxx1(1x)sinx=11limsinxcosxx1(1x)cosx=11lim2sinx2x1cosxcosx(1x)sinx=1.由于f(x)在1,1)上连续，因此定义2f(1)1，使f(x)在1,1上连续.2【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考察了连续的观点.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转变为求y0的极限，能够适当简化.四、（本题满分8分）设f(u,v)拥有二2f2f1，又阶连续偏导数，且知足2v2ug(x,y)122),求2g2gfxy,(xy

21、x2y2.2【解析】本题是典型的复合函数求偏导问题：g，1(x2y2)，f(u,v)uxy,v2直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用2f2f.uvvu【详解】gyfxf，xuv故2gy22f2xy2fx22ff，x2u2uvv2v所以2g2g(x2y2)2f(x2y2)2fx2y2u2v2=x2y2.【评注】本题考察半抽象复合函数求二阶偏导.五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分地区D=(x,y)x2y2.【解析】从被积函数与积分地区能够看出，应当利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：xrcos,yrsin，有=e2drer2sinr2dr.00令tr2，则Ieetsintdt.0记

22、Aetsintdt，则0=etsintetcostdt00=costdet0=etcostetsintdt00e1A.因此A1(1e)，2【评注】本题属常例题型，显然地应当采用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再经过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数1(1)nx2n(x1)的和函数f(x)及其极值.n12n【解析】先经过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按平时方法求极值.【详解】上式两边从0到x积分，得由f(0)=1,得令f(x)0，求得唯一驻点x

23、=0.由于f(0)10，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先经过逐项求导、逐项积分等转变为可直接求和的几何级数情形，然后再经过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,)内知足以下条件：f(x)g(x)，g(x)f(x)，且f(0)=0,f(x)g(x)2ex.求F(x)所知足的一阶微分方程；求出F(x)的表达式.【解析】F(x)所知足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转变为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程

24、.【详解】(1)由=g2(x)f2(x)=f(x)g(x)22f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x),可见F(x)所知足的一阶微分方程为(2)F(x)e2dx4e2xe2dxdxC=e2x4e4xdxCe2xCe2x.将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是【评注】本题没有直接见告微分方程，要求先经过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但详细到微分方程的求解则并不复杂，仍旧是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在(0,3)，使f()0.【解析】根

25、据罗尔定理，只需再证明存在一点c0,3)，使得f(c)1f(3)，然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于f(0)f(1)f(2)的最值之间，最终用介值定理能够达31，问题转变为1介于f(x)到目的.【详解】因为f(x)在0，3上连续，所以f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M.故由介值定理知，最少存在一点c0,2，使因为f(c)=1=f(3),知，必存在(c,3)且f(x)在c,3(0,3)，使f()0.上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是

26、常考知识点，且一般是两两联合起来考.本题是典型的联合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组n,an和b知足何种关系时，其中ai0.试议论a1,a2,i1方程组仅有零解；方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【解析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转变为系数矩阵队列式是否为零，而系数队列式的计算拥有显然的特点：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出队列式的值.【详解】方程组的系数队列式=n1nb(bi).ai1(1)当bnai0时，秩(A)=n，方程组仅有零解.0时且b

27、i1当b=0时，原方程组的同解方程组为n1,2,n)不全为零.不妨设a10，得原方程组的一个基由ai0可知，ai(ii1础解系为1(a2,1,0,0)T，2(a3,0,1,0)T，,n(an,0,0,1)T.a1a1a1n当bai时，有b0，原方程组的系数矩阵可化为i1（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以1倍）naii1（将第n行an倍到第2行的a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程组的同解方程组为x2x1，x3x1，,xnx1.原方程组的一个基础解系为n【评注】本题的难点在bai时的议论，事实上也可这样解析：此时系数矩i1阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不

28、为零)，且显然(1,1,1)T为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型f(x1,x2,x3)XTAXax122x222x322bx1x3(b0)，中二次型的矩阵A的特点值之和为1，特点值之积为-12.求a,b的值；利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【解析】特点值之和为A的主对角线上元素之和，特点值之积为A的队列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特点值和特点向量，并将相同特点值的特点向量正交化（若有必要），然后将特点向量单位化并以此为列所结构的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f的矩阵为设A的特点值为i(i1,2

29、,3).由题设，有123a2(2)1，解得a=1,b=-2.由矩阵A的特点多项式102EA020(2)2(3)，202得A的特点值122,33.对于122,解齐次线性方程组(2EA)x0，得其基础解系1(2,0,1)T，2(0,1,0)T.对于33，解齐次线性方程组(3EA)x0，得基础解系由于1,2,3已是正交向量组，为了获得规范正交向量组，只需将1,2,3单位化，由此得1(2,0,1)T，2(0,1,0)T，3(1,0,2)T.5555令矩阵20155，Q12301010255则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有200QTAQ020，003且二次型的标准形为【评注】本题求a,b，也可先

30、计算特点多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特点多项式为设A的特点值为1,2,3，则12,23a2,23(2ab2).由题设得1232(a2)1，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为F(x)是X的散布函数.求随机变量Y=F(X)的散布函数.【解析】先求出散布函数F(x)的详细形式，进而可确定Y=F(X),然后按定义求Y的散布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0F(X)1)，再对y分段议论.【详解】易见，当x8时，F(x)=1.对于x1,8，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的散布函数.显然，当y0时，G(y)=0；当y1时，G(y)

31、=1.对于y0,1)，有=P3X1yPX(y1)3=F(y1)3y.0,若y0,于是，Y=F(X)的散布函数为G(y)y,若0y1,1,若y1.【评注】事实上，本题X为随意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍听从均匀散布:当yf(a).x0(a,b)，使得f(x0)f(b).最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)=0.D设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当|A|a(a0)时,|B|a.(B)当|A|a(a0)时,|B|a.(C)当|A|0时,|B|0.(D)当|A|0时,|B|0.(13)设n阶矩阵A的陪同矩阵A*0,若是非齐次线性方程

32、组Axb的1,2,3,4互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X听从正态散布N(0,1),对给定的(0,1),数u知足PXu,若P|X|x,则x等于(A)u.(B)u.(C)u1.(D)u1.2122三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本题满分8分)求lim(1cos2x).x0sin2xx2(本题满分8分)求(x2y2y)d，其中D是由圆x2y24和(x1)2y21所围成的D平面地区(如图).(本题满分8分)设f

33、(x),g(x)在a,b上连续，且知足xxaf(t)dtag(t)dt，x?a,)，bbbaf(t)dtag(t)dt.证明：bxf(x)dxbxg(x)dx.aa(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100?5P，其中价钱P?(0,20)，Q为需求量.(I)求需求量对价钱的弹性Ed(Ed0)；(II)推导dRQ(1Ed)(其中R为利润)，并用弹性Ed说明价钱在何范围内变化dP时，降廉价钱反而使利润增加.(本题满分9分)设级数的和函数为S(x).求：S(x)所知足的一阶微分方程；S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设(1,2,0)T,(1,2,3)T,(1,b2,2b)T,(1,3,

34、3)T,123试议论当a,b为何值时,()不能由,线性表示;123()可由,唯一地线性表示,并求出表示式;123()可由,线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.123(21)(本题满分13分)设n阶矩阵1bbAb1b.bb1()求A的特点值和特点向量;()求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵.(本题满分13分)设A，B为两个随机事件,且P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1,令432求()二维随机变量(X,Y)的概率散布;()X与Y的有关系数;XY()ZX2Y2的概率散布.(本题满分13分)设随机变量X的散布函数为其中参数0,1.设X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本,()当1时,

35、求未知参数的矩估计量;()当1时,求未知参数的最大似然估计量;()当2时,求未知参数的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若limsinx(cosx)5，则a=1，b=4.abx0ex【解析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为limsinx(cosxb)5，且limsinx(cosxb)0，所以x0exax0lim(exa)0，得a=1.极限化为x0limsinx(cosxb)limx(cosxb)1b5，得b=?4.x0exax0 x因此，a=1，b=?4.【评注】一般地，已知limf(x)A，

36、(x)若g(x)?0，则f(x)?0；若f(x)?0，且A?0，则g(x)?0.(2)设函数f(u,v)由关系式fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)?0，2fg(v).则g2(v)uv【解析】令u=xg(y)，v=y，可获得f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v)=ug(v)，g(v)所以，f1，2fg(v).ug(v)uvg2(v)xex21x1(3)设f(x),2221.1，则1f(x1)dx21,x22【解析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x?1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x?

37、1=t，12f(x1)dx11f(t)dt11f(x)dt2221211)1.21xexdx1(1)dx0(2222【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点区分积分区间进行求解.(4)二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩为2.【解析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可获得答案.【详解一】因为f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2211于是二次型的矩阵为A121,112112112由初等变换得A033033,033000进而r(A)2,即二次型的秩为2.【详解二】因为f(x1,x

38、2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)22y123y22,2其中y1x11x21x3,y2x2x3.22所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X听从参数为则PX1.的指数散布,DXe【解析】根据指数散布的散布函数和方差立刻得正确答案.【详解】由于DX12,X的散布函数为故PXDX1PXDX1PX11F(1)1.e【评注】本题是对重要散布,即指数散布的考察,属基本题型.(6)设总体X听从正态散布N(,2),总体Y听从正态散布N(,2),12X1,X2,Xn1和Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则22n1n2(XiX)(YjY)Ei1j12.n1n22【解析】利用正态

39、总体下常用统计量的数字特点即可得答案.n1n2【详解】因为E1(XiX)22,E1(YjY)22,n11i1n21j1故应填2.【评注】本题是对常用统计量的数字特点的考察.二、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数f(x)|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界.x(x1)(x2)2(A)(?1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).A【解析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)xaxb在(a,b)内有界.【详解】当x?0,1,2

40、时，f(x)连续，而limf(x)sin3，limf(x)sin2，x118x04limf(x)sin2，limf(x)，limf(x)，x04x1x2所以，函数f(x)在(?1,0)内有界，应选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭区间a,b上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，xaxb则函数f(x)在开区间(a,)内有界.b(8)设f(x)在(?,+?)内有定义，且limf(x)a，xg(x)f(1),x0，则x0,x0(A)x=0必是g(x)的第一类中止点.(B)x=0必是g(x)的第二类中止点.x=

41、0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.D【解析】考察极限limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，经过换元u1，x0 x可将极限limg(x)转变为limf(x).x0 x【详解】因为limg(x)lim1)lim()=(令u1)，又(0)=0，所以，f(fux0 x0 xuaxg当a=0时，limg(x)g(0)，即g(x)在点x=0处连续，当a?0时，x0limg(x)g(0)，即x=0是g(x)的第一类中止点，因此，g(x)在点x=0处的连续x0性与a的取值有关，应选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考察分段函数在分界点处的连续性.(9

42、)设f(x)=|x(1?x)|，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.C【解析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考察f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0?0，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点.显然，x=0是f(x)的不可导点.当x?(?,0)时，f(x)=?x(

43、1?x)，f(x)20，当x?(0,?)时，f(x)=x(1?x)，f(x)20，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.应选(C).【评注】对于极值情况，也可考察f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.设有下列命题：(1)若(u2n1u2n)收敛，则u收敛.nn1n1(2)若un收敛，则un1000收敛.n1n1un11，则un发散.(3)若limnunn1(4)若(unvn)收敛，则un，vn都收敛.n1n1n1则以上命题中正确的选项是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).B【解析】能够经过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【

44、详解】(1)是错误的，如令un(1)n，显然，un分别，而(u2n1u2n)收敛.n1n1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由limun11可获得un不趋向于零(n?)，所以un发散.nunn1(4)是错误的，如令un1,vn1，显然，un，vn都发散，而nnn1n1(unvn)收敛.应选(B).1评注】本题主要考察级数的性质与收敛性的鉴别法，属于基本题型.(11)设f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的选项是最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(a).最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(b

45、).最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)=0.D【解析】利用介值定理与极限的保号性可获得三个正确的选项，由除去法可选犯错误选项.【详解】首先，由已知f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则由介值定理，最少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0；其他，f(a)f(x)f(a)，由极限的保号性，最少存在一点x0(a,b)lim0 xaxa使得f(x0)f(a)0，即f(x)f(a).同理，最少存在一点x(a,b)x0a00使得f(x0)f(b).所以，(A)(B)(C)都正确，应选(D).【评注】本题综合考察了介值定理与极限的

46、保号性，有一定的难度.设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当|A|a(a0)时,|B|a.(B)当|A|a(a0)时,|B|a.(C)当|A|0时,|B|0.(D)当|A|0时,|B|0.D【解析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(A)r(B)立刻可得.【详解】因为当|A|0时,r(A)n,又A与B等价,故r(B)n,即|B|0,应选(D).【评注】本题是对矩阵等价、队列式的考察,属基本题型.(13)设阶矩阵的陪同矩阵A*0,是非齐次线性方程组Axb的nA互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性

47、无关的解向量.B【解析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只需确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=nr(A),而且根据已知条件A*0,于是r(A)等于n或n1.又Axb有互不相等的解,即解不惟一,故r(A)n1.进而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【评注】本题是对矩阵A与其陪同矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考察.(14)设随机变量X听从正态散布N(0,1),对给定的(0,1),数u知足PXu,若P|X|x,则x等于(A)u.(B)u.(C)u1.(D)u1.2122C【解析】利用标准正态散布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】

48、由P|X|x,以及标准正态散布密度曲线的对称性可得PXx1.故正确答案为(C).2【评注】本题是对标准正态散布的性质,严格地说它的上分位数观点的考察.三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本题满分8分)求lim(1cos2x).x0sin2xx2【解析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法例求解即可.0【详解】lim(1cos2x)limx2sin2xcos2xx0sin2xx2x0 x2sin2xx21sin22x2x1sin4x1(4x)2=lim4lim2lim1cos4xlim26x24.x0 x4x04x3x06x2x03【评

49、注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价0无穷小替换来简化计算.(本题满分8分)求(x2y2y)d，其中D是由圆x2y24和(x1)2y21所围成的平面地区(如D图).【解析】首先，将积分地区D分为大圆D1(x,y)|x2y24减去小圆D2(,)|(x1)2y21，再利用对称性与极坐标计算即可.xy【详解】令D1(x,y)|x2y24,D2(x,y)|(x1)2y21，由对称性，yd0.D222dr32cos2dr.2ddrr0020所以，(x2y2y)d16(32).9D【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂地

50、区区分为两个或三个简单地区来简化计算.(本题满分8分)设f(x),g(x)在a,b上连续，且知足xxf(t)dtg(t)dtaa，x?a,)，bbg(t)dt.bf(t)dtaa证明：bxf(x)dxbxg(x)dx.aa【解析】令F(x)=f(x)?g(x)，G(x)xF(t)dt，将积分不等式转变为函数不等a式即可.【详解】令F(x)=f(x)?g(x)，G(x)xaF(t)dt，由题设G(x)?0，x?a,b，G(a)=G(b)=0，G(x)F(x).bbbb进而axF(x)dxaxdG(x)xG(x)abaG(x)dxaG(x)dx，由于G(x)?0，x?a,b，故有b，G(x)dx0

51、ab即xF(x)dx0.a因此bbxf(x)dxxg(x)dx.aa【评注】引入变限积分转变为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100?5P，其中价钱P?(0,20)，Q为需求量.(I)求需求量对价钱的弹性Ed(Ed0)；(II)推导dRdPQ(1Ed)(其中R为利润)，并用弹性Ed说明价钱在何范围内变化时，降廉价钱反而使利润增加.【解析】由于Ed0，所以EdPdQ；由Q=PQ及EdPdQ可推导QdPQdPdRQ(1Ed).dP【详解】(I)EdPdQP.QdP20P由R=PQ，得dRQPdQQ(1PdQ)Q(1Ed).dPdPQdP又

52、由EP1，得P=10.d20P当10P1，于是dR0，dP故当10P0时，需求量对价钱的弹性公式为EPdQPdQ.ddQdPQdP利用需求弹性解析利润的变化情况有以下四个常用的公式：dR(1Ed)Qdp，dR(1Ed)Q，dR(11)p，dpdQEdEREp1Ed(利润对价钱的弹性).(本题满分9分)设级数的和函数为S(x).求：S(x)所知足的一阶微分方程；S(x)的表达式.【解析】对S(x)进行求导，可获得S(x)所知足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I)S(x)x4x6x8，242462468易见S(0)=0，xx2S(x).2因此S(x)是初值问题yxyx3,y(

53、0)0的解.2(II)方程yxyx3的通解为2x2x21Ce2，2由初始条件y(0)=0，得C=1.x2x2x2x2故ye21，因此和函数S(x)e21.22【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过近似的题.(20)(本题满分13分)设(1,2,0)T,(1,2,3)T,(1,b2,2b)T,(1,3,3)T,123试议论当a,b为何值时,()不能由,线性表示;123()可由,唯一地线性表示,并求出表示式;123()可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【解析】将能否由1,2,3线性表示的问题转变为线性方程组112233kkk是否有解的问题即易求解.【详解】

54、设有数k1,k2,k3,使得k11k22k33.(*)记A12,3).对矩阵(A,)施以初等行变换,有(,11111111(A,)2a2b230ab1.03aa2b300ab0()当a0时,有1111(A,)00b1.0001可知r(A).故方程组(*)无解,不能由线性表示.r(A,)1,2,3()当a0,且ab时,有r(A)r(A,)3,方程组(*)有唯一解：k111,k21,k30aa此时可由1,2,3唯一地线性表示,其表示式为1112(1)aa()当ab0时,对矩阵(A,)施以初等行变换,有100111111a1(A,)0ab1011，a00ab00000r(A)r(A,)2,方程组(*

55、)有无穷多解，其全部解为k111,k21c,k3c，其中c为随意常数aa可由,线性表示,但表示式不唯一,其表示式为123(11)1(1c)2c3aa【评注】本题属于常例题型,曾考过两次(1991,2000).(本题满分13分)设n阶矩阵1bbAb1b.bb1()求A的特点值和特点向量;()求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵.【解析】这是详细矩阵的特点值和特点向量的计算问题,平时可由求解特点方程|EA|0和齐次线性方程组(EA)x0来解决.【详解】()1当b0时，1(n1)b(1b)n1,得A的特点值为1(n1)b，1b12n对1(n1)b，1解得1(1,1,1,1)T，所以A的属于的全部特点

56、向量为1kk(1,1,1,1)T(k为随意不为零的常数)1对1b，2得基础解系为(1,1,0,0)T，(1,0,1,0)T，,(1,0,0,1)T23n故A的属于的全部特点向量为2kkk(k,k,k是不全为零的常数)2233nn23n2当b0时，100|EA|010(1)n,001特点值为1n1，随意非零列向量均为特点向量()1当b0时，A有n个线性无关的特点向量，令12n，则P(,)2当b0时，AE，对随意可逆矩阵P,均有P1APE【评注】本题经过考察矩阵的特点值和特点向量而间接考察了队列式的计算,齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题,属于有一点综合性的试题.其他,本题的解题思路是容易的

57、,只需注意矩阵中含有一个未知参数,进而一般要议论其不同取值情况.(本题满分13分)设A，B为两个随机事件,且P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1,令432求()二维随机变量(X,Y)的概率散布;()X与Y的有关系数;XY()ZX2Y2的概率散布.【解析】本题的重点是求出(X,Y)的概率散布，于是只需将二维随机变量(X,Y)的各取值对转变为随机事件A和B表示即可【详解】()因为P(AB)P(A)P(B|A)1，于是P(B)P(AB)1，12P(A|B)6则有PX1,Y1P(AB)1，12PX1,Y0P(AB)P(A)P(AB)1，6PX0,Y1P(AB)P(B)P(AB)1，12PX0,Y

58、0P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)2，3(或PX0,Y011112)，126123即(X,Y)的概率散布为：0101()方法一：因为EXP(A)1，EYP(B)1，E(XY)1，4612EX2P(A)1，EY2P(B)1，46DXEX2(EX)23，DYEY2(EY)25，1616Cov(X,Y)E(XY)EXEY1，24所以X与Y的有关系数XYCov(X,Y)115DXDY1515方法二：X,Y的概率散布分别为X01Y01P31P514466则EX1,EY1，DX3，DY=5,E(XY)=1,46163612故Cov(X,Y)E(XY)EXEY1，进而24()Z的可能取值为

59、：0，1，2PZ0PX0,Y02，3PZ1PX1,Y0PX0,Y11，4PZ2PX1,Y11，12即Z的概率散布为：012【评注】本题考察了二维离散随机变量联合概率散布，数字特点和二维离散随机变量函数的散布等计算问题，属于综合性题型(本题满分13分)设随机变量X的散布函数为其中参数0,1.设X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本,()当1时,求未知参数的矩估计量;()当1时,求未知参数的最大似然估计量;()当2时,求未知参数的最大似然估计量.【解析】本题是一个常例题型,只需注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,进而先由散布函数求导得密度函数.【详解】当1时,X的概

60、率密度为()由于令X,解得X,1X1所以,参数X.的矩估计量为X1()对于总体X的样本值x1,x2,xn,似然函数为当xi1(i1,2,n)时,L()0,取对数得n,nln(1)lnxilnL()i1对求导数，得dlnLnn()lnxi，di1令dlnL()nnlnxi0，解得nn，di1lnxii1于是的最大似然估计量为?nlnxii1()当2时,X的概率密度为对于总体X的样本值x1,x2,xn,似然函数为当xi(i1,2,n)时,越大，L()越大,即的最大似然估计值为?minx1,x2,xn,于是的最大似然估计量为minX1,X2,Xn?2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填